可視化教學在高等數學教育中的創新性應用

郭國安

可視化教學是大學數學教育的一種重要方式，它能夠激發和培養學生的學習興趣，增強學生的自信心，訓練和提高學生的直覺思維和創新思維能力，并有助于提高學生探究問題的能力。本文基于此，闡述了可視化教學在高等數學教育中的意義、教學實踐中的具體操作和注意事項。

高等數學教育改革是工科高校新世紀課程教材改革的基礎與核心，它部分承載著培養高質量、基礎寬、能適應未來社會發展的復合型人才的基本任務。由于高等數學是一門課時不足兩百，以邏輯性、抽象性、推理性、嚴密性著稱的課程，如何將諸多定理和定義、公式以及解法和技巧等知識有效傳授給學生，是每位大學數學教育工作者必須積極思考的重要課題。

可視化方法（visual method）獨創性運用在復分析教材中[1]。該方法獨特新穎，起點高，要求教師數學素質和修養高，能夠大范圍地運用代數、幾何、分析和物理等現代知識和工具來進行比較直觀地講授。然而這種方法若不改進，將不適合用來講授大一新生的高等數學課程。本文通過對可視化方法進行適當地改進和完善，提出了一種面向高等數學的教學方法——可視化教學法，它是借助物理、幾何和分析等工具，在教學中綜合應用各種教學工具，充分調動學生的各種感官，讓學生直接或間接地感知具體的事物和形象，然后再通過有效導入、融匯形象化和抽象化教學，讓學生由表及里、深入淺出地理解事物本質的一種教學方法。這種教學方法是直觀化教學方法的延展[2-3]，是一種易被學生接受和理解的教學方法，如果教師能夠合理利用和發揮，它不僅能夠激發學生學習的興趣和動機、培養學生思維能力和提高教師教學質量，而且能夠大力推動高等數學教育不斷向前發展。

一 可視化教學在高等數學教學實踐中的意義

1 提高教學效率和質量、增強學生自信心和激發學生學習興趣

高等數學是一門抽象性、系統性、嚴謹性的晦澀難懂的課程，對于剛剛步入大學生活的新生而言，他們的學習方法還比較初級，認識的對象主要限于能夠演示、能夠感知的“活靈活現”的事物，因此要理解這些抽象的理論和方法，必須要繼承和發展中學時的教學方法（比如數形結合法等），更加迫切需要直觀化的教學手段。通過可視化教學，學生腦海中能夠從視覺上直觀感知新鮮事物的外在特征（外延或表象），在教師的有效引導下加以抽象總結，逐步理解事物的共性特征（內涵或本質特征），最終不但能夠引發學生積極思考，發展學生思維能力，而且課堂教學能取得事半功倍的教學效果。比如借助直觀的幾何圖形、有趣的實物模型、幻燈片和現實生活中形象化的范例等感官認識和理性分析，不僅能夠加強學生的認知和記憶能力，激發學生的學習動機和興趣，有助于學生深刻理解高等數學中的抽象概念和思想方法，而且充分調動了學生自主學習的積極性，增強了學生的自信心，有利于培養學生發現、分析和解決問題的數學思維能力。

2 培養學生分析、解決問題的能力和鍛煉創新思維

著名數學家波利亞說“發現問題比解決問題更重要”，這句名言啟發我們：要想學好數學，就必須有一雙敏銳的眼睛，需要觀察、發現問題，探索問題的規律性東西。而可視化教學法正是結合直觀化教學和抽象化教學，在數學問題創造過程中，先提供與問題相關聯的物理或幾何模型、現實生活中的案例等熟悉的素材，啟發和引導學生主動觀察發現事物表象特征，加工信息，挖掘出事物的內在的、本質的或規律性的東西。這種探究問題的過程能夠培養學生的洞察力，鍛煉學生分析問題和解決問題的能力，培養學生良好的直覺思維和邏輯思維。

二 可視化教學方法在高等數學教育中的實踐應用與探索

1 有效運用直觀教學與抽象教學

（1）加強直觀教學在學生認知初級階段的應用

直觀化教學是可視化教學的一種表現方式，是指在教學中通過學生觀察所學事物，或通過教師語言的形象描述，引導學生形成對所學事物、過程的清晰表象，豐富他們的感性知識，從而使他們能夠正確理解書本知識，發展認識能力。教學直觀性可分為實物直觀、模像直觀和語言直觀。高等數學授課對象為大一新生，他們正處于大學學習起步的初級階段，對許多問題的認知還限于感官認知，采用直觀教學，符合他們對事物認識的基本規律，有利于他們對高等數學的入門學習。比如在講授重積分概念時，通過制作幻燈片形象地演示事物的變化過程，讓難以想象的立體事物變得形象直觀，讓概念更加清晰易于理解，達到擴大學生視野，發展學生思維能力的目的。再比如在講授“極限”等抽象概念時，通過寓言“龜兔賽跑”問題，提出芝諾悖論“追龜”等有趣現象，通過動態化的演示，不但能激發學生的求知欲和興趣，從物理直觀上讓學生明白極限過程是人們通過有限認識事物特征來揭示無限過程的本質，這正是人們探索宇宙運動和規律的基本思想和方法，而且還能解釋幾何上諸如“窮竭”“無限循環”許多類似現象和規律，使學生初步理解了極限思想，為后續的學習和理解高等數學諸如“微元法”的許多內容打下了堅實基礎。

