工程建設與財政平衡決策問題的優化分析

劉寒冰LIU Han-bing；段兆凡DUAN Zhao-fan；張宇軒ZHANG Yu-xuan；陳宇軒CHEN Yu-xuan；張書源ZHANG Shu-yuan

（山東科技大學，濟南 250000）

0 引言

近年來，隨著大數據技術的急劇發展，數學建模逐漸應用到工程建設等領域，并發揮著舉足輕重的作用，其不僅克服了傳統數據分析與手工建模的低效率弊端，還在一定程度上引用各種優化算法使得相關工程建設更加高效，達到多層級優化的作用。胡運權[1]在其著作中總結了運籌學建模的多種方法，通過多種實際樣例論述了運籌學在社會生產方面的重要性；梁爽[2]結合已知數學模型，通過Lingdo、Mathematical等計算機軟件對相關問題進行求解并分析；王莎娜[3]針對洛陽豫西北地區水資源規劃配置問題，運用Matlab的線性規劃算法對該地區水資源進行了合理劃分；陳士成[4]等人通過分析Excel的內置規劃求解方法，論證了該求解方法的簡潔性和實用性。該工程建設與財政平衡問題模擬了現實中市政可能會遇到的各種情況，并基于運籌學建立相關模型，利用Microsoft Excel中的規劃求解功能進行特殊的單純形法求解，以實現決策方的滿意解。

1 規劃求解方法概述

“規劃求解”是Excel中的一個功能組件，求解方法包括非線性GRG求解、單純線性規劃求解和演化求解。借助該功能可求得工作表中某個單元格（或稱為目標單元格）中表達式的最優值，其中表達式指的是單元格中的一系列值、單元格引用、名稱或運算符的組合，可通過更改可變單元格生成新值，每個表達式總是以“=”開始。通過應用“規劃求解”功能模塊，決策者可以在目標單元格以及其余相關單元格得到詳細的信息分析數據，最終結果將呈現于目標單元格中。

在運籌學中線性規劃方法作為重要分支，其理論優化也是現代運籌學的主要核心內容，是量化分析的主要方式，對于基于一定約束條件下的決策者而言，通過對管理系統有限資源統籌規劃就可為其提出最優選方法，從而達到最佳效益與經濟性，所以，在企業產銷、科研等管理過程中，把線性規劃方法運用于其中，就形成了現代管理的主要手法。求解模板的制作主要解決四方面的問題：①在Word或其他軟件中創建新文件，然后將規劃模型的數據與數據分析簡潔明了地呈現在該界面，以便下一步進行整理與調用；②合理規劃模型數據參數的輸入輸出位置，一般可將參數分為絕對約束區、條件約束區、優先因子分流區、最優解輸出區、最優值輸出區、偏差變量輸出區和文字注釋區；③將模型相關數據輸入對應的區域，并在模型中建立各個數據的映射關系，然后在規劃求解功能模塊構建約束關系，并且規定求解要求與方案；④在各個輸出區顯示迭代后的決策結果，如有需要可以選擇輸出“運算結果報告”、“敏感性報告”和“極限值報告”，從而使決策者更加直觀的查閱底層數據。

2 問題描述

A市政府為完善基礎設施建設，在3年內要進行以下5項工程的建設，其按重要性排序的工程項目及造價詳見表1。

表1 市政工程項目及造價

A市政府的財政收入主要來自國有資產經營收益、行政性收費和規費收入。除了市政府的常規收入外，社會貸款和政府債券也是影響財政決策的因素。其中符號e表示市政府常規收入的三個部分，下標分別為1，2，3。而社會貸款也存在固定的上限值U，下標分別為11，12，13，其對應每年的利率為g。政府債券發行的上限值也為U，其下標分別為21，22，23。社會貸款一般在每年年初交付，還貸最長限制時間為1年，而每年期的政府債券在第二年會以r%的利率交付金額給持券人。A市政府為達到相關目標，應怎樣合理規劃這幾年的投資方案。

