英國數學英才選拔考試MAT綜合難度分析

盧建川，廖運章，王華嬌，2

（1．廣州大學　數學與信息科學學院，廣東　廣州　510006；2．廣州大學附屬東江中學，廣東　河源　517500）

英國數學英才選拔考試MAT綜合難度分析

盧建川1，廖運章1，王華嬌1，2

（1．廣州大學數學與信息科學學院，廣東廣州510006；2．廣州大學附屬東江中學，廣東河源517500）

數學入學考試MAT是英國重要的數學英才選拔考試，是牛津等大學數學、計算機及相關專業的入學條件之一，數學知識與方法相當于A水平核心數學C1和C2模塊水平，但問題設計卻不同，重在考查考生理解A水平數學的深度而非廣度.利用鮑建生建立的綜合難度模型，從數學認知、背景、運算、推理和知識含量等維度，定量、定性地分析影響MAT試題難度因素及其特征，為中國培育數學英才提供借鑒.

英國；數學英才；MAT；綜合難度

數學入學考試MAT（Mathematics Admissions Test）與第六學期考試STEP（Sixth Term Examination Papers）是英國兩項久負盛名的數學英才選拔考試，分別是牛津大學和劍橋大學數學、計算機及相關專業的入學條件之一（其他大學如帝國理工學院等也鼓勵申請者參加該兩項附加入學考試）.目前，國內評介主要集中于后者STEP[1]，對前者MAT鮮有關注.

1　MAT的基本信息

MAT是主要針對牛津大學本科數學、計算機及相關專業申請者在面試前設置的紙筆附加考試，由劍橋大學招生考試服務中心（Admissions Testing Service, ATS）與牛津大學聯合管理，牛津大學負責命題、閱卷和評價考試有效性等，ATS承擔考生注冊、考試、試卷印刷分派回收等具體性事務.MAT設立于1996年，時稱數學能力測試（Mathematics Aptitude Test），從2007年起，申請者可以在各自學校/學院或ATS任何一家全球開放中心參加考試，一般在每年10月末或11月初進行，有關MAT考綱、樣題、歷年試題及解答等，可參考MAT官方網站提供的實時更新信息.從2013年開始（2014年入學），選讀帝國理工學院本科任何數學課程的申請者，都需參加MAT考試并取得一定的合格等級.值得注意的是，牛津大學鼓勵申請者參加STEP考試，但不能替代MAT，帝國理工學院兩者都認可[2].

1.1需MAT的專業/課程和合格成績

牛津大學（O33）需參加MAT的專業/課程分為3類：I類包括G100數學、GV15數學與哲學、GG13數學與統計學，II類為GG14數學與計算機科學，III類含G400計算機科學、IV15計算機科學與哲學.

帝國理工學院（I50）要求MAT的專業/課程有：G100數學（3年制）、G103數學（4年制）、G125數學（純數學）、GG31數學、最優化與統計學、G104數學（在歐洲1年）、G1F3數學與應用數學/數學物理、G102數學與計算數學、G1G3數學與統計、G1GH數學與金融統計.

牛津大學2010—2014年數學、計算機及相關專業的錄取人數與報考人數比依次是：264∶1540、261∶1321、252∶ 1289、263∶1394、270∶1672，年錄取率不超過20%.牛津大學2010—2014年MAT平均分/錄取最低分～最高分分別為49/61.4～69.3、50.3/63.3～71.3、52.1/63～68.2、44.8/54.2～60.6、48.4/63.1～71.5，最近5年全球年平均分在44～53分間波動，錄取成績介于55～64分之間，2013年平均分最低，2012年平均分最高，歷年最高分不超過71.5，考慮到參加MAT的考生大多已參加A水平數學考試（相當于中國高考）并取得優秀成績，總體而言試題難度較大，著力于數學英才選拔.

