新型3-PRRS并聯機構的位置正反解分析

郭宗和　杜晴晴　楊啟志

1.山東理工大學,淄博,255049　　2.江蘇大學,鎮江,212013

新型3-PRRS并聯機構的位置正反解分析

郭宗和1杜晴晴1楊啟志2

1.山東理工大學,淄博,2550492.江蘇大學,鎮江,212013

對新型六自由度3-PRRS并聯機構進行運動學分析,推導了解析形式的運動學反解,利用封閉解法研究其運動學全部正解。根據每條支鏈2個轉動副對動平臺的不同影響，通過坐標變換和引入角度變量φi,得到動平臺3個鉸鏈點坐標;以這三點之間的固定長度為約束條件,建立約束方程，得到以φi為變量的3個超越方程,通過消元法得到16次線性代數方程;利用MATLAB軟件編程求解全部位置正解。應用算例對位置正反解進行了數值驗證,正解結果與反解結果吻合。研究結果為應用于虛擬軸并聯機床的新型3-PRRS并聯機構的尺度綜合、奇異位形分析、輸出誤差分析和軌跡控制等方面的研究奠定了基礎。

并聯機構;封閉解法;位置正反解;六自由度

0　引言

一般來講，并聯機構支鏈較多會使得機構工作空間與機構體積比變小，靈活性變差，容易產生干涉,機構的奇異位形相對較多，并且運動學正解復雜,而少支鏈六自由度并聯機器人以其結構緊湊、造價低及工作空間大等優點成為當前六自由度并聯機構的研究熱點[1-2]。目前,擁有3 個運動支鏈的六自由度并聯機構(如3-PPSP、3-RRPS、3-PRPS 和3-URS等機構)的研究取得了一定的進展[1,3-6]。運動學正解是研究并聯機構許多問題的根基[7],其解法主要有數值法和解析法。數值法的速度慢、效率低，并且不能求出所有可能的解，因此人們總希望采用解析法來求解并聯機構的封閉解[8]。一些學者采用代數消元法、位姿解耦法、載波混沌Newton法求解了位置正解[9-12]。

文獻[13]提出了一種基于PR驅動的六自由度3-PRRS并聯機構,驗證了機構的輸入合理性，并用幾何方法推導了運動學反解。六自由度3-PRRS并聯機構具有運動穩定、提供純轉動、可直觀預測動平臺運動等特點，在虛擬軸并聯機床領域有著廣闊的應用前景。

本文利用封閉矢量法系統地分析了六自由度3-PRRS并聯機構的運動學正反解求解問題。推導了解析形式的運動學反解；分析每條支鏈上2個轉動副對動平臺的影響，通過坐標變換和引入角度變量φi(i=1,2,3)，推導出動平臺3個鉸鏈點坐標，建立約束方程，得到只含有變量φi(i=1,2,3)的超越方程,利用消元法和MATLAB軟件編程求解得到全部位置正解；通過給定的與處于設計階段的六自由度并聯機床結構參數相同的數據來進行數值驗證，證明該方法確實簡單有效。

1　機構位置

1.1機構描述與坐標系建立

圖1　3-PRRS并聯機構結構簡圖

圖1為3-PRRS并聯機構結構簡圖。該機構由靜平臺M1M2M3、動平臺a1a2a3以及連接2個平臺的3條均勻分布且結構相同的支鏈組成，每條支鏈均由1個移動副P以及轉動副R1、轉動副R2和一個球副S組成。其中,與移動副相連的轉動副R1的軸線始終與靜平臺平行，與連桿L1、L2、L3相連的轉動副R2的軸線與轉動副R1軸線相互垂直。連桿L1、L2、L3的長度l1、l2、l3均為l,移動副P和轉動副R1為驅動副。點A1、A2、A3分別為移動桿與靜平臺的交點，點a1、a2、a3分別為連桿L1、L2、L3與動平臺連接的球副S的中心,動平臺的直徑為d，靜平臺(虛線部分，即轉動副R2的中心點Ti在靜平臺上的投影，投影點為Mi)直徑為D。分別在動平臺、靜平臺的中心P、O點建立空間直角坐標系Pxyz、OXYZ,z、Z軸分別垂直于動平臺、靜平臺，x、X軸分別指向點a1、A1,y、Y軸的確定符合右手定則,u1、u2、u3分別為相對應的支鏈上與轉動副R2的轉動軸線共線的向量。

圖2為轉動副輸入轉角為θi(i=1,2,3)時在Ti點建立的局部坐標系Tiuvw(i=1,2,3)示意圖。其中,u軸與轉動副R1的轉動軸線共線并指向外,v軸與轉動副R2的轉動軸線共線并與ui方向一致,w軸符合右手定則,φi為連桿Li與局部坐標系Tiuvw中的w軸的夾角。

