系統可靠性評估的超橢球貝葉斯網絡及其靈敏度方法

陳東寧　姚成玉

1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,0660042.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學),秦皇島,0660043.燕山大學河北省工業計算機控制工程重點實驗室,秦皇島,066004

系統可靠性評估的超橢球貝葉斯網絡及其靈敏度方法

陳東寧1,2姚成玉3

1.燕山大學河北省重型機械流體動力傳輸與控制重點實驗室,秦皇島,0660042.先進鍛壓成形技術與科學教育部重點實驗室(燕山大學),秦皇島,0660043.燕山大學河北省工業計算機控制工程重點實驗室,秦皇島,066004

利用區間模型描述根節點的失效可能性,解決根節點的失效可能性不易精確獲取的問題；通過引入超橢球模型來界定不確定性參量的取值范圍，解決區間貝葉斯網絡在求取可靠性指標時計算結果相對保守的問題；定義超橢球貝葉斯網絡的靈敏度指標，為找到系統的關鍵環節提供依據；結合貝葉斯網絡雙向推理求解出在根節點失效可能性已知的條件下，葉節點的失效可能性、根節點狀態的后驗可能性;給出了可靠性評估實例。

可靠性評估;貝葉斯網絡;超橢球;區間模型;靈敏度

0　引言

貝葉斯網絡是一種常用的可靠性評估方法,它具有節點關系和多態性描述、計算分析能力及簡便性等方面的優勢，在系統可靠性評估[1]、安全性分析[2]和故障診斷[3]等領域得到了成功應用。

基于概率模型的傳統貝葉斯網絡以元件失效可能性為精確值的假設為基礎,利用貝葉斯網絡推理對系統進行可靠性評估[4-5]。在實際工程中,故障模式和故障機理復雜多樣以及現場數據缺乏等原因,導致元件失效可能性難以用精確數值描述。為此,人們研究用模糊模型來處理這些不確定性參量,從而產生了模糊貝葉斯網絡方法。文獻[6]將模糊理論引入貝葉斯網絡中，采用模糊可能性或模糊子集描述元件的失效可能性;文獻[7-8]研究了利用T-S故障樹轉化為貝葉斯網絡的方法，使貝葉斯網絡的構造更貼近工程實際；文獻[9]提出了基于T-S故障樹和貝葉斯網絡的模糊可靠性評估方法,用T-S故障樹和T-S門規則分別構造貝葉斯網絡模型和節點條件概率表,用模糊數描述節點的多種故障狀態,用模糊子集描述節點各故障狀態下的故障概率。與傳統貝葉斯網絡相比，模糊貝葉斯網絡可以更好地表達節點的多態性、模糊性與故障邏輯關系的不確定性。然而，模糊模型對統計信息的較強依賴性與實際工程中可得數據不足、信息不完備之間的矛盾，限制了模糊貝葉斯網絡的應用。

凸模型(包括區間模型和超橢球模型)能夠彌補概率模型和模糊模型的不足，在處理具有不確定信息的復雜系統可靠性問題上具有獨特優勢[10],在結構可靠性中得到了成功的應用與發展[11-12]。在實際工程中,大量不確定性參量的概率分布雖不易得到，但這些參量變差的界限易于確定,即屬于所謂的“未知但有界”變量。為此，有學者將區間模型引入貝葉斯網絡中來處理這些不確定性參量，產生了區間貝葉斯網絡方法[13],較好地解決了由于信息的不完整和不確定性對可靠性評估結果的影響問題。

區間貝葉斯網絡得到的上級節點的失效可能性區間是在各根節點失效可能性區間均取界限值的情況下得到的。然而，在實際工程中，各根節點失效可能性區間同時取界限值的極端情況很難發生。超橢球模型在一定程度上可以反映不確定性參量變差之間的相關性[14],并可有效地規避區間模型極端情況的出現，因此，有學者將超橢球模型應用于結構可靠性問題和故障樹分析方法中。文獻[15]用超橢球模型描述隨機變量的不確定性,解決了部分參量統計信息不足時的結構可靠性評估問題;文獻[16]將超橢球模型與故障樹相結合，采用超橢球模型對不確定性參量進行描述，解決了基于區間模型的可靠性評估方法計算結果相對保守的問題。