1.2MAT試卷結構

MAT考試時長為2.5小時，全卷滿分100分，共7道大題.2007—2013年第1大題為選擇題，包含A～J共10小題，每小題4分，共40分.2014年起選擇題選項由4個變為5個，每小題有且僅有一個正確答案；第2～7大題為解答題，考生需根據申請專業選做其中的4題，每題15分，并寫出解題過程，多做或做其他專業的題不得分；牛津大學的I類專業/課程做1、2、3、4、5大題，II類做1、2、3、5、6大題，III類做1、2、5、6、7大題，帝國理工學院做1、2、3、4、5大題.考試不能使用計算器、公式表、詞典，考生是否修讀A水平進階數學均可報考.

1.3MAT考試大綱

MAT考查所需的數學知識和方法，大致相當于A水平核心數學C1、C2模塊的內容范圍，但問題設計卻大不相同，重在考核考生對A水平數學的理解深度而不是知識廣度.表1為2007年啟用至今的MAT考試大綱[3].

表1　MAT考試大綱（2007年4月發布）

表1　（續）　MAT考試大綱（2007年4月發布）

2　MAT試題的綜合難度評析

從MAT官方網站公布的數據顯示，2007—2014年MAT（1～5題）年平均得分率為411.5/800≈0.514（56.9+58.7+ 51.3+49.0+50.3+52.1+44.8+48.4=411.5），題目偏難.為析其原因，現利用鮑建生建立的綜合難度模型[4]，從數學認知、背景、運算、推理和知識含量等方面，定量、定性地分析影響MAT試題的難度因素及綜合難度的變化.

表2　MAT試題難度因素的量化指標（2007—2013）

2.1數學認知水平的差異

2007—2013年MAT試題在數學認知水平上的統計結果如圖1.可以看到，理解層次的試題居多，每年所占比例均處于較高水平，2012年最高達81.25%，2013年最低也達到31.25%.除2013年外，每年的理解層次百分比差別不大；識記水平試題，每年都處于10%～30%之間，2008年最多，2007年最少；探究水平試題，2013年比例最大，2007—2012年較為穩定；只有2013年試題“識記→理解→探究”逐次上升，難度增加，其他則以理解為中心的正態型趨勢.考查學生對數學概念、公式等的記憶較少，理解運用的較多，且每年都設有探究性、開放性試題考核數學思維，這是MAT試題在數學認知水平上的基本特征.

圖1　2007—2013年MAT試題的數學認知比較

2.2背景水平的差異

在背景因素上的統計結果如圖2所示.無背景試題最多，均在80%～90%之間，所占百分比差異不大，每年在背景水平的4個層次上分布都比較穩定.其中，以個人生活為主，科學情境試題共3道，公共生活試題迄今尚未出現.反映出MAT試題考核數學基礎知識的偏好，這與MAT重在選拔數學英才以進一步學習大學高等數學與計算機科學的取向不無關系.

圖2　2007—2013年MAT試題的背景因素比較

2.3運算水平的差異

在運算水平上的統計結果如圖3所示.總體而言，無運算、數值運算、簡單符號運算、復雜符號運算4個層次上分布較為均勻，在15%～40%之間波動，略顯上升趨勢，簡單符號運算和復雜符號運算試題較多，無運算和數值運算試題較少.2011年、2012年數值運算低于10%，2010年、2013年復雜符號運算比重大且“無運算→數值運算→簡單符號運算→復雜符號運算”持續上升.

圖3　2007—2013年MAT試題的運算水平比較

2.4推理水平的差異

在推理水平上的統計結果如圖4所示.每年試題在無推理、簡單推理、復雜推理3個推理水平上的走勢是相似的，簡單推理水平試題所占比例最大，但每年變化不大，在43%～55%之間波動，復雜推理水平試題介于30%～45%之間，2013年復雜推理試題最多占50%，提升了試卷的整體難度.

