電力電子系統阻抗測量的分段二叉樹法

岳小龍　卓　放　張政華　師洪濤　張　東

（西安交通大學電氣工程學院　西安　710049）

電力電子系統阻抗測量的分段二叉樹法

岳小龍卓放張政華師洪濤張東

（西安交通大學電氣工程學院西安710049）

在分析和設計包含電力電子變換器的系統時，由于阻抗和系統穩定性之間的密切關系，阻抗測量就顯得十分重要。傳統的掃頻法采用等頻率間隔的方式注入擾動信號并測量電力電子系統阻抗，由于不能在測量結果和測量過程之間建立起有效的聯系，因此是一種低準確性、低效率和低可靠性的開環測量方法。通過建立阻抗測量結果準確度和測量頻率間隔之間的數學關系，提出了一種分段二叉樹阻抗測量方法。使用該方法，可以根據結果的準確度要求自動地確定測量頻率點的位置，與傳統的掃頻法相比，本文提出的方法可以更加準確和有效地測量電力電子系統阻抗。單相交流系統和三相交流系統的阻抗測量結果證明了提出的方法的有效性。

電力電子系統阻抗測量頻率掃描二叉樹誤差校驗

0　引言

電力電子變換器的恒功率特性會導致系統因為負阻抗而不穩定［1-14］，因此，在包含電力電子變換器的系統設計中，小信號穩定性分析就顯得非常重要。一種常見的方法是建立系統的小信號模型，通過零極點來分析系統的穩定性。但是，在實際應用中，建模需要的參數很難準確獲取，因而限制了這種方法的使用。自從1976年R. D. Middlebrook第一次提出系統穩定性和輸入、輸出阻抗之間的關系［2］，基于阻抗的穩定性判據開始獲得廣泛的應用。尤其是當系統的各部分組件由不同制造商提供時，阻抗穩定性判據顯得更加方便，因為測量輸入、輸出阻抗比建立小信號模型容易的多。基于上述原因，在諸多應用場合，阻抗測量技術顯得越來越重要［9-16］。

由于電力電子變換器的開關非線性，在電力電子系統阻抗測量中，基于一系列正弦擾動信號注入的方法是最常用的方法［4-14］。為了獲取所需頻率范圍內的阻抗，該方法要求注入適當功率的一系列不同頻率的電壓或電流擾動信號，常見的注入裝置包括功率放大器、網絡分析儀和斬波電路等［4-14］。直流系統中，在特定頻率處注入擾動信號，通過測量和數據處理即可獲得該頻率點處的阻抗［4-8］。三相交流系統中，一般考慮在dq坐標系下的阻抗，需要兩次線性獨立的擾動信號注入才能獲取某一特定頻率處的阻抗矩陣［9-13］。實際電力電子系統中，阻抗特性是連續的，但測量得到的只是阻抗的離散數據點，所以選擇合適的測量頻率點對阻抗測量的準確性和效率有很大的影響［16］。

掃頻法是目前常用的確定注入擾動信號頻率點的方法，具體做法就是等間隔地從測量起點到終點依次注入擾動信號［4-13］。如果待測網絡的阻抗特性變化平緩，比如只包含電阻和電感的負載網絡，較大的測量頻率間隔即可得到準確的測量結果；如果待測網絡的阻抗特性包含多次諧振，比如含有大量電感和電容支路的網絡，需要使用較小的測量頻率間隔才能獲取準確的結果［16］。然而，在測量之前，由于不知道阻抗的特性，使得掃頻法中頻率間隔的選擇變得很困難，過大的頻率間隔會導致測量結果不準確，過小的頻率間隔會造成測量時間的浪費，目前還沒有有效的方法來解決這個問題。

為此，本文提出了一種適用于電力電子系統阻抗測量的分段二叉樹方法。該方法中，注入擾動信號的頻率間隔可以根據待測網絡的阻抗特性和給定的測量結果準確性要求自動選取。相對于傳統的掃頻法，本文提出的阻抗測量方法可以更加準確和高效地測量電力電子系統阻抗。

1　阻抗測量及其數學描述

在基于正弦擾動信號注入的阻抗測量中，注入電壓或電流擾動都是可行的［4-14］。直流/單相交流系統擾動注入原理圖如圖1所示，其中并聯結構表示電流注入，串聯結構表示電壓注入［5，6］。

