幾何方法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用

王輝

在大學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)中，如何應(yīng)用幾何方法培養(yǎng)學(xué)生的邏輯與直觀相結(jié)合的完備的思維能力體系，是一個值得研究的問題。大學(xué)數(shù)學(xué)課程是高等教育各個環(huán)節(jié)的必修課程，它在高等教育過程中占有非常重要的地位。該課程具有高度的抽象性，學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中難免會遇到些困難。以往的大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)往往過多地關(guān)注結(jié)論的推理和演繹，卻忽視了數(shù)學(xué)科學(xué)的直觀性。通常認(rèn)為，邏輯與直觀是數(shù)學(xué)思維的兩大來源，二者是相輔相成的，缺一不可。抽象離開了直觀是不會走得太遠(yuǎn)的，同樣在抽象中如果看不出直觀，說明還沒有把握住問題的實質(zhì)[1]。在教學(xué)過程中，我們應(yīng)該對直觀性的數(shù)學(xué)思維方法給予一定的重視，可以適當(dāng)?shù)匾M(jìn)幾何直觀，用幾何方法或結(jié)論來幫助學(xué)生理解問題的產(chǎn)生、得出的結(jié)論等。從某種程度上來說，幾何直觀比嚴(yán)格的邏輯推理更重要。我們將從幾個方面來闡述如何有效地在大學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中引進(jìn)幾何直觀，如何利用幾何直觀來理解概念、解決問題。

一 幾何方法在高等數(shù)學(xué)課程中的應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)課程是大學(xué)生進(jìn)入大學(xué)校門的第一門理工科課程，它對各專業(yè)后繼課程的學(xué)習(xí)有重要的作用，它是學(xué)習(xí)后繼課程的必要準(zhǔn)備和理論基礎(chǔ)，在高等教育中占有重要地位。但是，這門課程留給歷屆學(xué)生的印象往往是“抽象”“枯燥”“晦澀難懂”。為什么會出現(xiàn)這種情況，這是值得教育工作者，尤其是站在教學(xué)一線的廣大教師深思的問題。在以往的教學(xué)過程中，我們只注重結(jié)論的邏輯推理，忽視了問題具有直觀性的幾何意義。無論多么嚴(yán)格的邏輯推理，只是使學(xué)生相信結(jié)論的正確性，但不具有啟發(fā)性。我們在引導(dǎo)學(xué)生解決問題時，要注意適當(dāng)?shù)匾M(jìn)幾何直觀，開拓學(xué)生的視野，形成直觀性與抽象性相結(jié)合的思維體系。我們僅舉一例說明幾何直觀在高等數(shù)學(xué)課程中的作用。

例 求旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短距離。

關(guān)于這個問題，我們采用兩種不同的方法解決，其中之一是利用條件極值的方法[2]，不涉及幾何直觀方法，而另一種采用幾何直觀，再將這兩種方法加以比較。

方法一：設(shè)P（x，y，z）為旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上任一點，則P到平面x+y-2z=2的距離為：d=|x+y-2z-2|。于是問題轉(zhuǎn)化為：求函數(shù)f （x，y，z）=（x+y-2z-2）2在約束條件z=x2+y2下的極值。作拉格朗日輔助函數(shù)：F（x，y，z，λ）=（x+y-2z-2）2-λ（x2+y2-z）。

令

F'=2（x+y-2z）-2λx=0，

F'=2（x+y-2z）-2λy=0，

Fx'=2（x+y-2z）（-2）+λ=0，

F

'=x+y

-z=0.

經(jīng)過繁瑣的計算，得上述拉格朗日函數(shù)的唯一駐點：x=y=，z=，λ=1。將上述駐點代入距離d=|x+y-2z-2|，再由實際意義知最小值存在，于是得到旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短距離為。

上述解答看似簡單，但計算量較大，尤其是求駐點的過程十分繁瑣。我們再來看下一方法。

方法二：由幾何直觀，若旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2上點P（x，y，z）到平面x+y-2z=2的距離最短，則旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2在點P（x，y，z）的法向量平行于平面x+y-2z=2的法向量。但是很容易求得旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2在點P（x，y，z）的法向量為（2x，2y，-1），平面x+y-2z=2的法向量為（1，1，-2）。因此：==。從而解得x=y=。再將上述解代入旋轉(zhuǎn)拋物面的方程得z=。于是將上述三個變量的值代入點到平面的距離公式得到旋轉(zhuǎn)拋物面z=x2+y2到平面x+y-2z=2之間的最短距離d=。

我們將上述兩種解法加以比較，發(fā)現(xiàn)第一種解法運(yùn)用條件極值的拉格朗日乘數(shù)法，計算量很大。而第二種解法在幾何直觀方法的幫助下，計算量很小，幾乎借助于心算就能解決問題。而且這種方法具有一定的普遍意義，例如用此方法可以解決閉曲面上到平面的最短和最長距離，等等，而第一種方法不一定湊效。其次，第二種方法所使用的直觀性數(shù)學(xué)思維，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的最重要的思維方法之一，它有助于學(xué)生形成抽象與直觀相結(jié)合的完備的數(shù)學(xué)思維方法，而這正是新的形勢下社會對高等教育提出的新的要求，值得高等教育從業(yè)者大力倡導(dǎo)。