圖4　2007—2013年MAT試題的推理水平比較

2.5知識含量水平的差異

在知識含量上的統計結果如圖5所示.從總體看，MAT試題每年在知識綜合水平的3個層次上的分布大致相似，都是單個知識點和兩個知識點試題較多，除2008年外，這2個層次的試題每年分別在35%～45%、35%～50%之間波動，2008年試題單個知識點所占比例最大，達60%以上，而2013年試題多個知識點最多，占31.25%.

圖5　2007—2013年MAT試題的知識含量比較

2.6綜合難度的差異

綜合數學認知、背景、運算、推理和知識含量5個難度因素，得到2007—2013年MAT試題的綜合難度雷達圖，見圖6.不難發現，這7年試題難度總體穩定、稍有變化，推理、知識含量、背景因素變化小，加權平均值在推理2.1～2.4、知識含量1.5～1.8、背景1～1.3之間波動，略有變化的是數學認知與運算因素，加權平均值介于數學認知1.8～2.5、運算2.3～3.0之間；數學認知、運算、推理3因素的加權平均值接近或高于2以上，說明試卷側重考查考生的數學探究能力、推理能力和運算能力，知識含量平穩、無背景試題是常態，這與MAT之目的——考查學生對核心數學的理解深度而非廣度相符；從年度看，無論是數學認知、知識含量、推理還是運算，2008年的加權平均值都較小，因此2008年是歷年試題難度最小的，相反2013年則最高，次之為2010年，2012年背景因素的加權平均值最高.

圖6　2007—2013年MAT試題的綜合難度比較

總而言之，MAT試題涉及的數學知識不多，背景單純，試題解答需具備一定的運算技能，主要考查對數學理解的深度，重視數學推理與數學探究.決定試題難度的主要因素是數學認知中的探究水平、推理中的復雜推理水平以及運算中的復雜符號運算水平，這些恰恰是修讀大學STEM（科學、技術、工程、數學）課程所必需的.試題難度維持在0.45～0.50應當是MAT試題今后的命題趨勢，這也說明英國對數學英才的數學要求越來越高.

3　結　語

近年來，英國學生在A水平數學考試中獲得A與*A成績呈上升趨勢，而在國際數學測評PISA和TIMSS中卻裹足不前，設置數學入門附加考試就成為各一流大學選拔數學英才的初衷.MAT的重要亮點是根據大學數學、計算機及相關專業的要求，有針對性地分層設計試題，既有各專業公共的數學基礎（1、2、5題），又有不同專業分類作答的問題（3、4、6、7題），如數學與哲學需要學生具有較強的邏輯思維，因此設置第6題時主要以邏輯推理題為主（如判斷誰為說謊者），以考查學生的邏輯思維能力和推理能力.

中國也有類似MAT的重點大學自主招生（數學）考試，但沒有專業針對性，最多分文理科進行，缺乏公開透明、持續穩定的數學考綱，對歷屆試題也很少規范公開，不利于選拔數學英才，特別是目前取消數學奧林匹克獲獎者高考加分政策后，如何營造正常的數學英才培育環境、激勵喜歡數學的未來專業數學工作者及其相關專業工作者；怎樣優化中國現行數學課程標準與教材、使學生聚焦核心數學；如何在保證一定數學知識廣度前提下，著力提升數學英才理解數學的深度[6～12]；怎樣科學命制數學試題，合理控制其難度[13～18]，等等，MAT的做法不失為一個值得借鑒的范例.

[1]陳昂，任子朝.英國數學英才選拔考試——第六學期數學考試簡介[J].數學教育學報，2012，21（4）：64-67.

[2]ATS. MAT [EB/OL]. http://www.admissionstestingservice.org/for-test-takers/mat/about-mat/, 2015.

[3]MAT. Syllabus [EB/OL]. https://www.maths.ox.ac.uk/study-here/undergraduate-study/maths-admissions-test, 2015.

[4]鮑建生.中英兩國初中數學期望課程綜合難度的比較[J].全球教育展望，2002，（9）：48-52.

[5]王建磐，鮑建生.高中數學教材中例題的綜合難度的國際比較[J].全球教育展望，2014，（8）：48-52.

