一種自適應Morlet小波包絡解調的弱故障檢測方法

牛 超，侯新國，楊忠林

（海軍工程大學電氣工程學院，武漢 430033）

一種自適應Morlet小波包絡解調的弱故障檢測方法

牛 超，侯新國，楊忠林

（海軍工程大學電氣工程學院，武漢 430033）

為自適應實現Morlet小波與故障沖擊特征成分的最優匹配，采用基于Shannon小波熵的方法優化帶寬參數設計了最優Morlet小波。針對最佳尺度的求取難題，利用譜峭度與小波熵均能敏感反映沖擊性的特性，提出了基于峭熵比的最佳尺度的求取方法。基于此，提出基于自適應Morlet小波包絡解調的弱故障特征提取方法。仿真實驗與實例分析表明：該方法克服了傳統包絡解調需要人為設定帶通濾波器參數的不足，減少人工干預，能自動有效地從強噪背景中提取微弱故障特征，具有一定的工程應用價值。

Morlet小波 自適應包絡解調 shannon小波熵 譜峭度 峭熵比

0　引言

包絡解調法是電機軸承故障診斷中最常使用的方法之一［1］。在對故障振動信號進行包絡解調前，通常要對故障振動信號進行帶通濾波。然而，帶通濾波的實現需要人為選擇濾波中心頻率與帶寬，應用極為不便［2］。將小波應用于振動信號的包絡解調分析是一種常用方法［3］。Morlet小波是在故障診斷領域內常用的一種小波函數，這不僅由于Morlet小波是左右兩邊都按指數衰減的余弦信號，可以與故障振動信號實現較好的匹配，而且Morlet小波具有非常好的帶通濾波特性［4-5］。文獻［6］提出基于Morlet小波的包絡檢波算法提取淹沒在噪聲中的故障沖擊成分和沖擊成分所在頻帶，取得一定效果，但該方法沒有考慮Morlet小波的優化，不能自適應實現對沖擊成分的最優匹配，影響了包絡解調效果。利用最小Shannon小波熵自適應優化帶寬參數設計與沖擊特征成分相匹配的Morlet小波，將含有被調制信號的信息最豐富的所在頻段從原信號頻帶中分離出來，是優化小波變換算法的一種新思路，但最佳變換尺度的求取是基于Morlet小波分析的難點。文獻［4］［7］采用小波變換系數矩陣的奇異值比譜（SingularValue Ratio，sVR）求取最佳尺度，該方法在利用SVR探測信號的周期分量時，存在截斷誤差導致其經常失效。由于譜峭度和Shannon小波熵均能反映強噪聲背景下沖擊信號的特征，本文提出基于譜峭度與Shannon小波熵比值即峭熵比（Kurtosis Entropy Ratio， KER）的方法求取最佳變換尺度，以彌補最佳尺度求取方法的缺陷。在此基礎上，提出基于自適應Morlet小波包絡解調的弱故障特征提取方法，以有效提取強噪聲背景下的微弱故障特征。該方法首先依據信號的特點自適應地設計最優Morlet小波，并利用最優Morlet連續小波變換對信號進行全頻段帶通濾波；然后依據峭熵比自適應地獲取最優頻帶；最后對最優頻帶小波系數取實部，并對其求模，即可獲得最優頻帶的包絡實現包絡解調。仿真實驗分析表明：該方法克服了傳統包絡解調需要人為設定帶通濾波器參數的不足，能有效地從強噪背景中提取弱故障特征。

1　Morlet小波及其包絡解調原理分析

Morlet小波是高斯包絡下的復指數函數，其通常的定義式為：

其頻譜為：

式中fc是小波的中心頻率；fb是帶寬參數，決定了波形振蕩衰減的快慢程度和母小波的帶寬，fb越小，波形衰減得越快，帶寬越寬，直至逼近一個脈沖信號；fb越大，則波形衰減得越慢，帶寬越窄，最后退化成一個余弦信號。因此，在應用Morlet小波進行故障診斷時，需要優化fb，以實現小波與沖擊特征成分的最優匹配。