圖1　直流/單相交流系統擾動信號注入示意圖Fig.1　Injection diagram for DC/single-phase AC system

對于三相交流系統，可以采用三相對稱的擾動注入方法。也可以采用注入兩相擾動的不對稱注入方法。以注入電流擾動為例，注入三相對稱擾動電流的原理示意圖如圖2a所示，注入不對稱電流擾動的原理示意圖如圖2b所示［9］。

圖2　三相交流系統擾動信號注入示意圖Fig.2　Injection diagram for three-phase AC system

對于直流系統，以圖1a所示電流擾動注入為例，某一頻率的電流信號在系統穩態工作時注入，通過測量和記錄擾動電流Δi和擾動電壓Δu，則該頻率處的阻抗可以表示為

對于三相交流系統，可以在dq坐標系下獲取類似于直流系統的穩態工作點。三相交流系統在dq坐標系下的阻抗可以表示為

由于式（2）中包含4個未知數Zdd、Zdq、Zqd和Zqq，需要注入兩組線性獨立的電流擾動信號。而如圖2b所示的不對稱注入方法對硬件要求更低，當采用不對稱注入法時，注入的兩組擾動信號的形式為［9］

式中，eω是系統的基波頻率；sω是注入擾動信號在dq坐標系下的頻率。

采用不同的iω和sω重復多次測量，即可得到需要的頻率范圍內的阻抗特性曲線。阻抗的幅值和相角可以表示為

阻抗的實部和虛部可以表示為

式中，Zj表示ZL、Zdd、Zdq、Zqd和Zqq，最終的阻抗特性曲線通過連接相鄰兩個數據點得到。

如果將真實的阻抗Z（ω）看做頻率ω的函數，注入擾動信號相當于給定函數自變量ωi（i=0，1，…，n），阻抗測量結果相當于求函數值Z（ωi）。當阻抗測量結束，從式（5）可得一系列數據點A（ωi）和θ（ωi），連接相鄰的數據點A（ωi）、A（ωi+1）和θ（ωi）、θ（ωi+1）即可得到幅頻特性和相頻特性。同理，根據式（6）可得阻抗的實部特性和虛部特性。

整個過程可以進一步抽象為如下數學過程：對于函數y=f（x），x∈［a，b］，選取數據點（xi，yi），其中i=1，2，…，n ，yi=f（xi）；并由此構成線性插值函數g（x），x∈［a，b］，yi=g（xi），如圖3所示。數據點（xi，yi）即為通過測量得到的點，函數g（x）為阻抗測量結果。由此，阻抗測量可以轉化為這樣一個數學問題——選取一組數據點（xi，yi），使得由此構成的線性插值函數盡可能地接近原函數。問題的關鍵在于選擇恰當的xi，其中i=0，1，…，n，對應到實際測量中，即注入正弦擾動信號頻率ωi。

圖3　阻抗測量的數學抽象和描述Fig.3　Mathematical description for impedance measurement

2　基于二叉樹結構的阻抗測量方法

2.1傳統的頻率掃描方法

在傳統的頻率掃描方法中，正弦擾動信號采用等間隔的方式從測量起點到測量終點依次注入。從數學上講，就是給定n+1個在測量區間［a，b］上等間隔分布的數據點xi（i=0，1，…，n），然后依次計算出對應的函數值yi=f（xi），這一過程如圖4所示，其中粗實線表示已測量區間，細實線表示未測量區間。從圖中可以看出，阻抗測量從低頻到高頻按照設定好的頻率間隔依次進行，測量過程中，注入擾動信號與測量結果之間沒有信息交換，因此，傳統的頻率掃描方法是一種開環的阻抗測量形式。

圖4　掃頻法的數學描述Fig.4　Description for frequency sweep method

頻率掃描方法結構簡單，然而，由于阻抗特性在測量完成前是未知的，因此，根據經驗選取的測量頻率間隔并不總是適合當前的待測網絡。如果選取的頻率間隔過大，可能導致阻抗測量結果不準確。如果選取的頻率間隔過小，雖然可以得到準確的阻抗測量結果，但會浪費測量時間，減低效率。因此，傳統的頻率掃描方法是一種準確性差、效率和可靠性都很低的阻抗測量結構。

