高中數學中的不等式恒成立問題

何 娟

（湖北省丹江口市第一中學 湖北十堰 442700）

高中數學中的不等式恒成立問題

何 娟

（湖北省丹江口市第一中學 湖北十堰 442700）

不等式恒成立問題是高考中的熱點和難點，因其方法靈活多變，考察內容綜合性強，學生在解決時往往難以入手，現將這類問題的常用方法總結一二。

構造函數 變換主元 分離參數 數形結合

不等式問題是數學中的重要內容之一，在數學的各個分支中都有廣泛的應用，而含參數不等式恒成立問題又是重點中的難點。這類問題以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數、方程、不等式等內容，具有一定的綜合性和復雜性，因而成為近幾年高考試題中的熱點。在確定恒成立不等式中參數的取值范圍時，需要在函數思想的指引下，靈活地進行代數變形、綜合地運用多科知識。其解法多變，思維含量較高，滲透了函數與方程、數形結合、轉化與化歸等一系列數學思想方法。本文將通過實例，從不同角度用常規方法歸納，就其常見類型及解題策略舉例說明，理解不等式證明的數學思想與使用策略，體會數學的科學價值和實用價值。

一、構造函數法

函數是高中數學中一顆美麗的明珠，很多數學問題都可以應用函數來解決。在解決不等式恒成立問題時，即可通過構造適當的函數，然后利用相關函數的圖象和性質解決問題。

點評：對此類含參問題，若所構造函數較復雜時，可從特殊值入手，初步縮小變量的取值范圍，可有效減少后續工作量，解題目中要注意該技巧的使用。

二、變換主元法

在一個含多個變量的數學問題中，需要確定合適的變量和參數，從而揭示函數關系，使問題本質更加清晰明了，一般來說，已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數。

例1：對任意m∈［-1,1］，不等式x2+mx+1≥3恒成立，求實數x的取值范圍。

分析：題中已知m的范圍，故可視y=x2+mx +1為m的一次函數。

解：令g( m)=mx+x2+1，因是一次函數，相應的直線斜率為x

當x＞0時，g( m)為遞增函數，要使g( m)≥3，必須滿足g(-1)≥3

即g(-1)=x2-x +1≥3，解得x≥2；

當x＜0時，g( m)為遞減函數，要使g( m)≥3，必須滿足g(1)≥3

即g(1)=x2+x+1≥ 3，解得x≥-2；

當x=0時，g( m)=1≤3，不符合要求，舍去。

則，x的取值范圍為｛x| x≤-2或x≥2｝。

此問題常因思維定勢，學生易把它看成關于x的不等式討論，從而因計算繁瑣出錯或者中途夭折；若轉換一下思路，把待求的x為參數，以m為變量，則問題轉化為求一次函數（或常數函數）在給定區間上求最值，再來求解參數x應滿足的條件，這樣問題就輕而易舉的得到解決了。一般地，在求解“含參不等式恒成立問題”時，遵循“已知誰的范圍，則視為誰的函數”，可幫助我們快速確定構造函數的方向。將恒成立問題轉化為求函數最值問題。

三、分離參數法

所謂分離參數法，就是將參數與未知量分離于不等式的兩邊，然后根據未知量的取值情況，通過求函數最值的方法來確定參數的取值范圍。在不等式中求參數范圍時，當參數較易分離，且分離后不等式一邊的函數（或代數式）的最值或范圍可求時，常用分離參數法。

此類問題把要求的參變量分離出來，單獨放在不等式的一側，將另一側看成新函數，于是將問題轉化成新函數的最值問題。若對于x取值范圍內的任一個數都有恒成立，則；若對于x取值范圍內的任一個數都有恒成立，則.當求解時，所求變量的系數容易確定范圍，變量容易分離出來時，可將變量分離后轉化為求一個不含變量的新函數的最值問題.

四、數形結合法

數形結合法，就是先把不等式或經過變形的不等式兩端分別看成兩個函數，再畫出兩函數的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點時）的位置關系，最后列出含參數不等式恒成立問題中的參數范圍。

我們一起來看看下面一道題目：（2006年，上海卷，理12）三個同學對問題“關于x的等式在［1,12］上恒成立，求實數a的取值范圍”提出各自的解題思路。

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數，右邊僅為常數，求函數的最值”

丙說：“把不等式兩邊看成關于x的函數，作出函數的圖象”

參考上述解題思路，你認為他們所討論的問題的正確討論，即a的取值范圍為————

筆者認為這是不等式恒成立問題中非常經典的一個題目，甲的觀點是一個非常典型的錯誤，是很多學生都在此處容易出錯的。題目要的是f（x）>g（x）處處成立，而與f（x）與g（x）的最值完全沒有關系；丙的想法理論上沒問題，但對于我們而言，左邊的這個函數圖象我們根本無法作出，屬于理論上可行但實際不可操作；乙的思路完全正確，正是此題的完美解法。由此，我們一起來探討兩類問題：

1. f( x)＞g( x)型不等式

這類問題往往轉化成不等式 f( x)-g( x)＞0，轉而求左邊新函數的最值。

例. 已知函數f( x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.

點評：此類形如f（x）>g（x）不等式問題模式性非常強，一般可按如下步驟解決

①構造函數h（x）=f（x）-g（x）

②研究h（x）單調性求最值

③利用不等式性質求解

2. f( x1)＞g( x2)型不等式

這類問題不等號左，右兩邊變量不同，所以兩邊函數取值不影響，在解決這種問題時可轉化為求兩個函數的最值問題。

不等式是數學史上的一座不朽的豐碑，而不等式的恒成立問題又是豐碑上最璀燦的明珠。含參數的不等式恒成立問題往往與函數的單調性、極值、最值等有關，所以解題時要善于將這類問題與函數聯系起來，通過函數最值求解相關問題，滲透函數思想，在應用中體會數學的無究魅力。

［1］田寶運.不等式問題中的數學思想［J］.中學數學研究

［2］郭希連.不等式的解法［J］.數學通訊，

［3］樓伯壽.含參數不等式的解法之數形結合［J］.中學教研，

［4］孟凡棟.《恒成立類型不等式中參數范圍的幾種求法》.《數學教學通訊》