無系統誤差的CPⅢ精密三角高程控制網仿真研究

李建章

(1.蘭州交通大學 測繪與地理信息學院，甘肅 蘭州 730070; 2.地理國情監測技術應用國家地方聯合工程研究中心，甘肅 蘭州 730070; 3.甘肅省地理國情監測工程實驗室，甘肅 蘭州 730070)

CPⅢ控制網點數多，點位密集，利用精密水準建立高程控制網外業工作量大，效率低下，因此研究利用CPⅢ平面控制測量中的豎直角、斜距觀測值構建精密三角高程控制網成為一個熱點方向。

精密三角高程測量受到豎直角觀測誤差和斜距觀測誤差的影響，也受到大氣折光、地球曲率、垂線偏差等系統性誤差的影響[1]。系統誤差由于具有累積性，對于CPⅢ精密三角高程控制網最終解算精度有較大的影響，因此如何消除系統誤差的影響，是建立合格CPⅢ精密三角高程控制網的關鍵。

文獻[2]通過構建差分觀測值削弱球氣差的影響，文獻[3]則通過參數法來消除球氣差的影響，都取得了良好的效果。但這些研究成果在現有條件下也不能保證所有的點都附合規范要求，如參數法要求高程基準點間距達到0.5～1 km才能獲得附合規范要求的CPⅢ高程控制點，但實際線路水準點基點間距為2 km。在未來的研究中需要進一步提高CPⅢ精密三角高程控制網的精度，是降低偶然誤差的影響還是進一步削弱殘余系統誤差的影響，這是首先需要解決的問題。

本文通過仿真數據研究在無系統誤差影響下CPⅢ精密三角高程控制網可達到的精度，以及起算點密度、觀測測回數等對CPⅢ精密三角高程控制網的影響規律，為CPⅢ精密三角高程控制網的下一步研究提供有力的支撐。

1 無系統誤差影響的CPⅢ精密三角高程控制網平差模型

由于不考慮系統誤差影響，因此選擇非差模式構建CPⅢ高程控制網。如圖1為CPⅢ平面控制網i測站觀測示意圖，其中實心正方形、實心圓圈、空心圓圈分別為線路基準點、測站點和CPⅢ點。

圖1 CPⅢ精密三角高程控制網i測站觀測示意圖

在測站點i對各目標點進行觀測，可獲得豎直角、斜距以及方向觀測值，其中豎直角和斜距觀測值可進一步形成三角高程觀測值。設對j點觀測所得豎直角和斜距觀測值分別為βij、Sij，則可得三角高程觀測值：

hij=Sij×sin(βij) .

(1)

又設i、j兩點最或然高程值分別為yi、xj，則：

hij+vij=xj-yi.

(2)

則得該觀測值誤差方程為：

vij=xj-yi-hij.

(3)

如果j點為已知點，且其高程為Hj，則其誤差方程為:

vij=xj-yi-(hij-Hj) .

(4)

設有n個觀測值，m個測站，t個CPⅢ高程點，則可寫出如下矩陣形式的誤差方程:

V=BX-l.

(5)

其中

(6)

依最小二乘法，可得待求參數最優估值

X=(BTPB)-1BTPl.

(7)

(8)

2 CPⅢ精密三角高程控制網仿真

由式(6)可知，B矩陣各單元值僅為1或-1兩種結果，與CPⅢ點的高程、平面位置無關，僅反映了各點間的連接關系。由式(7)可知，待求參數估計值X與起算數據、原始觀測值、觀測值間的權比關系以及B矩陣有關。而由式(5)可知，觀測值改正數與B矩陣、權陣以及X矩陣有關。

綜上可知，待求參數的方差值與CPⅢ點的具體的高程、平面位置無關，只與各點間的連接關系、起算數據、原始觀測值以及觀測值權矩陣有關。因此CPⅢ精密三角高程控制網的仿真從兩方面進行。

2.1 點位的仿真

如圖2所示，首先建立一平面直角坐標系統。點位仿真具體步驟如下：

圖2 CPⅢ仿真控制點示意圖

1)確定起始點坐標及高程，如(x0,y0,H0)，且縱橫坐標及高程各加一隨機數。

2)設CPⅢ點個數為n，則各點的坐標及高程如下：

式中，i為CPⅢ點序號；Δxi、Δyi、ΔHi為隨機數[5]。

3)選定線路基準點。為簡化程序設計思路，基準點與其最近的CPⅢ點綁定到一起。

式中L為基準點與左側CPⅢ點的橫向間距。

4)對所得各點坐標矩陣左乘一旋轉矩陣，即：

式中θ為(0-360)之間的一個隨機數。

2.2 原始觀測值及誤差的仿真

CPⅢ平面控制網測量時，要保證每個目標點(包括基準點)至少要在3個測站各觀測一次。第一測站及最后一測站各觀測4個CPⅢ點，第二測站及倒數第二測站各觀測8個CPⅢ點，其余各測站每次觀測12個CPⅢ點。當CPⅢ點附近有基準點時，要對基準點進行聯測。由于基準點和CPⅢ點有綁定關系，因此每次搜索到被綁定CPⅢ點，就可以搜索到綁定的基準點。

