電磁諧波活齒傳動轉矩特性分析

任玉波　許立忠　梁永麗

燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，066004

電磁諧波活齒傳動轉矩特性分析

任玉波許立忠梁永麗

燕山大學河北省并聯機器人與機電系統實驗室，秦皇島，066004

提出一種新型的機電集成傳動系統，分析了該傳動系統的工作原理，基于彈性小變形及變形協調假設，對活齒進行了受力分析，給出了理論狀態下嚙合力分析的模型和算法，結合嚙合力計算示例獲得了該種傳動裝置的嚙合力分布特點，推導了傳動系統的輸出力矩，研究了輸出力矩隨傳動比、線圈匝數、活齒半徑、氣隙系數、定子槽數等多種參數的變化規律。根據分析結果，對該種傳動機構的參數進行了合理的優化。

機電集成；柔輪；活齒；轉矩

0　引言

在許多傳動場合，需要低轉速地輸出動力或運動[1-3]時，通常都是采用伺服電機帶機械齒輪減速器的辦法來實現[4]。本文提出的電磁諧波活齒傳動是一種將機械活齒傳動與旋轉電磁場產生的電磁諧波巧妙結合起來的新型傳動裝置，該裝置可實現大傳動比的低速輸出，同時裝置中沒有高速旋轉的機械部件，因此可以獲得更快的響應速度，具有精度高、體積小、重量輕等特點，在電子組裝、醫療器械、航空及軍工等領域具有廣闊的應用前景[5]。

1　電磁諧波活齒傳動原理

1.柔輪　2.電磁繞組　3.中心輪　4.活齒　5.活齒架圖1　電磁諧波活齒傳動系統結構簡圖

圖1所示為電磁諧波活齒傳動系統的結構簡圖。它由三個基本構件組成：①激波器。激波器由電磁繞組和柔輪組成，柔輪是半徑為r、厚度為t的杯狀金屬圓柱，與機座固連。柔輪與電磁鐵芯繞組之間是厚度為δ的空氣隙。柔輪在旋轉磁場的作用下會發生變形，即將磁場力順序施加于不同的相對應的兩個扇區內，柔輪會在相應的位置發生變形。柔輪發生變形時，將推動活齒沿著活齒架的徑向導槽移動。由于柔輪變形具有對稱性，所以電磁諧波的激波器相當于活齒傳動中的的雙向凸輪激波器。②活齒輪。由活齒架和一組活齒組成，活齒架可以是薄壁圓筒，常與輸出軸固連，活齒由活齒體(鋼球)組成。③中心輪。中心輪的內齒形是活齒外端齒形曲線的包絡線。

這三個構件中，激波器為主動件，活齒輪和中心輪任意固定一個，另一個為從動件。

當系統通入三相交流電時，柔輪在電磁繞組的作用下會產生周期性的徑向彈性變形，柔輪徑向尺寸的變化會產生徑向推力，迫使與中心輪工作齒形接觸的諸活齒沿著活齒架的徑向導槽移動，與此同時，活齒因受活齒架、中心輪齒廓高副的約束，在沿著內齒中心輪齒廓運動的過程中，推動活齒架以等角速度轉動，于是，活齒傳動完成了轉速變換運動。而與中心輪非工作齒廓接觸的諸活齒(鋼球)，在活齒架徑向導槽的推動下，順序地返回工作起始位置，完成它的一個工作循環。每一個活齒只能推動從動件轉一定的角度，而活齒傳動的連續運動，是靠各活齒的接替工作來實現的[6]。

電磁諧波活齒傳動的傳動比定義為激波器與活齒輪或中心輪的實際角速度之比。該傳動比可以用“相對角速度法”求出。

中心輪固定，激波器主動，活齒輪從動時的傳動比為

(1)

式中，nE為旋轉磁場轉速；nS為輸出軸轉速；Zz為中心輪齒數；Zh為活齒數。

活齒輪固定，激波器主動，中心輪從動時的傳動比為

(2)

電磁諧波的激波器相當于活齒傳動中的雙向凸輪激波器，中心輪與活齒輪的齒數差為±2，即二齒差活齒傳動。

2　活齒受力分析

2.1受力模型及算法

電磁諧波活齒傳動工作過程中，所有的活齒都參與接觸與傳力，由于中心輪齒形具有周期性，每個活齒與其共軛齒廓的工作過程又完全相同，所以在受力分析時，可以任選一個活齒嚙合副作為對象進行研究。

為便于對活齒的嚙合副進行受力分析，同時又不影響嚙合副之間的受力狀況，作如下假設[7]：①各構件裝配間隙為零，傳動系統無裝配誤差；②因為活齒的質量相對較小，因此不考慮其慣性力的影響；③忽略嚙合副各元素間摩擦力的影響；④活齒與中心內齒輪、活齒架及柔輪的嚙合副之間均為接觸彈性小變形。