圖2　轉動副輸入轉角為θi時在點Ti建立的局部坐標系Tiuvw

1.2機構位置反解

六自由度3-PRRS并聯機構位置反解問題可歸結為如下問題:已知機構的尺寸參數和動平臺中心點P的位姿(XP,YP,ZP,α,β,γ),求解機構各支鏈上移動副P的輸入位移Si(i=1,2,3)和轉動副R1的輸入轉角θi(i=1,2,3)。

根據上述定義的坐標系，動坐標系Pxyz相對于靜坐標系OXYZ的旋轉矩陣T按照Z→Y→X的變換順序可得：

T=Rot(Z,γ)Rot(Y,β)Rot(X,α)=

cγ=cosγ　sγ=sinγ

令

在坐標系OXYZ下建立機構每個支鏈的閉環矢量表達式：

r=ai+bi+lfi-dii=1,2,3

(1)

bi=(0,0,Si)T

式中,r為動平臺坐標原點P的位置矢量;ai為靜平臺上Mi點的位置矢量;bi為靜平臺上Mi點到轉動副R2的中心點Ti的位置矢量;fi連桿Li的單位矢量;di為動平臺坐標原點P到各球鉸中心a1、a2、a3的位置矢量;Si為各支鏈上移動副P的輸入位移；δi為各支鏈轉動副R1的軸線與X軸正方向的夾角。

設向量u1、u2、u3均為單位向量，u1、u2、u3在Z軸方向上的投影分量分別為sinθ1、sinθ2、sinθ3,在XY平面上的投影分量分別為cosθ1、cosθ2、cosθ3，將cosθ1、cosθ2、cosθ3分解到X軸和Y軸，得到如下向量:

u1=(0,cosθ1,sinθ2)T

由機構的幾何特點可知fi⊥ui,對式(1)兩端同時點積ui可得到如下約束方程：

lfiui=0i=1,2,3

(2)

由式(1)可得

l=‖r-ai-bi+di‖

(3)

由式(2)可得

(4)

將各已知量代入式(3)展開整理,得到各支鏈上移動副P的輸入位移Si(i=1,2,3)為

(5)

由式(5)可知,Si(i=1,2,3)各有兩個根,但球副位于動平臺的上方，由于球副轉角的限制導致驅動滑塊的位置只能處于動平臺的上方,因此根號前只能取‘+’。

將取正號的式(5)和各已知量代入式(4),展開整理,可得到輸入轉角θi(i=1,2,3)為

(6)

對于已知動平臺的位姿,則由式(5)、式(6)可以求出各支鏈輸入位移Si(i=1,2,3)和轉動副R1的輸入轉角θi(i=1,2,3)),即求得機構的位置反解。

1.3機構位置正解

位置正解是已知輸入位移Si和輸入轉角θi,求解機器人動平臺的位姿(XP,YP,ZP,α,β,γ)。本文通過求得動平臺a1、a2、a3三點坐標即可求得動平臺位姿。

由于該并聯機構的每條支鏈完全相同,故取其中的一條支鏈作為研究對象,這里取第一條支鏈M1T1a1為研究對象。仍以坐標系OXYZ為固定坐標系，以旋轉角度θ1后的坐標系T1uvw為局部坐標系,轉動副R1的轉動軸線為u軸,轉動副R2的轉動軸線為v軸,w軸根據右手定則確定。

連桿L1與局部坐標系T1xyz的w軸的夾角為φ1。

動坐標系中的任一向量P′都可以通過坐標變換的公式變換到固定坐標系中:

P=TP′+P0

(7)

其中

T=Rot(Z,δ1)Rot(X,θ1)

P′=(-lsinφ1,0,-lcosφ1)T

所以可得a1、a2、a3點在坐標系T1xyz中的坐標分別為

(8)

(9)

(10)

因為a1、a2、a3三點中任意兩點之間的距離為三角動平臺邊長，且已知三個邊長為定值,故約束方程為

(11)

將式(8)～式(10)代入式(11)，整理可得3個以φi(i=1,2,3)表示的超越方程：

(12)

式中,Ai、Bi、Ci、Di、Ei、Fi、Gi、Hi、Ji(i=1,2,3)均為機構的已知幾何參數及各輸入變量的函數。

(13)

將式(13)代入式(12),可得代數方程組：

(14)

將式(14)簡化成如下形式：

(15)

(16)

(17)

