新型高階非圓錐齒輪的設計及其節面修形方法研究

呂　剛　范守文　李光輝　童水光　肖人源

1.電子科技大學，成都，611731　　2.浙江大學自貢創新中心，自貢，6430003.浙江大學，杭州，310058

新型高階非圓錐齒輪的設計及其節面修形方法研究

呂剛1，2范守文1李光輝2,3童水光2,3肖人源2

1.電子科技大學，成都，6117312.浙江大學自貢創新中心，自貢，6430003.浙江大學，杭州，310058

將帕斯卡曲線和阿基米德螺線應用到非圓錐齒輪的設計中，推導了該新型非圓錐齒輪節面的數學模型。針對非圓錐齒輪設計過程中可能存在的節面尖點問題，將產形刀具的部分節面作為非圓錐齒輪節面尖點處的節面，依據產形刀具節面與高階非圓錐齒輪節面之間的運動關系，建立了新型非圓錐齒輪的節面修形模型，開發了非圓錐齒輪的齒廓產形算法。并采用該方法對實例中的高階阿基米德螺線錐齒輪和二次曲線錐齒輪的節面尖點進行了修正。

非圓錐齒輪；帕斯卡曲線；節曲線；尖點；節面修形

0　引言

由于非圓直齒輪具有優異的傳動性能、可變的傳動比、較大扭矩和高可靠性等諸多優點，因此被廣泛應用于油泵、沖壓機床、包裝和打印機床等機械產品的設計中[1-2]。然而非圓直齒輪僅能用于傳遞具有平行軸的變速運動，為了能夠傳遞具有交錯軸的變速運動，一些學者對高階橢圓錐齒輪進行了研究。Giorgio等[3]分析了刀具沿主從輪節面滾動的運動軌跡，并建立了刀具、主動輪和從動輪三者之間的精確數學模型。林超等[4-5]提出了高階變性橢圓錐齒輪和高階偏心橢圓錐齒輪的設計方法。此外，文獻[6-10]分別對高階橢圓錐齒輪齒廓的產形、加工、傳動模型和干涉檢測等進行了研究。由于高階非圓錐齒輪的設計和制造過程較為復雜，在很大程度上影響了其在機械產品中的應用，故目前僅有其在航空工業方面的相關研究報道[11]。

非圓齒輪的節曲線有多種類型，如：余弦曲線、帕斯卡曲線、多段圓弧和阿基米德螺線等，并且它們已成功應用于非圓直齒輪的設計中[12-14]。然而，目前對于高階非圓錐齒輪的研究還僅限于高階橢圓錐齒輪。本文采用一種新的設計方法來設計高階非圓錐齒輪的節面，并將其應用到其他類型的高階非圓錐齒輪的設計過程中，如帕斯卡曲線和阿基米德螺線錐齒輪的設計過程中。類似于高階非圓直齒輪節曲線設計，該設計方法也可能引起高階非圓錐齒輪的節面出現間斷點或尖點，為了滿足工程需求和齒輪副傳動的穩定性，需要對該非圓錐齒輪的節面進行修形，但該修形過程不應對所設計齒輪副的傳動比造成較大影響，針對該問題，本文提出了一種節面修形方法。依據刀具節面與非圓錐齒輪節面之間的運動關系，用部分刀具節面曲線替換了高階非圓錐齒輪節面凸尖點和凹尖點處的部分節面，并建立了修形后節面的精確數學模型。通過對高階阿基米德螺線錐齒輪與二次曲線錐齒輪設計實例的分析，驗證了該非圓錐齒輪節面設計和修正方法的實用性和有效性。

1　新型高階非圓錐齒輪的節面設計

(1)

圖1　3階阿基米德錐齒輪的幾何模型

圖2　點Oa、O、Oi、P、Pi之間的幾何關系

依據阿基米德螺線方程，極半徑lOP可表示為

lOP=h(1+kaθ1)0≤θ1≤π/N1

(2)