由式（2），經傅里葉逆變換知小波ψ（t）的實部ψr（t）和虛部ψi（t）分別是t的實偶函數與實奇函數，因此它們的頻譜ψr（f）和ψi（f）分別是實偶函數和純虛奇函數；由于Morlet小波頻譜函數僅含有正頻率部分，故Morlet小波是解析小波，于是可推知ψr（f）和ψi（f）滿足下列關系：

式中sgn（f）為符號函數。上式是一個時間函數Hilbert變換式的等價頻域表示，即式（3）表明ψi（t）是ψr（t）的Hilbert變換。

由式（5）知，Wxr（a， b）本質是信號x（ t）通過一個頻率響應為Ψr（aω ）濾波器輸出。

其中， H［·］表示Hilbert變換運算，因此有：

故信號x（ t）的Morlet小波變換系數的實虛部也是一對Hilbert變換，所以Morlet小波變換系數Wx（ a， b）的求模即可提取到Wxr（a， b）的包絡，從而實現對信號的包絡解調。

從以上分析可知，Morlet小波通過實虛部兩次帶通濾波構建了信號的解析信號，實現將帶通濾波與包絡解調兩個過程合二為一。

2　基于Shannon小波熵自適應設計最優Morlet小波的方法

在突變信號的檢測中，為了突出特征成分，可根據信號特征，自適應地選擇最優帶寬參數fb以使Morlet基小波與特征成分具有最大的相似性。Shannon小波熵［5，8］是一種評價相似的標準，其定義為：

Shannon小波熵值的大小反映了概率分布的均勻性，最不確定的概率分布（等概率分布）具有最大的熵值。當Shannon小波熵最小時，對應的Morlet基小波就是與特征成分最相似的小波。根據這一原理，可自適應設計出最優Morlet小波。

以仿真信號為例驗證基于Shannon小波熵自適應設計最優Morlet小波有效性，設信號x（ t）為：

以1 Hz的頻率對x（ t）采樣1024點，其時域波形如圖1所示。fb的取值范圍為［1， 100］，步長為0.5，經計算可得到fb與Shannon小波熵之間的關系如圖2所示。由圖2知，fb=15時，具有最小的小波熵，對應的基小波就是與特征成分最匹配的Morlet小波，其小波變換時頻圖如圖3（b）所示。作為對比，分別令fb取5和90，再作Morlet連續小波變換，時頻圖分別如圖3（a）和3（c）所示。

圖1　仿真信號時域波形

圖2　fb與Shannon小波熵之間的關系曲線

圖3　fb取不同值時的Morlet小波變換時頻圖

從圖3可知，當fb取5時，信號的時間分辨率稍好于fb取15時的分辨率，但其頻率分辨率比fb取15時的低，信號的高頻分量與低頻分量沒有分開。當fb取95時，信號的頻率分辨率稍好于fb取15時的分辨率，但其時間分辨率比fb取15時的低，以致信號的兩個高頻分量沒有被分開。fb取15時，信號的時頻聚集性最好，3個分量被清晰的區分開來。綜合考慮時頻分辨率，fb取15時為最優，因此，基于Shannon小波熵自適應設計最優Morlet小波的方法是有效的。

3　基于峭熵比的最佳尺度的求取方法

尺度為a的Morlet小波ψa（t）的中心頻率為fc/a。在對信號作小波變換時，將各尺度的小波的中心頻率fc/a預先歸一化成一組固定值，信號的采樣率與固定值的乘積即為相應尺度的小波系數的中心頻率。故尺度a不僅控制濾波的頻帶范圍，且濾波效果主要由帶寬參數fb和尺度a決定。因此，設計出最優Morlet小波后，還須求取最佳尺度a，以將含有被調制信號信息最豐富的那個頻段從強噪聲背景信號中分離出來。