其中,bi、ci、di(i=1,2,3)是式(15)～式(17)中各wi的系數,其本身也含有wi,這樣將以φi表示的超越方程變為以wi為未知量的3個方程組。

從式(16)和式(17)中消去w3,得到關于w1和w2的4次方多項式,將該多項式寫成關于w2的顯式形式：

(18)

(19)

式(19)是關于w1的16次代數方程,由此可解得w1的值,通過式(15)和式(18)逐漸化簡可解得w2的值,最后由式(16)和式(17)可得到w3的值。最后即可確定3個點a1、a2、a3在定坐標系下的坐標，最終確定動平臺的位姿。

2　數值算例

為了驗證上述正反解的理論正確性,給定與處于設計階段的六自由度并聯機床結構參數相同的數據予以證明。選取機構參數如下：靜平臺直徑D=200 mm,動平臺直徑d=100 mm,支鏈上連桿長度均為l=100 mm。給定動平臺初始位姿

(XP,YP,ZP,α,β,γ)=

(0,10 mm,60 mm,0,0,0)

根據此初始條件得到6個輸入為

s1=146.0233 mmθ1=0.1157 rad

s2=150.9177 mmθ2=-0.0549 rad

s3=140.8330 mmθ3=-0.0618 rad

根據已知動平臺位姿利用反解求得的6個輸入作為初始條件,應用本文的方法進行運動學正解計算,運用MATLAB軟件編程求解關于w1的一元十六次方程,共得到16組解，其中在實數范圍內共有8組解,這8組解是a1、a2、a3的坐標,通過數學轉換可得到動平臺中心P點坐標,如表1所示。

表1　8組實數解對應的動平臺中心P點坐標

表1中的8組解即為動平臺的位姿。可以看出，第7組解與動平臺的初始位姿比較，有微小誤差,這主要是由計算的累積誤差引起的，總體上是相互吻合的，從而驗證了正解的正確性。這8組解對應的機構裝配模式如圖3所示。其中，經過驗證發現，除了第7組解外，其他的動平臺位姿均受到球副轉角的限制，不符合實際情況。

3　結論

(1)對于應用于虛擬軸并聯機床的新型3-PRRS并聯機構,本文利用封閉矢量法系統地分析了其運動學求解問題，給出了解析形式的運動學反解。

(2)對于運動學正解，因機構有2個轉動副而使機構的分析變得復雜，本文分析支鏈上2個轉動副對動平臺的影響,通過坐標變換和引入角度變量φi,推導出動平臺三點坐標，建立約束方程，得到只含有3個變量的超越方程，利用消元法并用MATLAB軟件編程求解得到全部位置正解，簡化了計算步驟，提高了運算速度。

(3)經算例驗證，本文解析法是正確且有效的,從而為采用轉動副驅動的并聯機構提供了一種較為有效的正解解析方法,對于六自由度虛擬軸并聯機床的進一步的理論研究及應用都有重要意義。

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(a)第1組解(b)第2組解

(c)第3組解(d)第4組解

(e)第5組解(f)第6組解

(g)第7組解(h)第8組解圖3　8組解對應的機構裝配圖

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(編輯蘇衛國)

Forward and Inverse Position Kinematics Analysis of a New 3-PRRS Parallel Mechanism

Guo Zonghe1Du Qingqing1Yang Qizhi2

1.Shandong University of Technology,Zibo,Shandong,255049 2.Jiangsu University,Zhenjiang,Jiangsu,212013

Kinematics based on a new 6-DOF 3-PRRS parallel mechanism were studied,the analytical form of inverse kinematics was got and closed analytic method was used to study all the forward position solutions.According to the effects of two different revolute pairs on the moving platform,coordinate transformation was used and the angle variablesφiwere introduced to obtain the coordinates of three points on the moving platform.And the constant length between the three points on the moving platform was regarded as the restrict condition to obtain the constrained equations.Then three transcendental equations withφias variables were obtained,and 16 times linear algebraic equation was obtained by elimination method.MATLAB software was used to solve all the forward position solutions.Finally,a numerical example was used to verify the validity of the theories and conclusions.Thus the foundation for dimensional synthesis,singularity analysis,output error analysis and trajectory control of the new 3-PRRS parallel mechanism applied on the virtual-axis hexapod machine was laid.

parallel mechanism;closed analytic method;inverse and forward position kinematics;6-DOF

2013-11-22

國家自然科學基金資助項目(50905077);山東省自然科學基金資助項目(ZR2012EEL05)

TH112DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2015.04.005

郭宗和,男,1961年生。山東理工大學機械工程學院教授、博士研究生導師。主要研究方向為機構學、機器人機構學、變胞機構學。杜晴晴，女，1989年生。山東理工大學機械工程學院碩士研究生。楊啟志，男，1974年生。江蘇大學機械工程學院教授。