論基于樣例學習理論的習題課教學設計

徐章韜

（華中師范大學　數學與統計學學院，湖北　武漢　430079）

論基于樣例學習理論的習題課教學設計

徐章韜

（華中師范大學數學與統計學學院，湖北武漢430079）

樣例的選擇、組織、提煉、評價構成了習題課教學設計的4個主要環節.從正向思維、逆向思維和發散思維的角度，討論了習題課中3種類型樣例的配置.上述3種類型的樣例把教學理念工程化了，具有可操作性的特點，有利于學生思維的培養.在這個過程中的教師的教學能力也會得到增長.

樣例；樣例學習理論；習題課

1　引　言

樣例又稱例子或范例，是一種能夠例說或表征較為抽象概念、原理的相對具體的實體，能夠展示同一類事物性質的樣本，或值得模仿的榜樣[1].樣例學習又稱例中學，是學習者在對樣例的研習中習得樣例中蘊含的知識、技能的過程.有研究認為[2]，數學樣例學習是學生在數學學習過程中獲取認知技能的重要手段，數學樣例提供了專家解答問題的方法，可供學習者模仿和學習；數學樣例中蘊涵的數學思想方法使學生數學學習的過程變得容易；數學樣例為數學學習提供的原理線索，有效地促進了學生數學學習遷移的發生；基于數學樣例的數學學習，有效地減輕了學習者的認知負荷，提高了數學學習的效率.樣例學習效應的研究表明，和學生單純的問題解決學習（即做中學）相比，從樣例中進行的學習不僅可以花費較少的時間而習得相關的知識技能，而且還有較好的遷移效果，并有助于減輕學習者學習時的認知負荷.在數學教學中，概念課[3～4]、命題課[5]的研究已經引起了學者們的關注，習題課是一種非常重要的課型，非常值得研究.基于樣例學習理論，研究習題中的樣例配置，探討習題課的教學設計之道，是這里要解決的問題.

2　習題課的教學設計環節

習題課有4大目的——加深理解和掌握雙基；培養和發展能力；查漏補缺；培養學習習慣，學會思考[6].為了達到這個目的，要注意精心選擇好的習題作為樣例.“好題”應具有以下“品質”：與重要的數學概念和性質相關，體現基礎知識的聯系性，解題方法自然、多樣，具有自我生長的能力等；從培養思維能力的角度，則應有：問題是自然的，對學生的智力有適度的挑戰性，題意明確、不糾纏于細枝末節，表述形式簡潔、流暢、好懂等[7].然而每位教師對何為“好題”的理解是不一樣的.這就需要教師對習題具有一定的鑒別和欣賞能力，圍繞習題課的主旨，充分考慮樣例的選擇、組織、提煉、評價.這是習題課教學設計中要考慮的4個主要環節.

從問題出發，精心選擇樣例.問題是數學的心臟，以問題驅動，激發學生思考，尋找問題的解決之道，引出樣例.對那些有數學天賦的學生，從培養創新人才出發，應緊緊圍繞“數量關系”、“空間形式”、“數形結合”和“公理化思想”這4條主線，讓他們有機會體會和認識一些數學本源性問題.在日常教學中，應以新知識為載體，讓學生解決一些知識發展中的基本問題[8].這樣的問題才是精心選擇的樣例.通過解剖“麻雀”的方式說明樣例的特征，引導學生理解和掌握樣例，讓學生通過樣例的學習，逐漸學會如何發現和提出問題、如何獲得數學對象、如何構建研究線索以及掌握解決問題的基本方法等為目標，即要讓學生通過解題逐步學會認識和解決問題的基本方法[8].

把樣例編織成一個體系，在體系中進行有層次的訓練.有了基本問題之后，通過變式，形成題組，能使學生在舉一反三中獲得基本的數學活動經驗.通過變式，前后問題之間的關聯性更加突出，個案的本質特征得到凸現，規律得到了明析.這有助于學生脫離孤立個案學習的弊端，形成進退有序的思維方式，進而把從個案中獲得的經驗遷移到群組的學習中，嘗試尋找一般規律.學習需要一定的重復，但是這種重復更需要有一定的變化.把樣例編織成體系，正是為了使學生在學習中不至于太過枯燥，使認知結構在有變化的重復之中形成牢固的結點.