2.2頻率間隔與測量結果準確性之間的關系

從數學上講，阻抗測量就是尋找原函數f（x）的線性插值函數g（x）的過程。圖5中，很明顯地可以看出，使用的數據點越多，獲取的測量結果越準確。如果能夠建立測量結果和數據點之間的關系，那么阻抗測量就成為閉環系統，掃頻法的測量頻率間隔可以根據測量結果的準確性要求來確定。

圖5　不同頻率間隔對應的測量結果Fig.5　Measured results with different frequency interval

當g（x）≈f（x）時，圖5中陰影部分的面積會非常小，反之亦然，當g（x）和f（x）構成的幾何圖形的面積非常小時，g（x）就是f（x）的一個很好的近似。假設xi（i=0，1，…，n）是在區間［a，b］上滿足條件

的n+1個數據點，其中h代表頻率間隔，xi為注入擾動信號的頻率。定義

那么|（f）-Tn|就表示圖5中陰影部分的面積。如果I（f）-Tn＜ε（ε為給定誤差），那么g（x）≈f（x）。根據數值分析中有關數值積分的結論［17］

同理，當數據點增加到2n+1時

如果f″（x）在［a，b］上變化不大，即f′（η1）≈f″（η2），由式（10）和式（11），可得

如果

那么|（f）-T2n|＜ε，也就是說，由2n+1個數據點構成的插值函數g（x）是原函數f（x）的一個很好近似，此時誤差界ε對應的測量頻率間隔為h2。

2.3基于二叉樹結構阻抗測量方法

前面分析了傳統的掃頻法中，測量頻率間隔和測量結果準確性之間的定量關系。根據式（7）和式（9），可得

如果定義誤差估計

由式（7）、式（13）～式（15）可以構造如圖6所示的迭代過程。圖6a中，圓圈中的數字代表區間對分次數j，圖6b給出了迭代過程中測量數據點的分布情況。迭代的具體執行過程如下：首先取n=1，由式（7）計算h和xi，由式（9）計算Tn；然后取n=2，根據式（14）計算T2n。由Tn和T2n判斷式（13）是否成立，如果成立，則迭代結束，根據獲取的數據點畫出阻抗特性曲線；如果式（13）不成立，則令Tn=T2n，n=3，根據式（14）計算T2n，重新判斷式（13）是否成立。由于阻抗是復數，因此在計算Tn和T2n時，需要按照式（5）或式（6）將測量得到的阻抗數值寫成幅值和相角或實部和虛部的形式，分別計算并按照式（13）判斷誤差是否滿足條件。

圖6　基于二叉樹的阻抗測量結構Fig.6　Structure based on binary tree method

重復上述過程直到測量結果滿足給定的誤差要求。由于在測量過程中每一次增加n，都會使數據點和子區間數目加倍，類似于計算機程序設計中的二叉樹結構，所以稱這種方法為電力電子系統阻抗測量的二叉樹結構［18］。

2.4分頻段二叉樹結構的阻抗測量方法

實際的電力電子系統阻抗，一般都是在部分區間阻抗特性曲線變化比較劇烈（比如包含多個諧振點）；而在其他區間變化趨勢較為平坦（比如以阻感負載為主）。如果在整個待測區間都使用這種基于二叉樹結構的阻抗測量方法，最終選取的頻率間隔對于阻抗變化較為平緩的區間來說是一種浪費。

為了減小這種浪費，可以將待測區間分為多個小區間，然后在每個區間分別使用圖6所示的迭代算法。如果區間劃分過大，這種分子區間帶來的效果不太明顯；如果過小，則對于阻抗變化平坦的區間本身就是一種浪費，因此根據經驗進行折中，選擇200～300Hz作為子區間長度。

假設待測頻率區間［a，b］被劃分為m個子區間，分別記為［xi，xi+1］，其中i=0，1，…，m 且a=x0，xm=b，為保證總誤差滿足（a，b）≤ε，如果定義單位誤差

