探討高等院校中實(shí)變函數(shù)課程的教學(xué)改革

王峰

【摘 要】實(shí)變函數(shù)是高等院校數(shù)學(xué)專業(yè)的一門(mén)必修基礎(chǔ)課，其核心內(nèi)容是勒貝格測(cè)度及積分理論。實(shí)變函數(shù)課程內(nèi)容具有較高的抽象性，這使得很多學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)該門(mén)課程很困難、提不起興趣。本文結(jié)合個(gè)人的教學(xué)實(shí)踐，探索了如何改進(jìn)實(shí)變函數(shù)課程的教學(xué)方法。

【關(guān)鍵詞】實(shí)變函數(shù)；數(shù)學(xué)思想；Mathematica；教學(xué)

實(shí)變函數(shù)課程是高等院校數(shù)學(xué)本科專業(yè)重要的理論分析基礎(chǔ)課之一，它為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)其它課程如微分方程、泛函分析、概率論、復(fù)分析、算子理論與算子代數(shù)等提供了必不可少的基礎(chǔ)知識(shí)。由于其內(nèi)容具有高度的抽象性、概括性、嚴(yán)謹(jǐn)性、構(gòu)造性等特點(diǎn)，導(dǎo)致學(xué)生普遍感到學(xué)習(xí)該門(mén)課程很困難。這里，作者結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，參考其他教師的教學(xué)改革研究成果[1-4]，提出了自己的一些教學(xué)改革想法。

1 讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的意義

在學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的過(guò)程中，如果學(xué)生僅僅是帶著應(yīng)付下考試的心理，那學(xué)習(xí)這門(mén)功課的意義就大打折扣了。實(shí)際上，實(shí)變函數(shù)內(nèi)容的抽象性恰能很好地鍛煉我們分析問(wèn)題和處理問(wèn)題的邏輯思維能力，錘煉我們的細(xì)心、耐心、恒心和信心。學(xué)習(xí)過(guò)程會(huì)是一個(gè)不斷提升自身數(shù)學(xué)修養(yǎng)的過(guò)程。在這一方面，實(shí)變函數(shù)課程里每一章都涉及到大量的定理和證明題，要想很好地解決每道題其實(shí)還是很困難的。這時(shí)，學(xué)生們正確的學(xué)習(xí)態(tài)度和出色的推理能力將起著重要的作用。在未來(lái)的工作崗位上，絕大部分的數(shù)學(xué)院系的學(xué)生將從事和數(shù)學(xué)有關(guān)的工作，探究實(shí)變函數(shù)的思想將在他們未來(lái)的工作道路上起到潛移默化的作用。因此，教師在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)多挖掘行之有效的教學(xué)方法，讓學(xué)生在實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中領(lǐng)會(huì)到其極富創(chuàng)造力的新方法和新思想。

2 教師精講與學(xué)生自學(xué)相結(jié)合

實(shí)變函數(shù)課程里的內(nèi)容非常多，如果教師上課時(shí)面面俱到，肯定沒(méi)有時(shí)間留給學(xué)生去思考，學(xué)生就會(huì)在這種不間斷的灌輸中感到疲憊，逐漸產(chǎn)生厭學(xué)情緒，進(jìn)而出現(xiàn)了逃課現(xiàn)象。教師的作用不能是灌輸，而是精選出在整個(gè)課程中承上啟下、多處應(yīng)用到的有關(guān)概念或定理，精講典型例子以及常用方法、技巧和思想。比如，可測(cè)函數(shù)列的收斂性問(wèn)題要精講，但可測(cè)函數(shù)的構(gòu)造中的魯津定理可以略講，讓學(xué)生自學(xué)，了解其意義。再如函數(shù)的連續(xù)、收斂概念的教學(xué)，可以指導(dǎo)同學(xué)們對(duì)比數(shù)學(xué)分析中的連續(xù)、收斂進(jìn)行自學(xué)，找出異同。在教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)更好地引導(dǎo)學(xué)生思考，讓他們用自己的方式來(lái)理解和記憶知識(shí)。另外，一些比較復(fù)雜的證明過(guò)程可以省掉或者結(jié)合多媒體進(jìn)行教學(xué)，這樣節(jié)省下來(lái)的時(shí)間用于學(xué)生自學(xué)。對(duì)自學(xué)的內(nèi)容，教師應(yīng)事先編寫(xiě)自學(xué)大綱，提出問(wèn)題，讓學(xué)生帶著問(wèn)題去學(xué)習(xí)，讓學(xué)生在自學(xué)的過(guò)程中注重實(shí)變函數(shù)與數(shù)學(xué)分析的知識(shí)結(jié)構(gòu)聯(lián)系，在比較和分析中完成整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程。