2.1.1活齒受力平衡方程

圖2所示為任意第i個嚙合副各作用力的空間位置關系。XOY為系統固定坐標系，X′OY′與X″OY″分別為旋轉磁場及活齒架的連體坐標系。O為激波器與活齒架的回轉中心，Oi為活齒中心，激波器對活齒的作用力為F1i；活齒架對活；各構件對活齒的作用力都通過球心并沿活齒齒面的法線方向。顯然，這是一個平面匯交力系，活齒在每個工作瞬時處于平衡狀態[8]，則力的平衡關系為

(a)柔輪、活齒架、中心輪作用于活齒的力

(b)活齒受力及變形轉換圖2　活齒受力簡圖

齒的作用力為F2i；中心輪內齒對活齒的作用力為F3i

解得

(3)

式中，φ2i為第i個活齒中心Oi到O點的連線與OX軸的夾角；ξi為第i個活齒與中心輪內齒廓接觸點處外法線方向與固定坐標系X軸的夾角；γi為OOi與OiAi的夾角。

根據余弦定理，得

式中，φ1i為磁場相對于固定坐標系XOY轉過的角度；a為柔輪變形后長軸；b為柔輪變形后短軸；rb為活齒半徑。

2.1.2接觸變形方程

理論上，活齒與中心內齒輪、活齒架及柔輪殼體之間是通過點接觸來進行動力傳遞的，在彈性小變形假設下，各接觸變形可近似地由直徑為2L的小圓面積區域來描述。其中L可由Hertz公式[9]確定：

(4)

式中，μ1、μ2為兩接觸構件材料的泊松比；E1、E2為兩接觸構件的彈性模量；P為接觸載荷；R1、R2分別為構件在接觸點處的曲率半徑。

運算中正負號的選取根據以下方法而定：若取R1對應于活齒半徑，R2分別對應于柔輪、中心內齒輪齒廓及活齒架孔的曲率半徑，則在其接觸輪廓為凸時取正號，為凹時取負號。

接觸點處的接觸法向變形為

(5)

2.1.3變形協調方程

設活齒架(輸出軸)不轉動，且δ1i、δ2i、δ3i分別為在輸入載荷作用下活齒與柔輪殼體、活齒架以及中心內齒輪間的接觸法向變形。由于活齒的存在，限制了柔輪的徑向位移，所以嚙合副處的接觸變形將達到變形協調，并有如下變形協調方程成立：

(6)

(7)

(8)

根據文獻[10]，有

(9)

式中各符號含義見文獻[10]。

2.1.4算法

式(3)～式(9)聯立構成電磁諧波活齒傳動的受力分析模型，根據該模型可以進行如下計算：

(1)由給定的幾何參數及嚙合狀態來確定計算過程中的相關參數，如γi、ξi及各接觸點的曲率半徑等。

(2)由式(3)得到F2i、F3i以F1i為變量的顯表達式。

(3)將F2i、F3i以及F1i代入式(4)和式(5)后，得到各接觸變形δ1i、δ2i及δ3i的表達式(均以F1i為變量)。

(6)根據F1i確定其他嚙合副作用力F2i、F3i。

2.2嚙合副受力分析實例

設中心內齒輪的齒數為30，活齒數為32，傳動比為16，柔輪變形后輪廓橢圓長軸長度a=67.5mm，短軸長度b=66.5mm，活齒半徑rb=3mm。

設中心輪、柔輪及活齒材料的彈性模量E皆為206GPa，泊松比μ=0.3。將活齒按順序依次編號1～32號，參考圖2，以距坐標系XOY的OY軸沿逆時針方向轉角值最小的活齒為1號活齒，則在該狀態下處于兩軸對稱嚙合區內的活齒編號分別為9～16和25～32。根據前面的分析模型及算法，相應的受力分析結果如表1所示。

表1　嚙合副受力分析結果

由表1可以看出，受力活齒分別位于兩個呈180°軸對稱分布的嚙合區域中，兩嚙合區域中各對稱布置的嚙合副的嚙合力(F1i、F2i和F3i)等值并相反(量值的差異為MATLAB的計算精度所致)，兩嚙合區域內的嚙合力沿內齒廓由齒頂至齒根呈現出由小到大再由大到小的平穩變化趨勢。該實例的計算結果證明了前面對電磁諧波活齒傳動特性的分析是正確的。

3　系統輸出力矩

文獻[10]計算出的位移，是僅考慮空載磁場下柔輪的受力狀態，即當去掉活齒，柔輪不被限位，可以自由變形的狀態。這種情況實際是不存在的，當柔輪激波器的變形達到一定值時，將受到活齒的限制，阻止其變形。因而柔輪將受到一個反力的作用，這個力的大小反映了磁場力所能提供輸出力的大小，亦即柔輪激波器作用于活齒的力F1i。

在機電集成電磁諧波活齒傳動中，如果柔輪激波器為主動，中心輪固定，則活齒輪可與輸出軸固連以輸出低速運動，系統的輸出力矩為

(10)