引導學生提煉概括，總結一般規律.要在前兩個階段的基礎上找出樣例背后的規律性，使學生的認識能更加深入，能化實為虛，超越具體而走向一般.在習題課的教學中要滲透數學的思想和方法，徹底解決學生“懂而不會”的現象[9]讓學生明白“問題之解何處來”[10]，實現教育數學的三大主張——從頭腦中找概念，概念要形成方法，方法要形成模式.不要追求沒有思想的技巧，要在吃透基本概念的基礎之上，尋找自然而然的解法.

引導學生進行價值思索.數學之用究竟何在？雖然華羅庚先生有精彩名言“宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，無處不用數學”，但大多數人對數學之用還是不甚了解.數學之用不僅僅在于她是自然科學、社會科學的“皇后”，更在于她能把人的心靈引領向上，脫離各種俗念.在這個階段，要引導學生從關注具體的數學內容轉向關注自身的精神世界，使他們在獲得知識的同時，能關注知識背后的經驗、價值觀資源，并轉化為自己的認知和經驗，指導自己的行為.要樹立“大學科”的觀念，讓學生在學習數學過程中的思維過程、方法策略內化為學生走向社會，解決具體問題的基本素質、基本態度及基本思想[11].

如此，習題課的教學設計就從單純的知識教育走向了蘊知識、能力、經驗、價值觀資源、個性品質塑造于一體的素質教育了.

3　教學設計環節中的樣例配置

數學教學研究不能理念化，要能開得出解決具體問題的處方”.上面從理論上闡述了習題課教學設計的4個環節，要把上述理念轉化具體可操作的教學行為，還需要善于配置習題，選好樣例，使理念走向工程化的教學實踐之中.從訓練思維的角度而言，在習題課中要圍繞一個中心，遵循由淺入深，由簡到繁，由表及里的原則，從正向思維、逆向思維、發散思維的角度配置習題，使這些習題構成一個系列，形成樣例，使之既能體現學生思維的多向性，也能訓練學生架設由已知，經可知，達未知的橋梁，創造新的思路和解法的能力，提高問題解決的科學性和藝術性，增強問題解決的意識和本領.

3.1配置正向思維的樣例

根據安德森的ACT-R理論，在樣例學習的最初階段，應該為學生呈現一些典型的樣例，當他們掌握了相應的陳述性知識之后，再讓學生進行大量的練習，從而幫助他們將陳述性知識轉化為程序性知識，形成問題解決的技能.正向思維的樣例，大都是概念、定理、公式和法則的直接應用，不算太難，有助于陳述性知識向程序性知識的轉化，有助于問題解決技能的形成.

配置正向思維的樣例，其操作要點在于“揉”，體現思維的循序漸進性.在配置正向思維的樣例時，要注意新舊知識的交叉滲透，就像滾雪球一樣，重在一個“揉”字，使學生在不同的情境中，不同的變式中，看到其“形”雖不同，然其“實”一樣，讓學生明白問題解決的基本之法和一般套路，注重從基本出發，目標指向問題解決思路的獲得.如：在一元二次不等式的解法中，可以配置如下樣例：

①是單純地解一元二次不等式，②、③是一元二次不等式和絕對值不等式的交叉滲透，其解法是由絕對值定義去掉絕對值符號這個“緊箍咒”，其中反映的學習方法是要求教師能在不同的情境中引導學生不斷地復習、鞏固已學的知識，掌握其精神實質；反映的基本套路是，講退策，退到基本情形！俗話說得好，“挨一拳，得一著；挨十拳，變諸葛”，單個的、孤立的習題并不能成為樣例，有機聯系、拾級而上的習題組才構成一個樣例.

