利用解析幾何知識解決創意平板折疊桌問題

劉和剛等

摘 要 本文研究創意平板折疊桌優化設計問題， 利用Matlab計算出木條拼接的平板桌的每根木條的傾斜角，開槽長度，擬合出桌腳邊緣線，并進行定量分析，再利用幾何模型，找出木條的傾斜角，開槽長度，木條長度之間的關系，逐步建立折疊桌的最優化設計模型.得到的結果最里側木條的傾斜角最大為111.15850，最里側木條的開槽長度也是最大，為17.8728 cm。最后利用主成分分析降維的方法得出平板桌的桌腳點不僅落在一個平面上，還在一條光滑的二次曲線上。

關鍵詞 傾斜角 開槽長度 幾何模型 主成份分析

一、研究背景

為達到節省空間、結構穩定、造型美觀的設計理念，某公司準備生產一種可折疊的桌子。桌子外形由直紋曲面構成，桌面呈圓形，桌腿隨著鉸鏈的活動可以平攤成一張平板。兩組桌腿由若干根木條組成，每組各用一根兩端分別固定在桌腿各組最外側的兩根木條上的鋼筋將木條連接，為保證滑動的自由度，沿木條有空槽。

給定長方形平板尺寸為120cm？0cm？cm，每根木條寬2.5cm，若要求連接桌腿木條的鋼筋固定在桌腿最外側木條的中心位置，折疊后桌面距離地面53cm。如何折疊桌的動態變化過程，依此給出此折疊桌的設計加工參數和桌腳邊緣線的數學描述是本文的研究課題。

二、研究方案

首先以折疊桌平板狀態下利用幾何畫板建立直角坐標系，從而求得桌腿各木條的長度。當然，我們只需研究一組桌腳即可，甚至通過分析可知一組桌腳本身具有對稱性，故我們所求桌腳各木條的長度以折疊桌所有桌腳木條的四分之一為代表。在確定桌腿木條開槽的長度時，簡化三維空間計算的復雜性，將其分成各個子模塊：最外側木條與其余所研究的每根木條所在平面，利用初等幾何法確定出設計加工參數。在此基礎上，求出相關數據，通過Matlab軟件擬合這些數據，確定出桌腳邊緣線。并在Matlab軟件上進行編程模擬出折疊桌的動態變化過程。

三、研究過程

第一步：以圓桌的圓心為原點，建立平面直角坐標系，將圓的半徑等分為10份，作為分割木條的標準，第一根木條與圓的交點為%Z0，%Z1，，第二根木條與圓的交點為%Z1，%Z2，依次，第十根木條與圓的交點為%Z9，%Z10，，為使數據更精確，故取相鄰兩交點的縱坐標的平均值為木條切口，di為各木條切口到X軸的距離。從而求出我們所需要的代表性十根木條的長度Li：

x%Zi2+y%Zi2=R2（i=0，1，2，…，10），（R==25cm）di=

第二步：根據前面所得的di，以最外側木條與其余所研究的每根木條i=0，1，2，…，10所在平面建立子模塊。通過比較bi與GC的大小，可以判斷木條相對于XOZ平面而言是往外側靠還是往里側靠，如果biGC，木條往里側靠。并且可以求出開槽長度hi（i=0，1，2，…，10）。利用投影，推出公式：GC+OA=G2C2+O`A2，且AG=，H為桌子的高度。由于AF、AP1可以先由已知條件容易計算出，則

sin∠ACG=，GC=ACtan∠ACG，G2C2=GC+OA-O`A2

tan∠A2C2G2=，A2C2=

∠ACG和∠A2C2G2分別對應第一、二根木條與地面的傾斜角度，這樣，可以由上述公式求出第一、二根木條的傾斜角，其他木條的傾斜角也可類似求得，開槽長度的具體計算如下：b=di+1-d1，JD=Li-L1/2，時，CD=

i=3，4，…，10時，CD=

無論木條往外側靠還是往里側靠，CD都可以表示為

于是給出各木條的開槽長度h2的表達式：

hi=JC=CD-JD=-（Li-L1/2）（i=3，4，…，10）

第三步：根據第二步中的幾何關系，可以求得點的空間坐標：xP2=xP1-2.5=22.5

xP2=d2+MP1=，

ZP2=-3-DM=-3-

依次可以求其他點的空間坐標：xp1=xp1-2.5（i-1）

根據所求Pi空間坐標數據和以上公式，利用Matlab軟件進行了編程，求出了傾斜角度、開槽長度和桌腳邊緣點的坐標，模擬出折疊桌的動態變化過程。

四、研究結果

利用上述公式，用matlab軟件分別計算出各種相關數據，限于篇幅，表略。

（1）從計算結果看出，從第三根木條開始往里側靠，木條的開槽長度從外到內依次變大，因此最里側木條的開槽長度最大。

（2）利用Matlab擬合出桌腳邊緣線的曲線，由于上述只對第V卦限進行研究，從視圖上初步觀測，該空間曲線比較平緩，于是利用主成分法通過降維，判斷空間的三維點列是否會降到二維平面。

當p較大時，在p維空間中考察問題比較麻煩。為了克服這一困難，就需要進行降維處理，即用較少的幾個綜合指標代替原來較多的變量指標，而且使這些較少的綜合指標既能盡量多地反映原來較多變量指標所反映的信息，同時它們之間又是彼此獨立的。

利用主成分分析結果：將桌腳點的三維坐標X，Y，Z上的點作為樣本點，共20組，調用Matlab中的函數princomp進行主成分分析，計算協方差的三個特征值為218.7500，44.1224，2.0003。則第一和二主成分累計貢獻率為99.24%，因此我們完全相信，桌腳點在一個平面上。

參考文獻：

[1]林佳欣，聶桂平.基于TRIZ理論的折疊家具設計研究[M].2014年9月14日.

[2]姜啟源，數學模型（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2003

（作者單位：江漢大學數計學院）