（2）運用直觀教學和抽象教學，揭示事物的內在規律

直觀教學通過模型、模具、圖表、幻燈片、計算機模擬等形式，將物體形象地呈現在學習者面前。這種教學適合于感性認知能力強的學生，它具備諸如能夠激發學生的求知欲望和興趣、鍛煉學生的觀察力、課堂氣氛好等優點。但它也有缺點，譬如占用課堂時間多，易延誤教學進度和目標，削弱了學生學習的主體性，易使學生被直觀的形象吸引了注意力，感官沖擊力震撼，覺得很好“玩”，缺乏了主動加工信息的過程。而抽象教學法，需要教師具備較高素養，可以不借助各種教學工具、生動語言等將事物直觀地展現出來，只需要通過邏輯性強的語言交流向學生傳授知識。這種教學法是建立在師生具備良好的素養和理解力的基礎上，適合于講授給層次較高的學生。因此，在高等數學教學活動中，我們要在充分調研的基礎上，根據學生的感官認識能力和思維能力，結合教學內容的難易程度，合理選擇直觀教學和抽象教學法。比如，如果課堂教學內容容易理解，容易在腦海中呈現出相應內容的外在表象特征，那么我們就不需要直觀教學法;如果學生對課堂教學中的概念、定理證明思路等內容，我們可以選擇直觀和抽象教學的有效結合，先使用直觀教學，讓學生對事物有了感官認知后，再通過教師有效地啟發和引導、抽象和總結，一起發現和挖掘這類事物的內在的規律和本質特征。總之，無論何種教學形式，都不可能適合于所有教學情境，直觀并不是最終目的，而是手段。我們應該在實踐教學中，將形象直觀和抽象概括有效結合，幫助學生牢固地掌握所學的知識，使抽象的概念具體化、鮮明化，同時鍛煉學生的觀察力，發展學生的抽象思維能力，最終達到全面提高學生綜合能力的目的。

2 借助幾何、分析等工具，重視數形結合和類比、聯想等思想方法的運用

高等數學中有些問題，如果僅局限于數的方面考慮，雖然能解決問題，但過程繁瑣，甚至較為困難。若根據問題的條件與結論的內在聯系，既分析數式特征，又揭示幾何意義，使數量關系與空間形式巧妙而和諧地結合起來，往往能化繁為簡。這就要求教師在教學中，從概念的幾何背景入手，借助直觀的幾何圖形引導和啟發學生觀察、分析，由具體逐步過渡到抽象，這將有助于學生理解抽象的概念。此外，高等數學的許多內容具有相似的結構和處理方法，教學中運用類比和聯想能夠讓學生自主發揮能動性、鍛煉分析和解決問題的能力。 比如講授一元函數的積分和多元函數的重積分的定義時，都使用“分割、近似、求和、取極限”的微元法思想。再比如在微分學中值定理教學中，我們可以通過幾何和物理兩模型直觀闡述各個中值定理的關系，然后通過抽象總結，挖掘出這些中值定理的內在規律是刻畫端點弦和切線的一種“弦切”平行關系。

3 提高教師綜合素養

可視化教學作為一種重要的教學手段，它既需要教師熟悉與高等數學相聯系的許多幾何、 代數、物理等較為寬廣的理論知識，同時還需要教師及時掌握學生的認知和理解能力，熟悉一些數學軟件的操作，并懂得如何利用現代化的教學手段精心設計課件。為了便于開展直觀化和抽象化相結合教學，還要求教師會根據授課內容懂得如何選取一些趣味性和應用性強的幾何素材或物理模型，會創設情境教學[4]。因此，只有教師課外不斷學習和完善課件，才能從真正意義上開展可視化教學方法。

三實施可視化教學應注意的事項

第一，加強對數學知識的來源、動機介紹，促進數學的趣味性和應用性。高等數學教材內容是通過數學知識的學術形態完美呈現出來，它展現精煉、簡潔，省去了數學知識的背景描述和探索猜想思維過程，省去了數學知識隱含在內的數學思想方法的揭示。因此，教學中要求老師向學生展現出數學知識的教育形態，通過直觀手段展現、講解數學文化和數學實踐應用，啟迪學生抽象總結、發現和探究數學知識的本源。

第二，合理利用形象化與抽象化教學。高等數學課時緊湊，運用形象化教學時，需要教師利用多種教學資源和教學工具進行有序、有理地引導和展現，同時又不能影響教學的主要目標，這需要教師根據學生及時反饋的信息和認知能力，合理、酌情選擇教學手段。

總之，可視化教學方法對高等數學教學具有重要的創新意義， 它的運用使高等數學枯燥的成分減少， 教學難度降低， 學生樂于接受，教學效果良好。從體現高等數學的嚴格公理化體系和培養學生數學素質的角度考慮， 應將形象的知識作為教學的切入點， 而將建立抽象的概念體系作為著眼點， 有效結合直觀和抽象教學，這才是教學要實現的最終目標。

參考文獻

[1]Tristan Needham. 復分析：可視化方法[M]. 齊民友，譯. 北京：人民郵電出版社，2009.

[2]劉徐湘，胡弼成. 從感知到理智：現代直觀性教學原則的意義擴展[J].教育學報，2012，8（2）.

[3]楊孝平，許春根. 加強直觀性和應用性教學 提高大學數學教育質量[J].大學數學，2006，22（6）.

[4]趙林.大學數學課堂教學中課題引出模式探討[J].皖西學院學報，2005，21（5）.