本文提出系統可靠性評估的超橢球貝葉斯網絡及其靈敏度方法：利用區間貝葉斯網絡解決元件失效可能性不易精確獲取的問題；采用超橢球模型對不確定性區間變量進行描述，解決區間貝葉斯網絡求解結果相對保守的不足；提出超橢球貝葉斯網絡的靈敏度指標及計算方法，用以度量葉節點隨根節點故障狀態變化的快慢程度，為提高系統可靠性提供依據。

1　超橢球貝葉斯網絡評估方法

在實際工程中，元件的失效可能性具有不確定性,而描述不確定性的模型方法有概率模型、模糊模型和凸模型。不確定性模型與貝葉斯網絡結合，已產生了傳統貝葉斯網絡、模糊貝葉斯網絡、區間貝葉斯網絡。凸模型能夠彌補概率模型和模糊模型的不足，而且，超橢球模型相比于區間模型更為合理，因此，本文嘗試將超橢球模型與貝葉斯網絡結合，提出超橢球貝葉斯網絡評估方法并給出推理計算公式。

1.1區間貝葉斯網絡節點描述及其不足

(1)

圖1　二維區間模型

1.2超橢球貝葉斯網絡評估方法

1.2.1超橢球模型對區間節點的約束

超橢球模型根據超橢球域來處理不確定性參量。式(1)表示的根節點各故障狀態的失效可能性區間,用超橢球模型描述為

(2)

以二維超橢球模型為例,二維超橢球模型與二維區間模型對比如圖2所示。

圖2　二維區間模型與二維超橢球模型

相比于區間模型,超橢球模型排除了一部分區間變量的可能取值區域。對于區間模型，當所有區間變量同時取區間的邊界值時才得到上級節點失效可能性區間的邊界值。而在工程實際中，各個根節點同時出現最差或最好情形的可能性非常小,并且根節點數目越多這種可能性越小。因此，與區間模型相比，采用超橢球模型對根節點加以約束更加符合工程實際。

各根節點的失效可能性取值范圍應在滿足式(2)的超橢球區域內部。為此引入矢量

z=D-1P

(3)

z=(z1,z2,…,zn)T

(4)

(5)

(6)

可將式(2)轉化為新的超橢球模型:

(z-z0)T(z-z0)≤1

(7)

(8)

各根節點失效可能性的取值范圍在滿足式(7)的超橢球區域內部,相當于在Δz=z-z0空間超橢球內隨機均勻取值。設單位超橢球的球坐標為(r,θ1,θ2,…,θn-1),其中,r∈[0,1],θi∈[0,2π](i=1,2,…,n-1),則兩者之間的轉換關系為

(9)

由式(3)～式(9)可得,根節點的失效可能性為

(10)

由于超橢球的球坐標均為區間變量，因此，根節點的失效可能性也為區間形式。

1.2.2葉節點T的失效可能性

超橢球貝葉斯網絡的葉節點T故障狀態為Tq的失效可能性P(T=Tq)為

(11)

其中,P(x1,x2,…,xn,T=Tq)為根節點x1,x2,…,xn的所有故障狀態與葉節點T故障狀態為Tq的聯合概率;P(T=Tq|x1,x2,…,xn)為條件概率,其含義為考慮根節點x1,x2,…,xn所有故障狀態的條件下,葉節點T為Tq的可能性。

1.2.3根節點狀態的后驗可能性

(12)

式(12)從故障診斷的角度反映了系統發生故障后根節點修正的失效可能性，通過根節點狀態的后驗可能性可以對系統可靠性信息有更深一步的了解。

1.3算法驗證

以文獻[8]中液壓驅動系統為例，采用超橢球貝葉斯網絡方法對其進行可靠性評估。液壓驅動系統貝葉斯網絡、條件概率表見文獻[8]中的圖5、表2～表4。假設根節點x1,x2,…,x8故障狀態為1的失效可能性如表1所示,且根節點x1,x2,…,x8故障狀態為1的失效可能性與故障狀態為0.5的失效可能性相同。

表1　根節點的失效可能性　10-6/h

1.3.1葉節點T的失效可能性

采用超橢球貝葉斯網絡方法求得葉節點T的失效可能性,并與文獻[8]方法、區間貝葉斯網絡方法進行對比,見表2。

表2　葉節點T的失效可能性　10-6/h

1.3.2根節點狀態的后驗可能性

采用超橢球貝葉斯網絡方法求得葉節點T故障狀態分別為0.5和1的情況下,根節點狀態的后驗可能性,并與文獻[8]中的圖6、圖7以及區間貝葉斯網絡方法進行對比,見表3。