3 滲透數(shù)學(xué)史，提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣

實(shí)變函數(shù)中的概念比較抽象，如果一直采用純粹的概念、理論加推導(dǎo)的教學(xué)方式，學(xué)生很容易失去興趣，更難深刻理解相關(guān)概念，上課走神也就不足為奇了。現(xiàn)在，許多學(xué)生在學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)時(shí)，只追求課后習(xí)題答案，對(duì)這門(mén)課程的歷史背景一無(wú)所知。為了避免這種現(xiàn)象，在教學(xué)過(guò)程中應(yīng)注意數(shù)學(xué)思想史的滲透。這不僅有助于學(xué)生加深對(duì)概念的理解，同時(shí)也拓廣了學(xué)生的知識(shí)面，提高了學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。比如勒貝格積分是實(shí)變函數(shù)的核心內(nèi)容，是函數(shù)論的一個(gè)主要研究對(duì)象，也是數(shù)學(xué)研究和應(yīng)用的一個(gè)重要工具。在數(shù)學(xué)家哈納克、波萊爾等工作的基礎(chǔ)上，勒貝格于1902年在其博士論文《積分、長(zhǎng)度與面積》中，對(duì)于測(cè)度論和積分理論進(jìn)行了深入的研究，提出了可測(cè)函數(shù)與勒貝格積分理論。這些背景知識(shí)的介紹不僅可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，而且可以引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立對(duì)新現(xiàn)象和新事物的正確態(tài)度。

4 結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，鞏固理論知識(shí)

在高等院校中，實(shí)變函數(shù)課程屬于純理論分析課程，在教學(xué)過(guò)程中比較注重概念分析和原理的推導(dǎo)過(guò)程，而較少使用計(jì)算機(jī)軟件（如Matlab、Mathematica）幫助分析問(wèn)題。實(shí)變函數(shù)課程中概念和定理證明較多，單純使用人工推理，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生學(xué)習(xí)興趣不高。因此，在教學(xué)過(guò)程中可以多使用計(jì)算機(jī)軟件來(lái)進(jìn)行分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，并指導(dǎo)學(xué)生去嘗試基本應(yīng)用，則會(huì)開(kāi)闊學(xué)生視野，提高學(xué)習(xí)積極性。比如一個(gè)無(wú)限集可以與它的真子集等價(jià)，這對(duì)于初學(xué)者難以理解。借助Mathematica，可以給出函數(shù)tanπx-的圖像，它確定了從（-∞，+∞）到（0，1）的一個(gè)一一映射，這有助于學(xué)生對(duì)這一“反常”事實(shí)的理解。再如闡明勒貝格積分的基本思想是至關(guān)重要的，除了用日常生活中“數(shù)硬幣”的兩種不同方式來(lái)通俗地說(shuō)明黎曼積分與勒貝格積分的思想外，還可借助Mathematica更生動(dòng)、豐富地展示其聯(lián)系和區(qū)別。因此，計(jì)算機(jī)軟件的引入，對(duì)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)實(shí)變函數(shù)的興趣，提高學(xué)生的動(dòng)手能力和思維能力，拓展學(xué)生的知識(shí)面等方面都有很重要的作用。

5 結(jié)語(yǔ)

針對(duì)實(shí)變函數(shù)課程特點(diǎn)，結(jié)合學(xué)校的具體教學(xué)情況，因地制宜地開(kāi)展該課程的教學(xué)工作，對(duì)任課教師來(lái)說(shuō)的確是一項(xiàng)重要的挑戰(zhàn)性工作。為此，任課教師要不斷地改進(jìn)其教學(xué)方法，有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，使學(xué)生變被動(dòng)學(xué)習(xí)為主動(dòng)學(xué)習(xí)，讓老師和學(xué)生共同感受到教學(xué)方法革新的樂(lè)趣，這樣實(shí)變函數(shù)的教學(xué)質(zhì)量也就提高了，教學(xué)大綱的要求也就順利達(dá)到了。

【參考文獻(xiàn)】

[1]程其襄，張奠宙，等.實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)[M].3版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]張小紅.Mathematica在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2013，43（20）：250-254.

[3]蘇孟龍.《實(shí)變函數(shù)》教學(xué)中的幾個(gè)難點(diǎn)解析[J].教育教學(xué)論壇，2014，9：247-248.

[4]宋文，胡艷紅.在實(shí)變函數(shù)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想史的體會(huì)[J].繼續(xù)教育研究， 2012，5：158-160.

[責(zé)任編輯：湯靜]