立足數學模型，建立知識結構，生成方法思想
——以“全等三角形”復習課的教學為例

仲進勇

江蘇省揚州市梅嶺中學 225000

復習課應體現以學生為主體的教學理念，通過精心設計問題，讓學生建構科學的知識體系，從中提煉好的數學思想方法，使數學素養得到培養.筆者曾主講的一堂“全等三角形”的復習課，獲得了同人的一致好評，現將案例整理成文，與各位同行交流.

課例簡錄

（一）教學環節1——基本圖形出發，回顧全等判定

問題1：如圖1所示，射線OC是∠AOB的角平分線，PE⊥OB于點E，PD⊥OA于點D，觀察圖形，你能從中得到哪些結論呢？為什么？

圖1

生1：因為射線OC是∠AOB的角平分線，PE⊥OB于點E，PD⊥OA于點D，根據角平分線性質定理，得PE=PD；因為∠EOP=∠DOP，∠OEP=∠ODP=90°，所以∠EPO=∠DPO，即PO平分∠EPD.

生2：在△EOP 與△DOP 中，因 為PE=PD，OP公用，根據斜邊直角邊定理，得Rt△EOP≌Rt△DOP，所 以OE=OD.因為OE=OD，EP=DP，根據線段垂直平分線的逆定理，得直線OC是線段ED的垂直平分線.

師：很好，這兩位同學重點關注了△EOP與△DOP的對應相等關系，如果從圖形的整體來看，觀察四邊形EODP有什么特殊性質呢？

生3：四邊形EODP是一個對角互補的四邊形，因為∠OEP=∠ODP=90°，四邊形內角和為360°，所以∠EOD+∠EPD=180°.

設計意圖通過復習回顧角平分線性質的基本圖形，讓學生從線段之間的關系、角之間的關系、三角形之間的關系三個方面初步認識基本圖形，為后續圖形變換的學習做好鋪墊.其中，引導學生觀察四邊形對角互補的特征，旨在培養學生整體感知圖形的意識，讓學生養成善于觀察思考和善于總結的良好思維意識.

（二）教學環節2——變換圖形，探究發現

問題2：如圖2所示，射線OC是∠AOB的角平分線，∠PEO+∠PDO=180°，你能從圖中得到哪些結論呢？

圖2

生4：因為∠PEO+∠PDO=180°，根據四邊形內角和等于360°，得∠EOD+∠EPD=180°.因為射線OC是∠AOB的角平分線，如圖3所示，過點P向∠AOB兩邊作垂線，即PM⊥OB，PN⊥OA，垂足分別為點M，N，根據角平分線的性質，得PM=PN.

圖3

師：在圖3中，根據角平分線的性質，得線段PM=PN，那么線段PE與PD有何數量關系呢？

生5：線段PE=PD，因為四邊形PMON是對角互補的四邊形，即∠EOD+∠MPN=180°，而∠EOD+∠EPD=180°，根據同角的補角相等，得∠MPN=∠EPD，所以∠EPM=∠DPN，在△PME與△PND中，因為∠EMP=∠DNP=90°，∠EPM=∠DPN，PM=PN，所以△PME≌△PND（ASA），所以PE=PD.

師：很好！這位同學應用全等三角形證明了PE=PD，關于證明PE=PD還有其他的思路嗎？

生6：既然四邊形PEOD是對角互補的四邊形，那么四邊形EODP是圓的內接四邊形，如圖4所示，當點E，O，D，P四點共圓時，因為射線OC是∠AOB的角平分線，所以∠EOP=∠DOP，根據圓周角定理，得弧EP=弧DP，根據圓心角定理，得EP=DP.

圖4

師:從這里我們初步發現，在對角互補的四邊形中，如果一條對角線平分一個角，那么對角的兩邊相等.

設計意圖筆者首先讓學生獨立思考，自主得到結論，然后順著學生作出的兩條垂線引導學生探究線段PE與PD的數量關系，學生自然能利用全等三角形去證明.為了拓展學生思維，加強知識融合，筆者引導學生尋找不同的解法，于是有了輔助圓的解法.此題主要培養學生學會分析題意和善于將未知圖形轉化為基本圖形，在教學過程中，學生可能說出的結論比較多，這就需要教師抓住核心——探究的結論進行引導，進行總結歸納，讓教學主線更突出.

（三）教學環節3——典例剖析，強化模型

問題3：如圖5所示，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，點D是AC的中點，∠EDF=90°，求證：DE=DF.