由表2、表3可見,采用超橢球貝葉斯網絡得到的結果包含了文獻[8]中的結果,并且比區間貝葉斯網絡方法得到的區間寬度小,避免了根節點失效可能性區間同時取界限值這一極端情況的發生,結果更為合理。

2　靈敏度

靈敏度分析就是研究改變參數的值及其傳播過程，考察參數變化對目標對象所產生的影響，從而對系統參數和結構的重要性進行量化分析,靈敏度分析在系統的特性分析和異常特征發現方面有著廣泛的應用。通過可靠性靈敏度評估，可以發現系統可靠性的脆弱性演化機制，可以將設計變量對可靠度的影響程度進行排序,進而指導可靠性評估[17]。根節點的靈敏度是指根節點失效可能性引起葉節點失效可能性的變化率，靈敏度的大小反映了葉節點隨根節點故障狀態變化的快慢程度，即對設計變量的敏感程度。在前面提出超橢球貝葉斯網絡評估方法的基礎上，進一步提出超橢球貝葉斯網絡下的靈敏度計算方法。

2.1超橢球貝葉斯網絡靈敏度方法

2.1.1根節點狀態的靈敏度

(13)

其中

(14)

2.1.2根節點的靈敏度

根節點xi關于葉節點T故障狀態為Tq的靈敏度為

(15)

式中,ki為根節點xi故障狀態的個數。

由式(15)看出,對于多態系統,具有ki個故障狀態的根節點xi的靈敏度是葉節點處于故障狀態Tq時,根節點xi處于非0故障狀態的靈敏度的均值。可見,根節點的靈敏度綜合反映了根節點失效可能性引起葉節點失效可能性的變化率。

同時,上述公式也適用于區間貝葉斯網絡方法下的靈敏度計算,只需將已知區間變量替代超橢球變量即可。因此,所提出的超橢球貝葉斯網絡靈敏度方法具有一定的適用性。

2.2算法驗證

以文獻[8]的液壓驅動系統為例，采用超橢球貝葉斯網絡方法計算在葉節點T故障狀態分別為0.5和1的情況下根節點xi的靈敏度,見表4。

表4　根節點的靈敏度

由表4可知,在葉節點T故障狀態為0.5的情況下,x4、x2、x7的靈敏度較大;在葉節點T故障狀態為1的情況下,x4、x2、x6的靈敏度較大。采用區間貝葉斯網絡得到的靈敏度區間比超橢球貝葉斯網絡得到的靈敏度區間要寬，這與前文分析結果一致。

3　液壓系統可靠性評估

斗輪機(即斗輪堆取料機)是一種高效連續的散料堆取裝置，與間歇起重機械相比，具有生產效率高、節省作業時間、安全可靠等優點,廣泛應用于港口、電廠、鋼廠等行業。工作裝置是斗輪機的重要組成部分，包括斗輪機構、俯仰機構，而機構的驅動方式多為液壓驅動。斗輪機液壓系統由主機俯仰、斗輪驅動液壓系統組成。其中，斗輪機主機俯仰機構支撐臂架和斗輪工作，并通過調節斗輪升降使其在不同高度取料和堆料，是斗輪機工作過程的關鍵環節。俯仰機構的工作可靠性要求非常高，必須滿足無故障長周期連續運轉的要求，而且一旦發生臂架墜落事故，將會產生斗輪機傾覆危險，嚴重時會影響到人身安全。可見，主機俯仰液壓系統是斗輪機中關鍵的子系統之一，其原理如圖3所示。

圖3　液壓系統原理圖

根據斗輪機主機俯仰液壓系統工藝原理,構造圖4所示的貝葉斯網絡。其中,中間節點y1,y2,y3,y4分別表示液壓油源、液壓缸升降異常、系統供油不足和液壓缸無法保持同步。根節點x1,x2,…,x14代表的元件名稱及其失效可能性見表5。

圖4　液壓系統貝葉斯網絡

10-6/h

假設根節點x1、x3、x4、x14和中間節點y1采用0、1表示無故障和完全故障兩種故障狀態，其余根節點和中間節點采用0、0.5、1表示無故障、半故障和完全故障三種狀態。根據專家經驗和歷史數據得到貝葉斯網絡的條件概率表，其中，中間節點y1的條件概率表見表6。

