高中數(shù)學(xué)中的不等式恒成立問題

何 娟

（湖北省丹江口市第一中學(xué) 湖北十堰 442700）

高中數(shù)學(xué)中的不等式恒成立問題

何 娟

（湖北省丹江口市第一中學(xué) 湖北十堰 442700）

不等式恒成立問題是高考中的熱點(diǎn)和難點(diǎn)，因其方法靈活多變，考察內(nèi)容綜合性強(qiáng)，學(xué)生在解決時(shí)往往難以入手，現(xiàn)將這類問題的常用方法總結(jié)一二。

構(gòu)造函數(shù) 變換主元 分離參數(shù) 數(shù)形結(jié)合

不等式問題是數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容之一，在數(shù)學(xué)的各個(gè)分支中都有廣泛的應(yīng)用，而含參數(shù)不等式恒成立問題又是重點(diǎn)中的難點(diǎn)。這類問題以含參不等式“恒成立”為載體，鑲嵌函數(shù)、方程、不等式等內(nèi)容，具有一定的綜合性和復(fù)雜性，因而成為近幾年高考試題中的熱點(diǎn)。在確定恒成立不等式中參數(shù)的取值范圍時(shí)，需要在函數(shù)思想的指引下，靈活地進(jìn)行代數(shù)變形、綜合地運(yùn)用多科知識。其解法多變，思維含量較高，滲透了函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化與化歸等一系列數(shù)學(xué)思想方法。本文將通過實(shí)例，從不同角度用常規(guī)方法歸納，就其常見類型及解題策略舉例說明，理解不等式證明的數(shù)學(xué)思想與使用策略，體會數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和實(shí)用價(jià)值。

一、構(gòu)造函數(shù)法

函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中一顆美麗的明珠，很多數(shù)學(xué)問題都可以應(yīng)用函數(shù)來解決。在解決不等式恒成立問題時(shí)，即可通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后利用相關(guān)函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決問題。

點(diǎn)評：對此類含參問題，若所構(gòu)造函數(shù)較復(fù)雜時(shí)，可從特殊值入手，初步縮小變量的取值范圍，可有效減少后續(xù)工作量，解題目中要注意該技巧的使用。

二、變換主元法

在一個(gè)含多個(gè)變量的數(shù)學(xué)問題中，需要確定合適的變量和參數(shù)，從而揭示函數(shù)關(guān)系，使問題本質(zhì)更加清晰明了，一般來說，已知范圍的量視為變量，而待求范圍的量視為參數(shù)。

例1：對任意m∈［-1,1］，不等式x2+mx+1≥3恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍。

分析：題中已知m的范圍，故可視y=x2+mx +1為m的一次函數(shù)。

解：令g( m)=mx+x2+1，因是一次函數(shù)，相應(yīng)的直線斜率為x

當(dāng)x＞0時(shí)，g( m)為遞增函數(shù)，要使g( m)≥3，必須滿足g(-1)≥3

即g(-1)=x2-x +1≥3，解得x≥2；

當(dāng)x＜0時(shí)，g( m)為遞減函數(shù)，要使g( m)≥3，必須滿足g(1)≥3

即g(1)=x2+x+1≥ 3，解得x≥-2；

當(dāng)x=0時(shí)，g( m)=1≤3，不符合要求，舍去。

則，x的取值范圍為｛x| x≤-2或x≥2｝。

此問題常因思維定勢，學(xué)生易把它看成關(guān)于x的不等式討論，從而因計(jì)算繁瑣出錯(cuò)或者中途夭折；若轉(zhuǎn)換一下思路，把待求的x為參數(shù)，以m為變量，則問題轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)（或常數(shù)函數(shù)）在給定區(qū)間上求最值，再來求解參數(shù)x應(yīng)滿足的條件，這樣問題就輕而易舉的得到解決了。一般地，在求解“含參不等式恒成立問題”時(shí)，遵循“已知誰的范圍，則視為誰的函數(shù)”，可幫助我們快速確定構(gòu)造函數(shù)的方向。將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題。