一個解決方法就是定義子區間誤差

式中，hi=xi+1-xi。因為如果式（17）滿足，則

因此，式（17）可以作為各個子區間上，基于二叉樹結構的阻抗測量方法的迭代終止判斷準則。

2.5二叉樹結構測量方法在對數坐標下的應用

在前面的分析中，頻率點的分布都是在線性坐標下討論的，實際系統的阻抗測量與分析中，對數坐標也是很常用的一種形式。事實上，線性坐標可以根據下式轉化為對數坐標

在基于二叉樹的阻抗測量方法中，當用X替換x并采用f（10X）計算對應函數值時，測量得到的數據點就會等間隔地分布在對數坐標系中。

3　測量結果的校驗

在基于分段二叉樹結構的阻抗測量迭代過程中，式（13）和式（14）的本質是采用誤差三角形面積來判斷測量結果是否滿足要求。對于某些情況，如圖7所示，當新增加數據點D、E時，由于△ADC和△BCE的面積近似相等，導致T2n≈Tn，從而出現錯誤的誤差估計，迭代結束，得到不準確的測量結果。

圖7　錯誤的誤差估計現象Fig.7　Wrong error estimation phenomenon

為了避免這樣的錯誤，需要對測量結果的準確性進行校驗，為此，需要首先建立誤差給定值e和測量結果準確性之間的數學關系。

圖8　誤差分析示意圖Fig.8　Error analysis for the proposed method

假設圖8中，g（x）表示測量結果，f（x）表示阻抗特性曲線的真實值，點D和G分別是f（x）在區間［l，m］和［m，u］上的任意一點，由前面的分析可知區間［l，u］上的誤差為

式中，SΔADC和SΔBCG分別表示△ADC和△BCG的面積，根據圖8中的幾何關系，可得

由式（20）和式（21）可得區間［l，u］的誤差估計

根據式（17）和式（22），可以推導出

根據本文提出的二叉樹結構阻抗測量方法的特點，最終得到的阻抗曲線包含2n+1個數據點和2n對如［l，m］和［m，u］這樣的子區間。將圖8中式（23）給出的結論推廣到任意情況，可得

式（24）表明，阻抗特性曲線的測量值和真實值之間的平均誤差小于2e/3。

從另一方面來說，如果最終測量得到的2n+1個數據點記為xi，其中i=1，2，…，2n+1。仿照圖8，可以分為n對子區間［x2i-1，x2i+1］（i=1，2，…，n）。定義任意區間［x2i-1，x2i+1］（i=1，2，…，n）上的平均誤差

式中，hi=x2i+1-x2i-1。根據式（24），如果ei＜ 2e3，表明測量結果符合準確性要求，否則，需要按照圖6中的二叉樹結構重新測量。

對于圖7中給出的錯誤現象，測量結果雖然滿足圖6中的迭代終止條件，但測量結果不能通過上述平均誤差校驗，因此需要繼續迭代直到獲得準確的阻抗測量結果。通過反復的迭代和誤差校驗，可以保證最終獲取的阻抗特性曲線的準確性。

4　阻抗測量結果的量化指標

為了定量描述和比較測量結果的準確性的測量時間，需要對測量結果進行量化描述。

在基于分段二叉樹結構的阻抗測量方法中，相關計算和判斷主要為線性運算，這些計算花費的時間，相對于擾動信號注入、數據測量和使用傅里葉變換計算阻抗等花費的時間，可以忽略不計。因此，阻抗測量的時間可以近似用注入擾動信號的次數來衡量。基于上述分析，選取描述測量時間的量化指標為測量點數，即N=2n+1。

按照式（25）定義的平均誤差，根據現代測試技術［19］，定義平均誤差的算術平均值

平均誤差的標準差

5　實驗結果

為了證明本文所提方法的有效性，實驗分別測量了單相AC系統和三相AC系統的阻抗。擾動信號注入和阻抗測量裝置如圖9所示，包括功率放大器、DSP控制板、霍爾傳感器和工業控制計算機。其中，功率放大器在DSP的控制下實現擾動信號注入；傳感器和數據采集卡用于獲取實驗數據；工業控制計算機進行數據處理和計算。

圖9　阻抗測量實驗裝置Fig.9　Impedance measurement equipment

當測量電力電子系統阻抗時，擾動信號一般在源和負載的接口處注入，如圖1和圖2所示。由于硬件條件的限制，使用與電網相連接的調壓器作為系統的源，負載由RLC構成。阻抗測量中，擾動信號在源和負載之間的接口處注入，其方式和標準電力電子系統阻抗測量一致。因此，本文的實驗電路可以認為是一個簡化的電力電子系統。

