在實踐中學習概率與排列組合

蔣麗

摘 要：在數學教學中，引導學生實踐是高效課堂中最重要的環節之一。在教學實踐中嘗試設計模擬實驗，讓學生在有趣的課堂活動中更好更快地學習幾何概型，在親身實踐中發現其中的原理;另外還運用了角色扮演，讓學生在面對抽象的排列組合問題時能夠融入角色，在互相討論中分析并解決問題。這種課堂活動是教學過程中的一點創新嘗試，它不僅激發了學生學好數學的熱情的積極性，還潛移默化地使學生體會到學習數學的最終目標是活用數學知識解決實際問題。

關鍵詞：幾何概型;模擬實驗;排列組合;角色扮演

“實踐是檢驗真理的唯一標準。”同樣，在高中數學的教學過程中，也需要實踐。然而，由于課時緊張，大多數一線老師忙于趕進度，只重視課本理論的教學，輕視一些有助于學生理解知識開發思維的實踐活動的開展。我個人認為在時間允許的情況下有必要在課堂上開展一些小型寓教于樂的活動，讓學生親身參與到這些活動中。

一、幾何概型的模擬實驗

在投硬幣問題中，我們既可以直接準備一枚硬幣進行大量的重復試驗，也可以用隨機數表法來模擬試驗，旨在用頻率估計概率。但是，前者比較費時費力，后者卻有易于實現的好處。用模擬方法可以在短時間內完成大量的重復試驗。模擬方法尤其在幾何概型中應用頗為廣泛，這是由幾何概型中樣本的無窮性和等可能性決定的。下面我以課本上的問題為例，具體說明我的模擬方法。

例1.小明家的晚報在下午5：30～6：30之間的任何一個時刻被隨機地送到，小明一家人在下午6：00～7：30之間的任何一個時刻隨機地開始晚餐。則晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少？

1.仔細審題

先由學生審題，從這兩個已知時間段入手，了解這是一個幾何概型的問題，可能要用到xOy平面上的面積之比來解題。

2.轉換題目

在審題的基礎上，為了激發學生的興趣，我們先不說本題的精確解法，而是將這種解法轉換為模擬實驗：準備兩個等分為60份的轉盤，分別代表晚報和晚餐的時間。轉動每個轉盤若干次，并記錄每次轉動的結果。由于時間有限，我們用隨機數表法來代替轉盤法。現在要求全體同學用自己的方法在隨機數表中找出10個兩位數（樣本在00～60之間，不滿足要求的數直接刪除，找滿10個為止），把這10個數按順序寫在紙上。然后讓同桌兩人一組，右邊的學生找的隨機數代表晚餐開始時間（例如其中一個數為20，就代表晚餐開始時間為6：20），左邊的學生找的隨機數代表晚報送來時間（需要進行處理，例如25代表5：55，41代表6：11），把兩個人的數據按順序匹配起來，比對時間的早晚。統計出每一組晚報送來時間比晚餐時間早的個數，并匯總全班的結果，以此來估計晚報在晚餐開始之前送到的概率。

3.解決問題

這時學生開始活動，大家都熱火朝天、有條不紊地進行著分工與合作，積極性得到極大的提高。不一會，大家都完成了任務，每個小組把自己的結果上報給所在大組的組長，每個大組的組長又把結果報了上來，經過匯總之后得到所求的頻率約為0.870，與精確值0.875非常接近。

接下來我詳細地講解了本題的標準解法，用幾何概型的原理，在xOy平面上表示出樣本點的定義域G以及滿足要求的區域G1，得出所求概率P=

學生興趣濃厚，專注度在這次活動后得到巨大的提高，仔細認真地聽完了這個解法。

4.學生小結

這個活動得到了大家的一致好評，都認為，這個活動活躍了課堂氣氛，增強了自己的動手實踐能力，使自己快速又深刻地掌握了幾何概型的解法的探索過程。不少學生感慨道：實踐出真知，以這種方法學到的東西要比傳統的方法多得多。

5.老師總結

雖然這是本書的最后一節內容，有很多老師都會因為這不算高考重點環節而直接跳過這個模擬實驗，但是我認為這個實驗有必要進行。它的好處正如之前學生所說，活躍氣氛，增強動手能力，團隊合作能力，充分發揮學生的主體地位和主觀能動性，有助于學生更深入地掌握本節知識。

二、排列組合中的角色扮演

排列組合作為高中數學課本的一章內容，因為極具抽象性而成為“教”與“學”的難點。有相當一部分題目老師很難用比較清晰簡潔的語言講給學生聽，有的即使老師覺得講清楚了，但是由于學生的認知水平、思維能力在一定程度上受到限制，從而導致學生對題目一知半解，甚至覺得“云里霧里”。下面我將以排列組合中平均分組問題為例說明我在這一部分的教學過程。

例2.6本不同的書平均分成3堆，每堆2本共有幾種分法？

1.仔細審題

學生先審題，明確這是一個分組問題，但每一組沒有編號，則屬于平均分組問題（需要在分組問題的基礎上進行消序）。

2.轉換題目

在審題的基礎上，為了激發學生興趣進入角色，我將題目轉換為：讓學號為1、2、3、4、5、6的學生到前面來，兩人一組，共分為3組，問有多少種分法？

3.解決問題

這時我選另一名學生來安排這6位學生分組，班上其他同學也都積極思考，努力地“出謀劃策”，不到兩分鐘的時間，學生有了2種看法：

第一種看法是先安排兩個同學到第一組，共有C62=15種分法，再安排兩個到第二組，共有C42=6種分法，最后兩個直接進入第三組，由乘法原理，共有15×6=90種分法。

第二種看法在第一種的基礎上考慮到了組序問題，例如把1、2號放在第一組，3、4號放在第二組，和把1、2號放在第二組，3、4號放在第一組的效果是一樣的，需要消去組序，在之前算出結果的基礎上除以3的全排，即90÷3！=15

經過激烈的討論之后，大家一致認為第二種思路考慮得更加周到，把第二個結果作為本題的答案。

4.老師總結

平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后要一定要除以n！（n為均分的組數）避免重復計數。