圖5

師：題中重要的已知條件是什么?欲求證的結論是什么？

生7：題中重要的已知條件包括：（1）△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=BC；（2）點D是底邊AC的中點；（3）∠EDF=90°.欲求證的結論是：DE=DF.

師：圖5中存在前面學過的幾何模型嗎？為什么？如何把幾何模型轉化為基本型呢？

生8：圖5中存在前面學過的幾何模型，即對角互補的四邊形EBFD，因為∠ABC=90°，∠EDF=90°，所以四邊形EBFD是對角互補的四邊形.為了轉化幾何模型，需要連接BD，如圖6，過點D作DM⊥AB于點M，作DN⊥BC于點N.

圖6

生9：因為△ABC是等腰直角三角形，點D是底邊AC的中點，根據等腰三角形三線合一，得BD平分∠ABC.因為DM⊥AB，DN⊥BC，根據角平分線的性質，得DM=DN.在四邊形BMND中，因為∠DMB=∠DNB=∠ABC=90°，所以∠MDN=90°.因為∠EDF=90°，根據同角的余角相等，得∠MDE=∠NDF.因為∠DMB=∠DNF=90°，DM=DN，所以△MDE≌△NDF（ASA），所以DE=DF.

師：很好！這位同學使用了作垂線的方法構造對角互補的基本圖形.除了這種方法，還有沒有其他的方法呢？

生10：也可以只連接BD，通過證明△EBD≌△FCD，得到DE=DF.因為在△EBD 與△FCD 中，∠EBD=∠C=45°，BD=DC，∠EDB=∠FDC，所以△EBD≌△FCD（ASA）.

生11：也可以連接BD，證明△AED≌△BFD，得 到DE=DF.因 為△AED 與△BFD 中，∠A=∠DBF=45°，AD=BD，∠ADE=∠BDF，所以△AED≌△BFD（ASA）.

設計意圖問題中BD是∠ABC的角平分線是隱含條件，有利于培養學生挖掘隱含條件的能力.通過引導，學生發現了解決這個問題的三種方法，提高了靈活運用知識解決問題的能力.

（四）教學環節4——變式訓練，提高轉化能力

問題4：讓圖5的∠EDF繞點D旋轉一定的角度，如圖7所示，BD是所在直角的平分線，DE交直角的反向延長線于點E，∠EDF=90°，求證：DE=DF.

圖7

師：題中的圖形能否轉化為對角互補的四邊形呢？方法是什么？

生12：題中的圖形可以轉化為對角互補的四邊形，方法仍然過點D作直角兩邊的垂線DM，DN，垂足分別是點M，N，其中四邊形MBND就是對角互補的四邊形，如圖8所示.

圖8

師：接下來如何證明DE=DF？

生13：可以通過證明△MDE≌△NDF，得到DE=DF.因為BD是角平分線，DM，DN是垂線，根據角平分線性質定理，得DM=DN，因為∠MBN=90°，所以∠MDN=90°；因為∠EDF=90°，根據同角的余角相等，得∠MDE=∠NDF；在△MDE與△NDF中，因為∠MDE=∠NDF，DM=DN，∠DME=∠DNF=90°，所以△MDE≌△NDF（ASA），所以DE=DF.

師：這位同學利用作雙垂線構造對角互補的四邊形獲得了證明，還有其他的方法嗎？

生14：還可以過點D作BD的垂線交BF于點N，通過證明△BDE≌△NDF，得到DE=DF，如圖9所示.

圖9

生15：還可以過點D作BD的垂線交EB的延長線于點M，通過證明△MDE≌△BDF，得到DE=DF，如圖10所示.

圖10

……

課例反思

（一）復習基礎，構建網絡

思想方法的形成必須以知識為依托.因此，在復習過程中，要加強基礎知識的復習與回顧，把零散的知識串聯起來，構建完整的知識網絡.本節課在深入研究對角互補的幾何模式時，加強全等三角形判定方法與性質的復習整理，同時強調用多種方法解答同一問題，實現知識的有效串聯.

（二）形成方法，優化方法

學習方法的形成有利于達到會一題、通一類的教學目的.本節課從角平分線的基本圖形出發，從特殊到一般，從常規到變形，不斷總結歸納解題思路與方法，達到了多題一解的目的，使學生有效掌握了解決問題的基本方法.

（三）關注思想，有效滲透

數學思想是數學的靈魂，在中考復習中，教師要設計拓展提高題，滲透數學思想方法，以提高學生的數學能力.在本節課中，通過基本數學模型的構建，滲透了數學建模的思想；通過將非常規圖形轉化為常規圖形，滲透了轉化思想，有效提高了教學效果.