表6　中間節點y1的條件概率表

3.1葉節點T失效可能性

假設根節點故障狀態為0.5的失效可能性與故障狀態為1的失效可能性相同。采用超橢球貝葉斯網絡方法求得葉節點T的失效可能性,見表7。

表7　葉節點T的失效可能性　10-6/h

3.2根節點狀態的后驗可能性

利用式(1)、式(10)～式(12)可求得在葉節點T故障狀態分別為0.5和1的情況下，根節點狀態的后驗可能性,見表8。

由表8可知,在系統故障狀態為0.5的情況下,根節點x8、x6、x5的后驗可能性較大;在系統故障狀態為1的情況下,根節點x11、x8、x9的后驗可能性較大。因此,在進行預防維修或故障診斷時,應優先對后驗可能性大的根節點進行檢查。

表8　根節點狀態的后驗可能性

3.3根節點靈敏度

利用式(1)、式(10)、式(13)～式(15)可求得在葉節點T故障狀態分別為0.5和1的情況下,根節點的靈敏度，見表9。

表9　根節點的靈敏度

由表9可知,在系統故障狀態為0.5的情況下,根節點x7、x6、x5的靈敏度較大;在系統故障狀態為1的情況下,根節點x7、x11、x9的靈敏度較大。靈敏度大的根節點為系統的關鍵環節,其參數攝動對系統可靠性指標的影響較大。

由表7～表9可以看出,超橢球貝葉斯網絡方法得到的區間寬度要比區間貝葉斯網絡方法得到的區間寬度小，可見，超橢球貝葉斯網絡方法可以彌補區間貝葉斯網絡求解結果相對保守的不足。

4　結論

(1)提出了系統可靠性評估的超橢球貝葉斯網絡方法，該方法通過引入超橢球模型來界定不確定性參量的取值范圍，解決了區間貝葉斯網絡在求取可靠性指標時，計算的結果相對比較保守的問題。利用貝葉斯網絡的雙向推理能力，可以計算出葉節點的失效可能性、根節點狀態的后驗可能性。

(2)提出了超橢球貝葉斯網絡的靈敏度指標及計算方法，用以反映葉節點隨根節點故障狀態變化的敏感程度，進而指導可靠性評估。該靈敏度算法也適用于區間貝葉斯網絡，通過對比分析，所提方法的靈敏度區間寬度小于區間貝葉斯網絡的靈敏度區間寬度，驗證了所提方法的正確性。

(3)利用超橢球貝葉斯網絡對斗輪機主機俯仰液壓系統進行可靠性評估，利用貝葉斯網絡正向推理，計算出系統故障的葉節點失效可能性、根節點靈敏度；利用貝葉斯網絡反向推理，求得在已知葉節點故障的條件下根節點狀態的后驗可能性。所求得的可靠性指標為找出和改進系統的關鍵環節提供了依據。

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(編輯蘇衛國)

System Reliability Assessment Method Based on Hyper-ellipsoid Bayesian Networks and Their Sensitivities

Chen Dongning1,2Yao Chengyu3

1.Hebei Provincial Key Laboratory of Heavy Machinery Fluid Power Transmission and Control,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004 2.Key Laboratory of Advanced Forging & Stamping Technology and Science (Yanshan University),Ministry of Education of China,Qinhuangdao,Hebei,066004 3.Key Laboratory of Industrial Computer Control Engineering of Hebei Province,Yanshan University,Qinhuangdao,Hebei,066004

Failure probabilities of root nodes were described by interval model to solve the difficulty to obtain the failure probabilities accurately.Hyper-ellipsoid model was utilized to define the ranges of the uncertain parameters to improve the relatively conservative reliability indices calculated by the interval Bayesian networks method.Sensitivity indices of hyper-ellipsoid Bayesian networks were proposed to provide basis for finding the key link of the system.The leaf node’s failure probability and the root nodes’ state posterior possibilities were solved by combining with Bayesian networks bidirectional inference under the condition of the root nodes’ failure probabilities as known.Reliability assessment example was given at last.

reliability assessment;Bayesian network;hyper-ellipsoid;interval model;sensitivity

2014-09-16

國家自然科學基金資助項目(51405426);河北省自然科學基金資助項目(E2012203015)；河北省教育廳資助科研項目(ZH2012062)

TB114.3< class="emphasis_italic">DOI

：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.019

陳東寧,女,1978年生。燕山大學機械工程學院副教授、博士。主要研究方向為系統可靠性及智能優化。獲國家科技進步二等獎1項。出版專著2部,發表論文40篇。姚成玉,男,1975年生。燕山大學電氣工程學院教授、博士。