式中，h、ka為可調系數，并用于調節阿基米德螺線的形狀；θ1為極徑的回轉角；N1為阿基米德螺線的階數。

式(2)僅表示了阿基米德螺線的半個周期，另外半周期的節曲線可通過節曲線的對稱性獲得。

將式(2)代入式(1)可得

(3)

球面上任意一點Pi在坐標系Sa中可表示為

(4)

μ1=μ1(θ1)

式中，xs、ys、zs為節曲線上的點在坐標系Sa中的坐標。

可通過主從輪之間的傳動關系求解出從動輪的節面方程。如圖3所示，Sa(xa,ya, za)和Sb(xb,yb,zb)分別為主從動齒輪的回轉坐標系，OaI為瞬時回轉軸，μ1為回轉軸za與瞬時回轉軸OaI之間的夾角，μ為回轉軸za與zb之間的夾角。假定f12(θ)為主從動齒輪間的傳動比函數，則f12(θ)可表示為

(5)

圖3　3階阿基米德螺線錐齒輪副主從輪之間之間的嚙合關系

依據文獻[9]的方法并聯立式(4)與式(5),可得到從動輪的節曲線方程:

(6)

A=h(1+kaθ1)

同理：如果高階非圓錐齒輪的節面為二次曲線并且該二次曲線方程[14]可表示為

(7)

式中，a1、b2、c1均為系數。

依據式(1)～式(4)的設計方法，可得

(8)

(9)

μc=μc(θ1)

式中，xc、yc、zc為節曲線自身回轉坐標系中節面上點的坐標。

可采用類似的方法來設計其他類型節曲線的高階非圓錐齒輪的節面，圖4～圖6所示分別為二次曲線、帕斯卡曲線和阿基米德螺線錐齒輪大端節面的圖形。如果高階非圓齒輪的節面由多種類型的曲線組合而成，那么這種設計可能會引起節面出現不連續點或尖點，這些尖點會對齒輪齒廓的加工產生負面影響，因此修正節面產生的尖點非常必要。

圖4　3階二次曲線錐齒輪節面大端的節曲線

圖5　4階帕斯卡曲線錐齒輪節面大端的節曲線

圖6　3階阿基米德螺線錐齒輪節面大端的節曲線

2　高階非圓錐齒輪節面的修形模型

圖7　阿基米德螺線錐齒輪與產形刀具之間的幾何關系

為了計算切點a和b在坐標系Sa中的坐標值，切平面εt的法向量可表示為

na=(xa,ya,za)

(10)

其中，(xa,ya,za)對應于式(4)中的(xs,ys,zs)或式(9)中的(xc,yc,zc)，θ對應于式(4)與式(9)中的θ1。

整理式(10)可得表達式

(11)

其中，μ對應于式(4)中的μ1或式(9)中的μc。

由于大圓弧εt的法向量nt為(0,1,0)，法向量na與nt之間的夾角為π-α1，即

(12)

聯立式(11)與式(12)，角α1可表示為

(13)

在球面三角形Oqea中，依據球面三角定理可得

(14)

(15)

(16)

β1=π/N1-α2α2=θ

軸za與zc之間的夾角γ3為

(17)

∠OqaOd=3π/2-α3

其中，γ1為參數θ的函數，由式(3)或式(8)計算得到，γ2為刀具節面大端的節錐角，α3依據式(15)計算得到。

(18)

θs≤θt≤θs+β3

式中，θs為刀具從起始位置回轉到切點a所轉過的角度；θt為刀具的回轉角。

(xst,yst,zst)=Mst(xt,yt,zt)

(19)

其中，Mst為旋轉矩陣，其表達式為

(20)

圖8所示為凸尖點修形過程中刀具與齒輪節面的幾何關系，其推導過程與凹尖點類似(篇幅所限，從略)。由以上分析可知，通過對節面尖點的修形得到的高階非圓錐齒輪的節面為多段空間曲線的組合，即：刀具節面與非圓錐齒輪的節面組合。此外，非圓錐齒輪的齒廓可通過刀具節面繞非圓錐齒輪節面回轉運動來產生。

