嫦娥三號軟著陸軌道近月點的確定

張志杭　劉炳銳　王堯

【摘 要】嫦娥三號的成功發射與著陸著實讓國人喜悅，它的成功也凝結了許多科學家的辛勞汗水。本文介紹如何用數學建模的方法確定嫦娥三號在月面15公里上空的近月點位置：構建力學模型，建立嫦娥三號的質量、比沖、時間的微分關系，依據燃油最省的原則，通過試算得到飛行器主減速階段初末俯仰角和推力的最佳值，按時間線性插值俯仰角，運用MATLAB對主減速過程進行擬合，得到主減速階段的水平位移，而后根據月球表面相對位移與經緯度的變化關系，以及預定著陸點坐標19.51W，44.12N反推近月點位置。

【關鍵詞】軟著陸；節省燃油；坐標反推；MTALAB

1.問題重述

嫦娥三號于2013年12月2日1時30分成功發射，12月6日抵達月球軌道。嫦娥三號在著陸準備軌道上的運行質量為2.4t，其安裝在下部的主減速發動機能夠產生1500N到7500N的可調節推力，其比沖為2940m/s，可以滿足調整速度的控制要求。在四周安裝有姿態調整發動機，在給定主減速發動機的推力方向后，能夠自動通過多個發動機的脈沖組合實現各種姿態的調整控制。嫦娥三號的預定著陸點為19.51W，44.12N，海拔為-2641m。其著陸軌道設計的基本要求：著陸準備軌道為近月點15km，遠月點100km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點至著陸點，盡量減少軟著陸過程的燃料消耗。試確定：著陸準備軌道近月點和遠月點的位置，以及嫦娥三號相應速度的大小與方向。

2.問題分析

這個問題屬于航天著陸軌道設計。

（1）軌道面確定：飛行器可以視為一個小型天體，它在橢圓繞月軌道上需要服從開普勒第一定律、為節省燃油軌道面過預定著陸點、選定典型極地軌道，三個條件決定著陸準備軌道和月球19.51W經線圈位于同一平面。

（2）著陸階段水平位移確定：軟著陸6大階段中主減速階段（月面上空15km至3km）的水平位移占據總水平位移中的絕大部分，其余5大階段多產生豎向位移或歷時較短，所以僅需要考慮主減速階段的水平位移；在設定飛行器初末俯仰角后，不斷增大俯角，并以滿推力7500N制動。

（3）主減速階段推力控制策略：因比沖衡定，飛行器推力越大從而消耗燃油越快；為使得嫦娥三號減少制動耗能，應在高空盡可能多地使用燃油抵消機械能；進而在主減速階段可以采用噴射器滿推力7500N工作的控制策略。

（4）坐標反推：在計算主減速階段水平位移后，依據主減速階段平均高度（距離月心）折算維度變化，參考預定著陸點坐標得到近月點坐標。

3.模型假設

（1）在嫦娥三號動力下降過程中，忽略地球及其他引力對嫦娥三號的影響，只考慮月球對于飛行器的影響作用。

（2）因月球自轉速度相對緩慢，可忽略自轉影響與科里奧利力影響。

（3）考慮燃料的消耗對于嫦娥三號的質量的影響。

（4）因為月球的扁率僅為1/963.725=0.00308，所以可以將月球簡化為球體。

（5）月球表面沒有大氣層，幾乎無空氣阻力，嫦娥三號機械能守恒。

（6）在0.1s內，嫦娥三號的速度，加速度的大小和方向以及質量保持不變。

4.模型建立

4.1建立動坐標系

坐標系X軸以嫦娥三號進入主減速階段為起始點，距離月球表面15km的圓軌道的切向方向為坐標軸原點，以起始點沿月球徑向遠離球心的方向Y軸的正方向。即坐標原點與嫦娥三號在同一月球半徑上。

4.2力學模型與運動模型

嫦娥三號在運動過程中受到月球的引力與重力成正比，月球的引力指向月球圓心，分析嫦娥三號的運動狀態，在橢圓的任一點處，嫦娥三號受到的月球引力均為F；第t時刻，飛行器的水平速度的大小為Vxt，豎直方向的速度大小為Vyt：

一方面，嫦娥三號在極地橢圓軌道的平面內做曲線運動，滿足法向力的平衡：引力、慣性力、重力合力為零， 另一方面，嫦娥三號在曲線運動時切向滿足牛頓第二定律。

質量變化由燃油損耗引起，由于比沖恒定等于2940m/s，所以單位時間消耗的燃料數量恒定，為2.55kg/s。

嫦娥三號主減速階段的邊界條件已知：高度由15公里降至3公里，初速度為1.695km/s，方向為水平（即橢圓軌道近月點處切向）。

4.3水平位移的計算

為了保證主減速階段的要求，需要滿足以下邊界條件：主減速階段初末速度分別為1.7km/s與57m/s，初末高度分別為15km與3km；主減速階段的主要任務是減速，故飛行器噴射器應在降落過程中基本與速度方向相反；為避免因控制誤差而導致飛行器逃逸，取初始俯角5°，末俯角30°（后階段控制策略最優化要求），滿推力7500N工作，取時間的步長為0.1s ，建立角度均勻變化模型，使用MATLAB程序對每一個時間節點的角度值進行擬合，經解得：嫦娥三號經過的水平距離為389km，此時的水平速度45.32m/s，豎直方向速度34.21m/s。

4.4近月點位置的確定

所以近月點可以是距離著陸點上空15km，水平距離為389km的圓上的任一點。月面上空8km（主減速階段平均高度）高度19.51°W經線圈的半徑為1743.8km，所以緯度上每變化一度，變化的距離約為每度30.43公里，由水平位移為389km可得，角度變化為12.75°

所以降落圈的最南端為C（19.41°W，31.37°N），最北端為D（19.41°W，56.87°N）。

選擇由南向北的典型極地繞月軌道，近月點位置即可確定：（19.41°W，31.37°N），月面上空15km處，即可進入主減速階段。

4.5遠月點位置及近遠月點速度

遠月點由月面坐標的中心對稱可得，為（340.59°E，31.37°N）；由于月球球心處于橢圓軌道的一個焦點上，近、遠月點的速度可由角動量守恒、機械能守恒兩大定律聯合解得：近月點速度為1.695km/s，遠月點速度為1.617km/s。

在求得近、遠月點位置與速度后，若要模擬實際著落點，應以此計算結果為初始條件，分主減速、快速調整、粗避障、細避障等6階段進行計算。

5.誤差分析

5.1月球自轉影響

月球自轉的角速度為：1.525（單位為度/秒，自轉周期取27天7時43分）。

在大約750s的軟著陸過程中，月球自轉經過的角度為0.11°；由月球自轉方向自西向東，故近月點應向東修正0.11°。

5.2科氏力影響

科氏力作用下飛行器偏向223m，折算為經度偏差即0.01°，方向與自轉相反。

所以近月點坐標修正為：（19.31°W，31.37°N）。

6.模型推廣

此模型考慮在著陸過程中，飛行器在變質量的情況下制動的控制策略，可應用于一般的飛行器著陸控制問題；近月點計算模型可適用于一般的著陸準備軌道選取。 [科]

【參考文獻】

[1]張洪華，關軼峰，黃翔宇.嫦娥三號著陸器動力下降的制導導航與控制.

[2]果殼網，http：//www.guokr.com/link/120088/？basket_id=14654，月球經緯度是怎么確定.