配置正向思維的樣例，其操作要點還在于“拓”，體現思維的廣闊性.根據樣例學習的相似性理論，樣例學習是通過對多個相似的樣例進行總結并歸納出原理而實現的.因此，在樣例學習過程中，至少要呈現兩個或多個樣例[12].學科的基本思考法，問題解決的一般思考法，要通過不同主題、不同情形的樣例反復向學生滲透，提高學生的遷移能力和認知能力.如，單調性、奇偶性是函數的重要性質，其正向思維的題型大致有：① 證明函數的單調性（或奇偶性）；② 判斷函數的單調性（或奇偶性）；③ 討論函數的單調性（或奇偶性）.不管具體的習題以什么函數為背景或由什么函數復合而成，大都是依據定義作答，這就是通法.教師在講解具體的樣例后，要總結規律，不能就題論題，要使學生有發展的余地.還可以舉一些有關單調性與奇偶性綜合應用的例子，把單調性與奇偶性有機地“揉”在一起.問題解決的基本思路還是回到定義上去！不妨把眼光放遠大一點，不再局限于一類題型，一個樣例，而是要習得上述樣例中的精神實質，就可以把上述樣例看作樣例空間中的一個點，通過類似樣例的學習來歸結經驗.如，在講解二次函數在閉區間上的最值時，正向思維的題型有3類：① 定直線（對稱軸）動區間型；② 動直線定區間型；③ 動直線動區間型.解決這3類問題的關鍵是考察對稱軸與閉區間的相對位置關系——對稱軸是穿過閉區間，還是在閉區間的左側或右側.講清楚了第①類問題后，可請學生自行完成第②、③類問題.最后還要注意規律的總結.二次函數在閉區間上一定有最值，而且最值在3點（區間的左端點、右端點、拋物線的頂點處）中的某兩點處取得.還可以進行探究性學習，討論當區間不閉時，上述結論是否成立.一石激起千層浪，勢必激起同學們強烈的探索激情.樣例學習本身是一種認知過程，需要運用頭腦中已有的知識來理解、同化、歸納、概括樣例內部所蘊含的圖式或規則[1]，樣例的變異性對學習者學習遷移的影響與遷移程度有關[13].吃透上述樣例中蘊含的問題解決方法，對考察一般函數在閉區間上的最值問題，有強烈的借鑒作用.對稱軸其實是過極點的、與水平軸重直的直線，考察對稱軸與閉區間的相對位置關系，其實就是考察極值點與閉區間的相對位置關系.處理二次函數的有關技法可以遷移到一般的函數極值問題上，體現了樣例對學生遷移心理的正向促進作用.數學教學通過事先設計的樣例，將問題的初始狀態、中間狀態、目標狀態，以及從一個狀態轉換成另一種狀態的過程均呈現給問題解決者，問題解決者從樣例中歸納出隱含的抽象知識，從而獲取認知技能.歸結不同主題、不同情形樣例中的精神實質，才能“厚書讀薄”.

總之，配置正面思維的樣例，不能就題論題，堆砌習題，要圍繞一個中心配置習題，要注重通法和基本套路，注重規律的總結；要注意樣例內特征及樣例間特征，在不同的情境中反復滲透，使學生的遷移能力和認知能力得到提升.

3.2配置逆向思維的樣例

樣例學習的解釋性理論認為，樣例學習是通過對一個或幾個樣例進行解釋而實現的.笛卡爾說：“我所解決的每一個問題，都將成為一個范例，用以解決其他問題.”如何對貯存在記憶中的樣例進行深刻的解讀，獲得深刻的見解，對學生遷移能力的形成具有重要意義.