式中，m、n和p、q分別為處于兩個不同嚙合區的活齒編號;Rc為活齒架平均半徑。

圖3所示為φ2-T關系曲線，φ2為活齒中心到O點的連線與OX軸的夾角。圖中a點為系統的最大力矩所在處，由圖3可見，系統的輸出力矩比較穩定。

圖3　φ2-T關系曲線

為進一步分析影響輸出力矩T的幾個因素，分別作出了變化傳動比i、活齒半徑rb、活齒架半徑Rc、匝數Nz、定子槽數m和氣隙長度δ所得的不同的φ2-T關系曲線，如圖4～圖9所示。

圖4　力矩T隨傳動比i的變化

圖5　力矩T隨活齒半徑rb的變化

圖6　力矩T隨活齒架半徑Rc的變化

圖7　力矩T隨匝數Nz的變化

圖8　力矩T隨定子槽數m的變化

圖9　力矩T隨氣隙系數δ的變化

由圖4～圖9可以看出：

(1)隨著傳動比i的增大，系統的輸出力矩T也隨之增大，傳動比i=16時系統的輸出力矩大約比傳動比i=12時的輸出力矩大59%，傳動比的增大是因為活齒數增加了，參加嚙合的活齒數增多導致輸出力矩也增大。

(2)隨著活齒半徑rb的增大，系統的輸出力矩T隨之減小，活齒半徑rb=5mm時系統的輸出力矩大約是活齒半徑rb=7.5mm的輸出力矩的4倍，系統的輸出力矩T與活齒半徑rb近似成反比關系。這是因為在活齒架半徑一定的情況下，活齒半徑rb減小，活齒數目增加了，參加嚙合的活齒數也增加了。

(3)隨著活齒架半徑Rc的增大，系統的輸出力矩T隨之增大，活齒架半徑Rc=40mm時系統的輸出力矩大約是活齒架半徑Rc=32mm時系統輸出力矩的7倍，系統的輸出力矩T與活齒架半徑Rc成正比關系，這是因為活齒架半徑Rc增大導致力臂增大了。

(4)隨著線圈匝數Nz的增加，系統的輸出力矩T也隨之增大，線圈匝數Nz=81時系統的輸出力矩大約是線圈匝數Nz=64時系統輸出力矩的5倍，系統的輸出力矩T與線圈匝數Nz成正比關系，這是因為線圈匝數Nz的增加導致電磁力增大了。

(5)隨著定子槽數m的增加，系統的輸出力矩T基本保持不變，表明定子槽數m的變化對系統輸出力矩T基本不產生影響。

(6)隨著氣隙長度δ的增大，系統的輸出力矩T隨之減小，氣隙長度δ=0.5mm時系統的輸出力矩大約是氣隙長度δ=1mm時系統輸出力矩的8倍，表明氣隙長度δ對系統輸出力矩的影響很大，這是因為氣隙增大導致作用在柔輪上的電磁力迅速減小。

4　結論

(1)提出了一種新型的機電集成電磁諧波活齒傳動系統，分析了該系統的工作原理。

(2)根據彈性小變形及變形協調假設對活齒進行了受力分析，得到了系統的輸出力矩公式。

(3)研究了力矩隨相關結構參數的變化規律，結果表明：系統的傳動比i、活齒半徑rb、活齒架半徑Rc、線圈匝數Nz及氣隙長度δ等參數對系統的輸出力矩T均有不同程度的影響，定子槽數m的變化對系統的輸出力矩T幾乎不產生影響。雖然大的傳動比i、小的活齒半徑rb、大的活齒架半徑Rc、多的線圈匝數Nz、小的氣隙長度δ使系統的輸出力矩T均較大，但考慮到系統整體尺寸、響應速度、中心輪齒廓不頂切等方面，應選擇適當的結構參數和傳動比。

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(編輯王艷麗)

Analysis on Torque Characteristics of Harmonic Electromagnetic Movable Tooth Transmission

Ren YuboXu LizhongLiang Yongli

Parallel Robot and Mechatronic System Laboratory of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

A new type of electromechanical integrated transmission system was presented, this transmission system working principles were analyzed, based on a small elastic deformation and deformation coordination assumptions, the stress of movable tooth was analyzed.The meshing force analysis model and algorithm were given under the theoretic status, in accordance with meshing force calculation sample the transmission device preliminary meshing force distribution characteristics were obtained. The transmission output torque was derived, the variation laws were studied,that indicated the relationship among output torque and transmission ratio, the number of turns, tooth radius, gap coefficient and stator slots.Based on this result,it can optimize the parameters of this transmission mechanism.

electromechanical integrated; flexspline; movable tooth; torque

2014-10-20

國家自然科學基金資助項目(51275441)

TH132< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.15.003

任玉波，女，1963年生。燕山大學機械工程學院副教授。主要研究方向為現代機械傳動及機電集成系統。發表論文30余篇。許立忠，男，1962年生。燕山大學機械工程學院教授、博士研究生導師。梁永麗，女，1980年生。燕山大學機械工程學院講師、博士。