3 設計與分析

設x1t為社會貸款額，x2t為政府債券發行量，yit為工程完工程度，也可以理解為投資比率，詳見表2。

表2 各款項及完工率按年分配情況

為了滿足財政平衡及其余相關平衡，我們將z0作為首年的平衡變量，接下來三年末所對應的平衡變量為z，下標分別對應各自的年份。

相關數據如圖1所示。

圖1 各常量數值

3.1 貸款平衡約束（3個約束）

①設x1t為社會貸款額；

②變量都有上界限制的，把這些有上界約束的變量寫成目標形式，其中只須引進負偏差變量njt

（其余展開式不再一一列出）

3.2 債券平衡約束（3個約束）

3.3 各項目每年完工率平衡約束（15個約束）

yit為工程完工程度，也可以理解為投資比率。

3.4 完工率平衡約束（5個約束）

3.5 三年財政平衡約束（3個約束，省略第一年初的平衡約束）

①我們將z0作為首年的平衡變量，接下來三年末所對應的平衡變量為z，下標分別對應各自的年份。②每年的平衡式實際上是個硬約束，是不包括偏差變量的，這在相關問題目標中也有所體現，所以我們將si作為松弛變量引入平衡式使等式平衡。③s4+k是負偏差變量，也可以當做松弛變量，d+5+k是正偏差變量，z0是首年年初的可使用財政金額，當z0的值為0時，“z0-s4=0”這條約束可忽略，故我們在配置平衡式時不將該式列入模型。zk是第k年年末所剩余的財政金額，該相應金額在第二年年初還可以繼續使用，該條涉及到的所有變量值都是非負的。

3.6 三年中每年的財政平衡約束條件（3個約束）

根據財政平衡的意義，可以列出3年中每年的財政平衡約束條件，即

（此年社會貸款）+（此年政府債券發行量）+（此年政府財政收入）-（此年每項工程接納的撥款）-（此年還貸數額）-（此年還債支出）-（此年還貸產生的利息）-（此年還債產生的利息）+（初始平衡）-（最終平衡）=0。

將e移到等號右邊之后并展開得

把常量代入后得

3.7 目標函數（共六級）

①為首先保證各年財政平衡，將硬約束設為1級目標，從而使相關約束條件的松弛變量的和為最小（P1）；

②希望通過社會貸款與政府債券發行的方式來解決此工程資金短缺的問題（P2）；

③按重點順序加權，保證工程項目1，2優先完成；

④按重點順序加權，盡力趕工工程項目1，2，3；

⑤盡量在3年內完成所有項目的建設；

⑥最小化每一年的政府財政平衡變量。

3.8 完整模型

4 結果分析

①通過基礎模型構建，我們可以簡化出滿足Excel內置“規劃求解”方法的相關表達式，表達式以單元格為具體模塊展開式分布，最終映射在功能模塊的約束條目以及其他條目上。如圖2所示，在設置完對應選項之后就可以進行求解，求解部分結果如圖3所示——“規劃求解找到一解，可滿足所有的約束及最優狀況”。

圖2 Excel求解界面

圖3 規劃求解結果界面

經過多次迭代，新數據已經覆蓋至原單元格，表3為該問題最終生成的滿意解。

表3 迭代后的變量數據

②平衡表及優化分析。

表4為各年投資分布情況，圖4為三年內銀行貸款與發行債券條形圖，圖5為各年投資合計餅狀圖。

圖4 三年內銀行貸款與發行債券

圖5 各年投資合計

表4 各款項及完工率按年分配結果

工程需要資金總額3080萬元，3年可用資金2800萬元（e1+e2+e3），利息為（16.5+48.176+72.02541）萬元。資金缺口：3080-2800+16.5+48.176+72.02541=416.7014萬元。

可以根據實際情況任意選擇優先目標，在本問題中可以繼續調整優先目標的權系數來調整目標優先權重，可以

繼續放大P1優先級盡量使財政達到平衡。

5 總結

針對某市政府在處理工程建設與財政平衡的問題，本文通過引入目標規劃來處理多層級的優化，從而得到滿意解。求解過程應用Microsoft Excel，避免了MATLAB處理復雜目標規劃問題時出現的數據冗雜情況，使求解方案一目了然，最終通過代入模擬數據得到了該模型的滿意解，明顯在相關行業取得較優的決策。