[6]王光明，宋金錦，佘文娟，等.建立中學數學英才教育的數學課程系統——2014年中學英才教育數學課程研討會議綜述[J].課程·教材·教法，2014，（5）：122-125.

[7]廖運章.述評美國高中數學焦點[J].數學教育學報，2013，22（1）：61-65.

[8]李亞玲，張英伯.數學英才教育的國際比較[J].數學教育學報，2011，20（2）：102.

[9]倪明，熊斌，夏海涵.俄羅斯高中課程改革的特色——數學課程普通教育與英才教育并舉[J].數學教育學報，2010，19（5）：12-16.

[10] 游安軍.也論中國數學競賽的教育性質——與羅增儒先生商榷[J].數學教育學報，2009，18（1）：48-51.

[11] 游安軍.如何正確認識“奧數”的教育價值[J].數學教育學報，2009，18（5）：69-71.

[12] 張英伯，李建華.英才教育之憂——英才教育的國際比較與數學課程[J].數學教育學報，2008，17（6）：1-4.

[13] 梅俊雷.數學試題中的數學化原則[J].數學教育學報，2014，23（5）：19-22.

[14] 葉晶，陳清華.基于內外部表征的數學高考應用題分析[J].數學教育學報，2014，23（4）：92-95.

[15] 趙思林，翁凱慶.高考數學命題“能力立意”的問題與對策[J].數學教育學報，2013，22（4）：85-89.

[16] 任子朝，王蕾，朱乙藝，等.標準參照考試理論在高考中的應用——以H省2010—2012年高考理科數學為例[J].數學教育學報，2013，22（3）：1-4.

[17] 宋玉靖，趙巧花.編制調查測試題時必須認真對待的一些問題[J].數學教育學報，2012，21（5）：95-97.

[18] 廖運章.開放性數學應用問題解決的差異性研究[J].數學教育學報，2011，20（3）：34-38.

Review on Composite Difficulties of Mathematics Admissions Test in British Mathematical Talent
Recruitment Examination

LU Jian-chuan1, LIAO Yun-zhang1, WANG Hua-jiao1,2
(1. School of Mathematics and Information Science, Guangzhou University, Guangdong Guangzhou 510006, China;
2. The Affiliated Dongjiang Middle School of Guangzhou University, Guangdong Heyuan 517500, China)

The Mathematics Aptitude Test (MAT) is one of the British mathematical talent recruitment examination, it also is a pre-interview test for applicants to the University of Oxford’s undergraduate courses in Mathematics, Computer Science and their joint schools. The mathematical knowledge and techniques required to do the questions are taken from a syllabus roughly corresponding to the C1 and C2 modules from A-level maths, though the questions are set more variously than A-level questions. It aims to test the depth of mathematical understanding of a student in the fourth term of their A-levels (or equivalent) rather than a breadth of knowledge. This paper uses a composite difficulty model to quantitative and qualitative analyze the difficulty levels of the questions in MAT with respect to 5 factors: the problem context, the mathematical cognition, the computation complexity, the reasoning difficulty, and the topic coverage. The results may provide model for cultivating mathematical geniuses in our country. Key words: England; mathematical talent; Mathematics Admissions Test (MAT); composite difficulties

G633.6

A

1004–9894（2015）06–0031–04

[責任編校：張楠]

2015–08–09

廣東省高校“創新強校工程”特色創新項目（教育科研類）——英國GCSE與GCE-AS/A數學“社會化一年多考”機制研究（2014GXJK058）；廣州市高等學校第六批教項目——基于卓越數學教師培養的《數學教學設計》課程改革與實踐研究（2014-4）；廣州市教育科學“十二五”規劃2013年度課題——中小學幼兒園數學課程標準的國際比較研究（2013A012）

盧建川（1966—），男，廣東揭陽人，副教授，博士研究生，從事數學課程與教學論研究．廖運章為本文通訊作者．