配置逆向思維的樣例，其操作要點在于“化逆為正”，體現思維的靈活轉換性.任何事物都有兩面性，正面和反面相輔相成.配置了正向思維的題型，還要從逆向思維的角度加深對通法，對規律的理解.通常，逆向思維的難度大于正向思維的難度，然學生只有既能正向思維，又能逆向思維，才能達到了一定的熟練程度.如，解一元二次不等式，即是已知參數（系數）的值，求解集，屬正向思維的題型；反過來，已知解集，如何確定參數（系數）的值？更進一步，已知相應方程根的取值范圍，如何確定參數（系數）的取值范圍（即一元二次方程的實根分布問題）？如，已知參數的值，確定函數的單調性，屬正向思維的題型；反過來，已知函數的單調性，試確定函數中有關參數的值.如，已知函數在閉區間上的最值，求有關參數的值，等等.這些都屬于逆向思維的題型.如何解決這類題型，由于正向思維與逆向思維總是相對而言的，我們總是設法把逆向思維的題型轉化、化歸到有關定義、通法上去.解題不過是矛盾的相互轉化，把逆向思維的題型看作、組織成正向思維的題型，遷移借用有關的解題方法即可.這就不是在同一層次上重復了，而是一種螺旋上升.正逆原本是相對而言的，把“逆”解讀成“正”，需要跳出思維固著性的圈子，需要有大的圖式觀.基于此，把逆向思維的樣例看作、組織成正向思維的樣例，學生在正向思維活動中獲得的數學活動經驗得以遷移到逆向思維活動中，不僅會正向思考問題，也會從反方向思考問題，思維能力得到提升，思維品質得到優化；教師的備課水平、組織教學的能力也得到了提升.

配置逆向思維的樣例是數學內在矛盾運動的表現，是一種另類的數學思想方法的普及，有助于發展學生思維的靈活性.數學中充滿了思維互逆的矛盾.如，積分和微分是一對矛盾，指數函數與對數函數也是一對矛盾，虛與實的矛盾，曲與直的矛盾.在習題課的樣例配置中，要以精當的習題表現這種矛盾，這也是另類的數學思想方法的普及.例如，在公式的復習中，教師啟發學生從微分的角度推導三角公式，從逆向思維的角度，也可以啟發學生從積分的角度推導三角公式.教師可以讓學生把指數當作基本出發點，推導對數的基本性質，從逆向思維的角度而言，也可以讓學生把對數當作基本出發點，推導指數的基本性質.在習題課的教學中，教師可以嘗試做點改革，在配置了正向思維的樣例之后，試著讓學生自己編制一些逆向思維的習題，精選其中的一些習題當作樣例.這樣，若學生既會解題，又會編題，他們的思維就具有相當的靈活性了.

3.3配置發散思維的樣例

學會發散思維，是樣例配置的應用之一.哲學家哥德曾風趣地說：“經驗豐富的人讀書用兩只眼睛，一只眼睛看到紙面上的話，另一只眼睛看到紙面背后的話.”數學概念、公式不拓展、不提升，認識就只能囿于紙面上，局限于一個特定的情境，不能力透紙背.要達到“聞一知十”，就要學會有效的遷移類比，學會做數學的一些“基本套路”.類比遷移是一個結構映射的過程，只映射內在關系而不是映射具體的屬性.結構是數學的重要特征，通過發散性樣例的學習，能把表面上看似來源不同而實則同源同構問題的實質吃透，提高在知識豐富領域的問題解決能力.