搜索當前測站需要觀測的目標點，再計算測站坐標及高程。

式中，u為當前測站的觀測點個數；Δnc、Δec、ΔHc為隨機數。

則各方向觀測值為：

式中，αi、βi、si分別為目標點相對于測站點的方向觀測值、豎直角觀測值以及斜距觀測值。θ為定向角，介于(0-360)之間的一個隨機數。Δα、Δβ、Δs為方向觀測誤差、豎直角觀測誤差以及斜距觀測誤差，是正態分布的隨機數，在MATAB軟件中通過函數normrnd來產生[6]。

每測站生成一獨立的觀測值文件，按照RLT格式存儲。

3 仿真試驗研究

依據文獻[7-8]，要求CPⅢ高程中誤差小于1 mm，相鄰兩點間高差中誤差小于0.5 mm?，F以TS30測量機器人為仿真對象進行試驗，該儀器測角標稱精度為0.5 s，測距標稱精度為0.6+1 ppm。試驗主要驗證以下幾個問題：

1)在工程現場目前條件下，無系統誤差影響下的CPⅢ精密三角高程控制網所能達到的精度。

2)增加線路基準點密度，CPⅢ精密三角高程控制網精度的變化。

3)增加測回數，CPⅢ精密三角高程控制網精度的變化。

4)測距誤差對CPⅢ精密三角高程控制網精度的影響。

由于在實際工程中，CPⅢ點絕對高程中誤差較相鄰點間的高差中誤差更容易滿足規范要求，因此本文只列出相鄰點間的高差中誤差曲線。

方案一：線路基準平均點間距為2 km，試驗線路長分別為4 km、8 km、12 km，每測站觀測3個測回。

從圖3—圖5可以看出，在線路基準點間距為2 km的條件下，線路長度增加，CPⅢ精密三角高程控制網精度變化可以忽略不計。

圖3 4 km線路相鄰點間高差相對中誤差曲線

圖4 8 km線路相鄰點間高差相對中誤差曲線

圖5 12 km線路相鄰點間高差中誤差曲線

方案二：以線路長為12 km的CPⅢ精密三角高程控制網為例進行試驗，基準點間距取1.7 km、1 km、0.48 km、0.24 km。

由圖6可看出，控制網整體精度隨著基準點密度的增大而逐漸提高，但提高幅度不大，且提高幅度逐漸變小。

方案三：線路基準平均點間距為2 km，試驗線路長12 km，試驗在二測回、三測回、四測回、五測回條件下的鄰點間高差中誤差曲線。

由圖7可知，隨著測回數的增加，控制網整體精度也有所提高，但提高幅度逐漸減緩。

方案四：線路長4 km，線路基準點間隔為2 km，CPⅢ點間高差可最大達10 m。要求觀測3測回，測角誤差為0，仿真數據解算結果如圖8所示。

由圖8可知，在CPⅢ精密三角高程測量中，距離測量誤差對控制網最終解算精度的影響可以忽略不計。

圖7 12km線路不同測回數條件下相鄰點間高差中誤差曲線

圖8 12 km線路無豎直角觀測誤差下相鄰點間高差中誤差曲線

4 結束語

本文通過仿真數據研究了無系統誤差影響下線路長度、測回數、基準點間距等因素對CPⅢ精密三角高程控制網精度的影響。通過試驗可知：

1)在沒有系統誤差影響的情況下，相鄰CPⅢ點間高差中誤差小于0.15 mm，完全可以達到精密水準測量的精度[11]。然而通過大量實測數據解算發現大多CPⅢ精密三角高程控制網的解算精度在0.4 mm左右，這說明實測控制網中系統性誤差殘余誤差依然是存在的。

2)通過增加測回數、增加線路基準點密度來降低偶然誤差的影響，這對控制網最終解算精度的影響是非常有限的。

3)測距誤差對控制網解算精度的影響可以忽略不計。

系統誤差具有累積性，往往會導致控制網整體精度的下降，致使部分成果超限。文獻[4]通過參數法消除CPⅢ精密三角高程控制網中球氣差的影響，取得了良好的效果。因此在下一步的研究中，垂線偏差對CPⅢ精密三角高程控制網的影響及其規律是要研究的重點內容。