二 幾何方法在數(shù)理統(tǒng)計課程中的應(yīng)用

通常認(rèn)為，統(tǒng)計學(xué)與純數(shù)學(xué)的關(guān)系不大，甚至國內(nèi)外有些學(xué)者認(rèn)為統(tǒng)計學(xué)不屬于數(shù)學(xué)的范疇。但統(tǒng)計學(xué)是較多地將數(shù)學(xué)作為基本工具的學(xué)科是沒有爭議的。其實，不僅傳統(tǒng)的微積分等在統(tǒng)計學(xué)中運(yùn)用較多，幾何學(xué)在統(tǒng)計學(xué)中也有用武之地。不僅如此，在統(tǒng)計學(xué)中，如能恰當(dāng)?shù)厥褂脦缀螌W(xué)，往往能起到事半功倍的作用。教育工作者在從事統(tǒng)計學(xué)教學(xué)時，也要有意識地利用幾何直觀方法來培養(yǎng)學(xué)生的直觀思維能力。這往往有助于學(xué)生更深刻地理解統(tǒng)計學(xué)中的概念和方法，有助于學(xué)生理解和思考知識間的聯(lián)系，養(yǎng)成質(zhì)疑和批判的習(xí)慣。這比接受知識更重要。我們也舉一例說明幾何方法在統(tǒng)計學(xué)中的重要性。

例 考察n個獨立的隨機(jī)變量，它們均服從正態(tài)分布，均值分別為μ1，μ2，…，μm方差均為σ2但未知。設(shè)k1，k2，…，kn，為n個不全為零的常數(shù)，求kμ 的置信系數(shù)為1-α的置信區(qū)間。

這個問題用傳統(tǒng)的統(tǒng)計學(xué)方法解決不難[3]。我們注意到，上述k1，k2，…，kn，是n個特定的常數(shù)。但是事實上我們往往要估計的不只是μ1，μ2，…，μm的一個線性組合，而是要同時估計μ1，μ2，…，μm的若干個線性組合，例如μ1-μ2，μ1+μ2-μ3及μ1+μ2-μ3等等。這時運(yùn)用統(tǒng)計學(xué)的傳統(tǒng)方法就會顯得非常困難，甚至不能解決問題。下面我們從幾何直觀來考察這個問題，從中我們可以看出幾何直觀方法的有效性。

設(shè)X1j，X2j，…，Xmj，是來自總體N（μj，σ2）的樣本，樣本大小為m。記Xj=Xij。我們知道，隨機(jī)變量服從自由度n為的卡方分布χ2（n）。且由于上述隨機(jī)變量僅僅是X1，…，Xm函數(shù)，那么隨機(jī)變量與隨機(jī)變量V=（X-）2相互獨立。故隨機(jī)變量F=服從自由度為n和n（m-1）的F-分布。對于很小的正數(shù)a，查表可求得滿足P（F≤d）=1-a即P[（-μ）2≤]=1-a的常數(shù)d的值。注意到上式中的（-μ）是幾何學(xué)中n維歐式空間兩點之間的距離函數(shù)的平方，即點（μ1，μ2，…，μm）與隨機(jī)點（X1，X2，…，Xm）之間的距離平方，因此我們根據(jù)這個特征從幾何學(xué)的直觀性角度考慮這個問題。

在n維歐式空間中，過點（μ1，μ2，…，μm）的超平面方程為：

k1（x1-μ1）+k2（x2-μ2）+…+kn（xn-μn）=0，其中k1，k2，…，kn，

是n個不全為零的常數(shù)。點（X1，X2，…，Xm）到該超平面的距離平方為：。

幾何直觀告訴我們，隨機(jī)點（X1，X2，…，Xm）與點（μ1，μ2，μm）之間的距離是點（X1，X2，…，Xm）到形如k1（x1-μ1）+k2（x2-μ2）+…+kn（xn-μn）=0的平面之間的最大距離，k1，k2，…，km取遍n個不全為零實數(shù)。因此不等式（X-μ）≤成立0當(dāng)且僅當(dāng)不等式

≤對任何不全為零的實數(shù)k1，k2，…，km成立。于是對任意不全為零的實數(shù)k1，k2，…，km，kiμi的置信系數(shù)為1-a的置信區(qū)間為：

（kiXj-，kX+）（*）

于是我們利用幾何直觀性思維很容易地解決了這樣一個傳統(tǒng)統(tǒng)計學(xué)方法很難解決的問題。但在實際應(yīng)用中，我們一般只需求得有限個線性組合kiμi的置信區(qū)間。上述方法不僅可以做到求置信區(qū)間，而且置信系數(shù)更高。設(shè)事件A為對任意實數(shù)組k1，k2，…，km，kiμi，kiμi的置信區(qū)間為（*）式，事件B為對有限實數(shù)組k1，k2，…，kiμi的置信區(qū)間為（*）式，則事件A發(fā)生時事件B必發(fā)生，那么P（A）≤P（B）。從而上述方法得到了kiμi的置信系數(shù)至少為的1-a置信區(qū)間。

我們再一次看到了幾何方法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用。這種方法有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯與直觀相結(jié)合的完備的思維體系。

參考文獻(xiàn)

[1]陳建華，蔡傳仁.幾何直觀在線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].工科數(shù)學(xué)，2002（1）.

[2]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（第六版，下冊），2007（6）.

[3]陳希孺.數(shù)理統(tǒng)計學(xué)教程[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2009（7）.