配置發散思維的樣例，其操作要點之一是可以從結構入手，體現思維的概括性.從數學教學的角度而言，以變量代換法為基礎的變式是拓展、提升數學公式、法則的應用范圍，化簡習題繁難度的常用手法之一，是數學結構化思想的教學表達.教學內容上數學思想和方法的反映，決定了教師教學的高度和水平.如，對形如型的不等式而言，可分別拓展為經過這樣的拓展后，一元二次不等式和含絕對值不等式有機地揉合起來了.如果進一步拓展為和則可用上述方法轉化為一系列的普通不等式（組）.螺旋上升是教材編寫的基本原則之一，同樣的，數學教學也要有層次推進，要用一以貫之的思想線索把表面上形式不同的材料串起來.如，一元二次方程、一元二次不等式、一元二次函數是中學數學中的3個“二次”問題，剖析典型樣例，看清問題的實質，對學生能力的培養非常有必要.一元二次不等式自身經過變量代換可拓展為具體的不等式：等習題.二次函數在閉區間上的最值問題，經變量代換可拓展為等復合函數在閉區間上的最值問題.配置這樣的發散性樣例，學生的抽象、概括能力得到了提升，對問題的認識也不再浮于表面，而是抓住了問題的本質.解決此類問題的通法是用換元法等手段把問題退到最基本、最簡單的模型.正如華羅庚先生說：“要善于退，退到已經解決了的問題為止.”代數系統的基本通性就是其所具有的運算，這是普遍可用的“法寶”.保留運算律，以通性求通解是一種高明的代數思維.教學不是灌輸，而是啟迪，通過配置典型樣例，可以讓學生迅速領悟這些基本精神.如，解不等式是一個常規習題，保留對數的運算律不變，可拓展成：f(x)是定義在R+上的增函數，且① 求f(1)的值；② 若 f(6)=1，解不等式用這種方法，還可以編制一系列有關抽象函數的習題.習題課的教學不能就題論題，一題一法.說到底，數學習題是由數學家研究成果改造而來，隱隱約約反映了數學發明發現的一般規律；在習題課的教學中應努力把數學發明發現的規律明朗化、一般化，使學生明白數學研究的“基本套路”.其實，用類比法進行拓展、發散也是一種常見的科學發現的手法.在實際應用中，飛機的流線型造型就是類比鳥的體形而設計制作的.在數學中，離散的量可以與連續的量類比，一元可以和多元類比，低維可以和高維類比，等等.典型的、基本的、有目的重復的樣例應能啟發學生將相關的知識有機地組織在一起，形成連續的、結構化的知識體系，從而為知識的應用打下扎實的基礎.

為思維而教是數學教學的重要使命之一.數學習題成千上萬，從思維的角度可把習題大致分成上述3種題型.在習題課教學中，3種題型及樣例的有機調配，有利于學生從整體上把握解題規律，迅速找到解題的切入口，提高學生的解題能力.經過長期有意識的訓練，教師自身的教學能力也會不斷地增長.

4　樣例的教學意義

教學理論應能解釋課堂教學中發生的現象，對教學實踐有指導力.一節觀摩課遵照“易建模，易解模”→“易建模，難解模”→“難建模，易解模”的思路展開.但研究者認為，這節課沒有抓住“建立不等式模型解決實際問題”這個課題的要點.首先，解不等式模型不應該成為這節課的一個中心任務.這節課的中心主題應該是“建模”，而不是“解模”，一節課應圍繞一個中心展開，而不是多中心的.其次，模型的復雜度應逐漸攀升.對建模而言，模型是用來描述世界，解釋世界的，就這節課而言，其例題的選取、組織隱隱約約地遵循“用一個變量描述的現象”→“用兩個變量描述的現象”→“用多個變量描述的現象”的思路展開.如果教師對此脈絡有清晰的認識，那么對典型樣例的配置就會結合學生的實際、課程標準的要求而仔細考慮.事實上，就這節課而言，第一、二兩個例題坡度小，而第三個例題坡度太大，很多學生一臉茫然.課堂教學中的許多現象和問題，并不是理念更新后就一定能解決的，特別是在知識內容豐富的領域，更應注意對內容的深層次解讀.在習題課樣例配置中獲得的經驗，完全可以遷移到這堂課的教學中來.

深入研究樣例有助于教師把握數學學科的基本結構，為學生提供有生長力的知識.中國的“雙基”教學理論，以及新近的“四基”教學理論都強調教給學生基本概念、基本規律和學科的基本結構.這就要求教師能從題海中遴選蘊含著本質因素、根本因素、基礎因素的樣例，使學生透過樣例，掌握數學知識和數學科學方法.俗語說得好，“將帥必起于卒伍，宰相必起于州郡”，教師成長在出真知實踐的課堂，絕不僅僅是聽一兩次洗腦式的報告而成就.題海式的大批量、低效訓練等客觀現實倒逼著有進取心的教師深入研究數學學科的基本結構，然后采取適切的方式把這些奠基性的要素傳遞給學生.樣例學習中始終包含著一種內在的邏輯、一種內部的概念結構；學生習得的是一種能動、有生發性的知識，這在發散型樣例的配置中看得很清楚.