圖8　高階非圓錐齒輪的凸尖點與刀具節面之間的幾何關系

3　高階非圓錐齒輪齒廓的產形算法

由于采用以上方法設計的非圓錐齒輪節面由多段空間曲線組合而成，因此位于凸尖點與凹尖點之間的齒廓仍采用非圓錐齒輪與錐齒輪刀具的嚙合算法來產形，而尖點處被刀具曲線替換的節面采用錐齒輪副的嚙合算法來進行產形。此外，如果該節面為凹尖點處被替換的節面，則采用內嚙合錐齒輪齒廓產形算法，反之，則采用外嚙合的錐齒輪齒廓產形算法。本文開發了該非圓錐齒輪齒廓的產形算法用于仿真齒廓的包絡過程，其算法流程如圖9所示。其執行步驟如下：

圖9　高階非圓錐齒輪齒廓產形算法流程圖

(1)依據非圓錐齒輪的傳動比函數確定齒輪的設計參數，如：弧長、模數、齒數和大端半徑等。

(2)選擇加工的錐齒輪刀具，確定刀具的齒廓類型(本文的齒廓類型為球面漸開線)，依據刀具的設計參數建立一個虛擬的刀具模型。

(3)計算刀具節面與高階非圓錐齒輪節面的切點坐標，確定出高階非圓錐齒輪節面未被替換部分所對應的回轉角。

(4)依據節面類型來調用相應的產形算法，如果該節面為被替換的節面，則調用錐齒輪產形算法進行產形。否則，調用非圓錐齒輪產形算法進行產形。

(5)輸出齒廓的仿真模型，停止。

4　算例

4.1實例1

以3階阿基米德螺線錐齒輪的設計為例來說明節面尖點的修正過程。當節曲線的回轉角度θ∈[0,π/3]時，錐齒輪刀具與非圓錐齒輪節面凸尖點處的切點坐標為(71.66,3.59,69.66)mm，與非圓錐齒輪節面凹尖點處的切點坐標為(44.47，72.41,52.72)mm。3階阿基米德螺線錐齒輪大端節面如圖10所示，圖11為修形后的大端節面的圖像，對比圖10與圖11的仿真結果可知，修正前的節面弧長大于修正后的節面弧長，通過計算可知修正前的弧長為516.15 mm，修正后的弧長為513.07 mm。由于節面在修正前后齒輪的模數為定值，因此可確定修正前的齒輪齒數為164，修正后的齒數為163(表1)。此外，運用所開發的齒廓產形算法可生成該非圓錐齒輪齒廓的仿真圖(圖12)。

圖10　3階阿基米德螺線錐齒輪修形前的大端節曲線

圖11　3階阿基米德螺線錐齒輪修形后的大端節曲線

參數名修形前修形后可調系數h100100可調系數ka0.600.60球面半徑R(mm)100100凸尖點處切點坐標(mm)(71.66,3.59,69.66)(71.66,3.59,69.66)凹尖點處切點坐標(mm)(44.47,72.41,52.72)(44.47,72.41,52.72)模數m(mm)1.001.00齒數Z164163弧長(mm)516.15513.07

(a)齒廓的仿真圖

(b)齒廓的局部放大圖圖12　3階阿基米德螺線錐齒輪的齒廓圖像

4.2實例2

圖13　3階二次曲線錐齒輪修形前的大端節曲線

如圖13所示，非圓錐齒輪的節曲線也可采用二次曲線來設計。同理當θ∈[0,π/3]時，錐齒輪刀具與非圓錐齒輪節面位于凸尖點與凹尖點處的切點坐標分別為(71.66,3.59,69.66)mm，(44.47,72.41,52.72)mm。對比圖13～圖15的仿真結果可知，該非圓錐齒輪修形后的弧長與齒數要小于修形前的弧長與齒數，該節面修形方法對尖點處齒輪副的傳動性能有較小影響，但不會對該非圓錐齒輪的整個傳動性能產生較大影響。其弧長與齒數的計算結果如表2所示，其齒廓的仿真圖見圖16。