譜峭度（Spectral Kurtosis：SK）的本質為每根譜線處的峭度值，其計算公式為［9］：

由前述，Shannon小波熵值的大小反映了小波系數分布的均勻性。故障沖擊越強的頻帶，即是含有被調制信號的信息最豐富的頻帶，其信號幅值分布越不均勻，其譜峭度也越大，Shannon小波熵值越小，故Shannon小波熵值同譜峭度一樣，也能反映信號中的沖擊及其所在的頻帶。但實際信號分析表明，譜峭度的最大值與Shannon小波熵的最小值不一定在同一頻帶取到，也就是說基于譜峭度求取的最佳尺度與基于小波熵求取的最佳尺度不一定是同一尺度。鑒于此，綜合考慮譜峭度與Shannon小波熵，本文提出一個新的沖擊性評價指標——峭熵比，即譜峭度與Shannon小波熵的比值來衡量各個頻帶的沖擊性。顯然，沖擊性越強的頻帶，其譜峭度越大，其Shannon小波熵值越小，因此其峭熵比也就越大。基于此，本文提出基于峭熵比的最佳尺度的求取方法，其基本步驟如下：1）先對信號進行最優Morlet小波變換；2）再用小波系數代替式（12）中的H（t， f ）計算各個尺度的譜峭度；3）再將各個尺度的小波系數的實部處理成一個概率分布序列并計算其Shannon小波熵，第j個尺度的Shannon小波熵計算公式為：

再依次計算各個尺度峭熵比，當峭熵比取得最大值時的尺度即為最佳尺度。

4　自適應Morlet小波包絡解調的弱故障特征提取方法

為了有效地提取強噪聲背景下的微弱故障特征和克服傳統包絡解調需要人為確定帶通濾波器參數的不足，在前文研究基礎上提出基于自適應Morlet小波包絡解調的弱故障特征提取方法。該方法首先根據信號的特征成分采用Shannon小波熵方法優化帶寬參數，自適應地設計出最優Morlet小波，并對信號進行最優Morlet連續小波變換，實現在全頻帶范圍內對信號進行帶通濾波。然后，依據峭熵比自適應地求取最佳尺度并提取最佳尺度的小波系數，從而實現對信號的最優帶通濾波。最后，對最佳尺度的小波系數取模即可實現對最優頻帶的包絡解調，提取到最優頻帶的包絡，再對包絡求頻譜，即可得到包絡譜，從而進一步提取到明顯的微弱故障特征。

5　仿真實例

以仿真信號驗證基于自適應Morlet小波包絡解調的故障診斷方法的有效性。用類似于沖擊信號的10個高斯原函數組成的信號疊加強噪聲模擬實際故障振動信號（信噪比為-12.4dB），由下式給出：

式（14）中，ti=200， 400 …，2000，n（t）為強噪聲。用fs=2048 Hz的采樣率對x（t）進行采樣，采樣點數為2048點，采樣信號及其頻譜如圖4所示。由圖4時域圖可知強背景噪聲完全掩蓋了沖擊信號，因此對其故障沖擊特征的提取是具有相當難度的。首先依據最小Shannon小波熵原理自適應設計最優Morlet小波。設母小波中心頻率fc=0.5，各小波歸一化的中心頻率范圍［0.005， 0.5］，步長為0.005，fb的范圍［1， 100］，步長為0.5。依次計算各個fb對應的Shannon小波熵得到fb與Shannon小波熵之間的關系如圖5所示。由圖5可知，fb=17時，具有最小的小波熵，其對應的基小波就是與特征成分最匹配的最優Morlet小波。設計出了最優Morlet小波，然后基于峭熵比的方法求取最佳尺度。各尺度的峭熵比與尺度的關系如圖6所示。由圖6可知，峭熵比在中心頻率為256 Hz的頻帶取得最大值，因此基于峭熵比求取方法求得的最優變換尺度為fs?fc/256=4。此尺度的中心頻率即是各尺度的中心頻率離振動固有頻率250 Hz最近的頻率，所以其中必然包含了最為豐富的故障沖擊調制信息。