圖10　單相交流系統Fig.10　Single-phase AC system

圖11　三相交流系統Fig.11　Three-phase AC system

實驗中，單相交流系統如圖10所示，三相交流系統如圖11所示。電路中的元件參數相同，具體數值如下：L1=2.8mH、R1=9.5Ω，L2=3.75mH、R2=1.5Ω，C3=0.07mF，R3=0.2Ω，電源有效值70V，50Hz，Rs= 10Ω。

在測量單相交流系統負載阻抗時，采用式（5）中定義的幅值和相角進行計算和迭代。具體參數設定如下：阻抗測量范圍10～1 000Hz，近似等間隔地分為五個子區間，幅值和相位的誤差給定eA=0.5Ω，eθ=3°，注入擾動電流幅值250mV。使用基于分段二叉樹結構得到的阻抗測量結果如圖12所示，其中，N=23，=0.1515，=0.3317，σA=0.0416，σθ=0.099 2；當使用傳統掃頻法測量23個數據點時，結果如圖13所示，其中，σA=0.166 5，σθ=0.267 5。在測量點數相同時，相對于傳統的掃頻法，本文提出的方法減小48%，減小31%，且σA和σθ更小。

圖12　基于分段二叉樹結構的單相阻抗測量結果Fig.12　Measured results for single-phase AC system with binary tree structure

圖13　基于傳統掃頻法的單相阻抗測量結果Fig.13　Measured results for single-phase AC system with frequency sweep method

在測量三相交流系統負載阻抗時，采用式（6）中定義的實部和虛部進行計算和迭代。具體參數設定如下：阻抗測量范圍10～1 000Hz，近似等間隔地分為五個子區間，實部和虛部的誤差給定eR= 0.5Ω，eI=0.5Ω，注入擾動電流幅值250mV。使用基于分段二叉樹結構的阻抗測量方法得到的結果如圖14所示，其中，N=29；當使用傳統掃頻法測量29個數據點時，結果如圖15所示。

圖14　基于分段二叉樹結構的阻抗測量結果Fig.14　Measured results for three-phase AC system with binary tree structure

圖15　基于傳統掃頻法的單相阻抗測量結果Fig.15　Measured results for single-phase AC systemwith traditional frequency sweep method

圖16　兩種阻抗測量方法的量化比較Fig.16　Comparison between the two methods

6　結論

本文建立了掃頻法中頻率間隔和測量結果準確性之間的數學關系，并在此基礎上提出了一種分段二叉樹結構的電力電子系統阻抗測量方法，可以根據待測網絡的阻抗特性曲線和給定的測量結果誤差自動選擇合適的頻率間隔，達到既滿足測量的準確性，又不浪費測量時間的目的，提高了阻抗測量的效率和可靠性。由于阻抗可以認為是輸入或輸出電壓、電流之間的傳遞函數，因此，對于其他采用正弦擾動測量系統傳遞函數的場合，本文提出的方法也是適用的。

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Segmented Binary Tree Method for Power Electronic System Impedance Measurement

Yue XiaolongZhuo FangZhang ZhenghuaShi HongtaoZhang Dong
（Xi'an Jiaotong UniversityXi'an710049China）

Impedance measurement is very important in power electronic based systems because of the close relationship between impedance and stability. However，traditional frequency sweep method always selects the equal frequency interval without guiding theory，which results in low accuracy，low reliability and low efficiency. In this paper，the relationship between measured result and the frequency interval is built firstly，then a segmented binary tree method for power electronic system impedance measurement is proposed. With this method，injection frequency points can be selected automatically according to the requirement of measurement accuracy. Compared to the traditional frequency sweep method，the proposed one can measure impedance more accurately and efficiently. The experimental results validate the effectiveness of the proposed method.

Power electronics based systems，impedance measurement，frequency sweep，binary tree，error calibration

TM46； TM934

岳小龍男，1989年生，博士研究生，研究方向為電子電子系統建模、穩定性分析及參數測量。

卓放男，1962年生，教授，博士生導師，研究方向為電能質量控制、光伏逆變器控制、微型電網參數測量及穩定性分析等。

國家自然科學基金項目（51177130）和臺達2011電力電子科教發展計劃重點項目（DREK2011002）資助。

2013-12-31改稿日期 2014-04-22