深入研究樣例有助于教師切實考察學情，培養學生的獨立學習能力.樣例設計的基礎性原則要求樣例承載的內容是打基礎的東西，適應學生的智力發展水平，接近他們已有的數學活動經驗和生活經驗.這就要求教師在設計樣例時，不能過難也不能過易，要對學生的數學發展水平、數學現實基礎、現實數學基礎能準確地評估.“上陡坎”、“深挖洞”是不足取的，要優先考察樣例對學生發展的價值和意義，而不是比拼題目的繁難度.有了這樣思考次序后，習題課的教育價值及表達方式將會有新的變化，就會引導學生在“最近發展區”內對樣例的本質進行尋找和提問，并能獨立解決之，這在正向思維的樣例配置中已看得很清楚.

深入研究樣例有助于教師深刻領悟“例中學”的真諦，引導學生選擇合適的學習方式.“書中學”、“做中學”、“例中學”是3種不同的學習方式，“例中學”最為人們熟知，但熟知并不是真知.“例中學”的要義在于讓學生獲得本質的、結構的、原則性的、典型的、規律性的認識和關系，而不是獲得這些知識.“例中學”要求教師將重點內容進行加深和強化，突出數學的核心思想和方法，而不在細枝末節上“兜圈子”，使之能在學生頭腦中生根.每一個樣例都有一定的代表性，都是反映整體的一個窗口，這個窗口的“視界”究竟能有多大，就要求學習者能主動地把自己置于不斷受教育與培養的狀態之中，努力尋求從個案樣例到題組樣例背后的真知灼見，這在上述樣例配置的案例中，已看得很清楚了.

[1]邵光華.樣例學習的理論與實踐[M].杭州：浙江大學出版社，2013.

[2]馬俊青.數學樣例學習與學生數學知識形成關系的研究[J].數學教育學報，2009，18（4）：68-70.

[3]邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程·教材·教法，2009，（7）：47-51.

[4]徐文彬.數學概念的認識及其教學設計與課堂教學[J].課程·教材·教法，2010，（10）：39-44.

[5]徐章韜，陳林.數學命題的認識及其課堂教學設計[J].課程·教材·教法，2014，（11）：81-85.

[6]章建躍.做題目，為什么[J].中小學數學，2011，（6）：封底.

[7]章建躍.讓學生解好題[J].中小學數學，2012，（10）：封底.

[8]章建躍.如何理解“解題教學”[J].中小學數學，2012，（11）：封底.

[9]徐章韜，陳傳理.問題之解何處來[J].數學通報，2015，（1）：41-44.

[10] 張景中.什么是“教育數學”[J].高等數學研究，2004，（6）：2-11.

[11] 卜以樓.教育價值：數學教學的根本之所在[J].數學通報，2013，（1）：16-19.

[12]Reed S K Bolstad C R. Use of Examples and Procedures in Problem Solving [J]. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 1991, (17): 753-766.

[13] 寧寧，喻平.多重變異性數學樣例對遷移影響的初步研究[J].數學教育學報，2010，19（6）：50-52.

Based on Sample Learning Theory to Discuss the Learning and Teaching of Exercises

XU Zhang-tao
(College of Mathematics and Statistics, Central China Normal University, Hubei Wuhan 430079, China)

From the angle of the direct thinking, reverse thinking and divergent, discuses three types of exercises used in classroom. Based on sample learning theory, analyzes the values of the three types of samples. According to the case analysis and theoretical analysis, the selection, organization, refining and evaluation of samples make up of the main components of the learning and teaching of exercises. Teachers can improve their teaching ability in the process of arranging samples.

sample; sample learning theory; the learning and teaching of exercise

G420

A

1004–9894（2015）06–0035–05

[責任編校：周學智]

2015–10–19

華中師范大學中央高校基本科研業務費項目——基于學習理論的信息技術與學科教科書的整合（CCNU15A06015）；華中師范大學重大科研課題及創新示范基地培育項目——TPACK視角下卓越數字化教師的培養研究

徐章韜（1976—），男，湖北京山人，副教授，博士，主要從事教師知識研究．