圖4　含強噪聲的模擬故障信號

圖5 fb與Shannon小波熵的關系

設計出最優Morlet小波和求取最優變換尺度后，下面對原始信號進行最優Morlet連續小波變換并提取最佳尺度的小波系數。尺度為4的小波系數的實部及其頻譜如圖7所示。從圖7可以看出，最優Morlet小波有非常好的帶通濾波性能，將包含故障調制信息最多的頻帶從包含強噪聲的原始信號頻譜中完美分離出來，充分的降低了最優頻帶中的噪聲以致其小波系數中清晰地出現了間隔約為0.1s的沖擊，這是非常有利于提取微弱故障特征的。對最佳尺度的小波系數取模即可得小波系數的包絡，再對包絡求傅里葉變換即可得相應的包絡譜。尺度為4的小波系數包絡和包絡譜如圖8所示。從圖8中可知，尺度為4的小波系數的包絡譜在故障沖擊頻率10 Hz及其倍頻處出現很明顯的譜線，這說明自適應Morlet小波包絡解調已相當成功的提取到了隱藏在強噪聲背景下的微弱故障沖擊特征。

圖6　各尺度的峭熵比與尺度的關系

圖7　最佳尺度的小波實部系數及其頻譜

圖8　最佳尺度的小波系數實部包絡及包絡譜

從以上分析過程可知：1）最優Morlet小波有非常好的帶通濾波性能和降噪能力，這非常有利于弱故障特征的提取；2）自適應Morlet小波包絡解調能根據信號特點自適應設計最優Morlet小波并在全頻帶內自適應選擇最優頻帶進行包絡解調，無須人工設定濾波中心頻率與帶寬，便于用計算機進行故障自動識別。

以上仿真表明，自適應Morlet小波包絡解調的弱故障提取方法能有效的隱藏在強噪聲背景下的微弱故障特征。

6　結論

綜合本文可得如下結論：

1）根據信號自身的沖擊特征，采用基于Shannon小波熵的方法優化了帶寬參數設計了最優Morlet小波，自適應地實現其與沖擊特征成分的最優匹配。

2）利用譜峭度與小波熵均能敏感反映沖擊性的特性，提出基于峭熵比的新方法來求取最優變換尺度。該方法綜合考慮了譜峭度與小波熵兩種指標，能方便有效的求出最優變換尺度，具有一定的工程應用價值。

3）提出基于自適應Morlet小波包絡解調的弱故障特征提取方法。仿真實驗分析表明：該方法無須人工設定濾波中心頻率與帶寬，能自動有效地從強噪背景中提取微弱故障特征，具有一定的工程應用價值。

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The Method to Extract Weak Fault Feature Based on Adaptive Morlet Wavelet Envelope Demodulation

Niu Chao， Hou Xinguo， Yang Zhonglin
（College of Electrical Engineering， Naval University of Engineering， Wuhan 430033， China）

In order to achieve adaptive optimal match with the impact component，shannon wavelet entropy is used to optimize bandwidth parameter of the Morlet wavelet to design the optimal Morlet wavelet. Aimed at the problem of obtaining the optimalscale， the new approach which is based on kurtosis entropy ratio to acquire the optimalscale is presented. In addition， the new method to extract weak fault feature based on adaptive morlet wavelet envelope demodulation is proposed in the paper. Thesimulation results and analysis on the incipient fault data of ball bearingshow that the method overcomes the defect that the parameters of band-pass filter areselected by experience of the user in conventional envelope demodulation， decreases the dependence on user， and can automatic and effectively extract the weak fault feature.so， the method hassome applicationValue.

Morlet wavelet； adaptive envelope demodulation；shannon wavelet entropy； kurtosis entropy ratio；spectral kurtosis

TM712

A

1003-4862（2015）10-0026-05

2015-03-14

牛超（1982-），碩士研究生。研究方向：信號檢測與處理，設備的故障診斷等。