圖14　3階二次曲線錐齒輪修形前后大端節曲線的對比圖

圖15　3階二次曲線錐齒輪修形后的大端節曲線

參數名修形前修形后二次項系數a1100100一次項系數b11010常數項c16060球面半徑R(mm)100100凸尖點處切點坐標(mm)(51.91,3.12,85.41)(51.91,3.12,85.41)凹尖點處切點坐標(mm)(47.52,66.46,57.66)(47.52,66.46,57.66)模數m(mm)0.80.8齒數Z213197弧長(mm)535.59495.65

(a)齒廓的仿真圖

(b)齒廓的局部放大圖圖16　3階2次曲線錐齒輪的齒廓仿真圖像

4.3實例3

該實例選取帕斯卡曲線作為高階非圓錐齒輪的節面曲線，節面上任意點的錐角可依據式(3)或式(8)的形式表示為

(28)

式中各個參數的設計值見表3。

球面半徑的設計值R仍為100mm，錐齒輪的階數為4，計算得到的弧長為452.29mm，齒輪模數m=1.25mm，由此可計算出該錐齒輪的齒數為115。由圖17的節面大端曲線仿真結果可知，該節曲線連續且不存在尖點。調用所開發的非圓齒輪齒廓產形算法可得到該非圓齒輪的齒廓圖像(圖18)。

表3　4階帕斯卡曲線錐齒輪的設計參數

圖17　4階帕斯卡曲線錐齒輪節面大端的節曲線

圖18　4階帕斯卡曲線錐齒輪齒廓圖像

5　結論

(1)提出了一種設計高階非圓錐齒輪副節面的新方法，并將該方法應用于高階阿基米德螺線錐齒輪與高階二次曲線錐齒輪的設計過程中，從而建立了兩種新型非圓錐齒輪的模型。

(2)通過對高階非圓錐齒輪節面尖點的修形，有效地改善了節面尖點處的傳動性能。修形后所形成的節面有利于刀具的加工。

(3)基于該齒廓產形算法可有效地模擬出齒廓的生成過程，并且該算法為高階非圓錐齒輪的設計提供了一種有力的驗證工具。

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(編輯王艷麗)

Research on Design and Pitch Surface Shaping of New Type High-order Non-circular Gear

Lü Gang1,2Fan Shouwen1Li Guanghui2,3Tong Shuiguang2,3Xiao Renyuan2

1.University of Electronic Science and Technology of China,Chengdu,611731 2.Zigong Innovation Center of Zhejiang University,Zigong,Sichuan,643000 3.Zhejiang University,Hangzhou,310058

Archimedes spiral and Pascal curve were firstly used to design NBGs, the pitch surface mathematical model of NBGs was deduced. Aiming at cusp problems of pitch surface of high-order NBG pairs, a section pitch surface curve of generation cutter was considered as pitch surface lied in high-order NBGs cusp. According to motion relationship between pitch surface of cutter and that of the high-order NBGs, pitch surface shaping model of the high-order NBGs was established and generation algorithm of NBGs teeth profile was developed. High-order Archimedes spiral bevel gear and quadratic curve bevel gear were selected as cases to verify design practicability and pitch curve shaping method of high-order NBG.

non-circular bevel gear(NBG); Pascal curve; pitch curve; cusp; pitch surface shaping

2014-08-27

國家自然科學基金資助項目(51175067)

TH122DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.22.002

呂剛，男，1980年生。電子科技大學機電學院博士研究生。研究方向為機械產品設計缺陷辨識、特種齒輪傳動。發表論文11篇。范守文(通信作者)，男，1968年生。電子科技大學機電學院教授、博士研究生導師。李光輝，男，1982年生。浙江大學機械工程學院博士后研究人員。童水光，男，1960年生。浙江大學機械工程學院教授、博士研究生導師。肖人源，男，1988年生。浙江大學自貢創新中心碩士。