三、分離參數(shù)法

所謂分離參數(shù)法，就是將參數(shù)與未知量分離于不等式的兩邊，然后根據(jù)未知量的取值情況，通過求函數(shù)最值的方法來確定參數(shù)的取值范圍。在不等式中求參數(shù)范圍時(shí)，當(dāng)參數(shù)較易分離，且分離后不等式一邊的函數(shù)（或代數(shù)式）的最值或范圍可求時(shí)，常用分離參數(shù)法。

此類問題把要求的參變量分離出來，單獨(dú)放在不等式的一側(cè)，將另一側(cè)看成新函數(shù)，于是將問題轉(zhuǎn)化成新函數(shù)的最值問題。若對于x取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則；若對于x取值范圍內(nèi)的任一個(gè)數(shù)都有恒成立，則.當(dāng)求解時(shí)，所求變量的系數(shù)容易確定范圍，變量容易分離出來時(shí)，可將變量分離后轉(zhuǎn)化為求一個(gè)不含變量的新函數(shù)的最值問題.

四、數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合法，就是先把不等式或經(jīng)過變形的不等式兩端分別看成兩個(gè)函數(shù)，再畫出兩函數(shù)的圖象，然后通過觀察兩圖象（特別是交點(diǎn)時(shí)）的位置關(guān)系，最后列出含參數(shù)不等式恒成立問題中的參數(shù)范圍。

我們一起來看看下面一道題目：（2006年，上海卷，理12）三個(gè)同學(xué)對問題“關(guān)于x的等式在［1,12］上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”提出各自的解題思路。

甲說：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”

乙說：“把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅為常數(shù)，求函數(shù)的最值”

丙說：“把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)的圖象”

參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問題的正確討論，即a的取值范圍為————

筆者認(rèn)為這是不等式恒成立問題中非常經(jīng)典的一個(gè)題目，甲的觀點(diǎn)是一個(gè)非常典型的錯(cuò)誤，是很多學(xué)生都在此處容易出錯(cuò)的。題目要的是f（x）>g（x）處處成立，而與f（x）與g（x）的最值完全沒有關(guān)系；丙的想法理論上沒問題，但對于我們而言，左邊的這個(gè)函數(shù)圖象我們根本無法作出，屬于理論上可行但實(shí)際不可操作；乙的思路完全正確，正是此題的完美解法。由此，我們一起來探討兩類問題：

1. f( x)＞g( x)型不等式

這類問題往往轉(zhuǎn)化成不等式 f( x)-g( x)＞0，轉(zhuǎn)而求左邊新函數(shù)的最值。

例. 已知函數(shù)f( x)=ex,直線l的方程為y=kx+b.

點(diǎn)評：此類形如f（x）>g（x）不等式問題模式性非常強(qiáng)，一般可按如下步驟解決

①構(gòu)造函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）

②研究h（x）單調(diào)性求最值

③利用不等式性質(zhì)求解

2. f( x1)＞g( x2)型不等式

這類問題不等號左，右兩邊變量不同，所以兩邊函數(shù)取值不影響，在解決這種問題時(shí)可轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)函數(shù)的最值問題。

不等式是數(shù)學(xué)史上的一座不朽的豐碑，而不等式的恒成立問題又是豐碑上最璀燦的明珠。含參數(shù)的不等式恒成立問題往往與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等有關(guān)，所以解題時(shí)要善于將這類問題與函數(shù)聯(lián)系起來，通過函數(shù)最值求解相關(guān)問題，滲透函數(shù)思想，在應(yīng)用中體會數(shù)學(xué)的無究魅力。

［1］田寶運(yùn).不等式問題中的數(shù)學(xué)思想［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)研究

［2］郭希連.不等式的解法［J］.數(shù)學(xué)通訊，

［3］樓伯壽.含參數(shù)不等式的解法之?dāng)?shù)形結(jié)合［J］.中學(xué)教研，

［4］孟凡棟.《恒成立類型不等式中參數(shù)范圍的幾種求法》.《數(shù)學(xué)教學(xué)通訊》