水輪發(fā)電機(jī)組橫/軸有限元振動(dòng)分析

張雷克， 范宇宏， 張金劍， 馬震岳， 王雪妮

(1. 太原理工大學(xué) 水利科學(xué)與工程學(xué)院，太原 030024；2. 大連理工大學(xué) 建設(shè)工程學(xué)部 水利工程學(xué)院，遼寧 大連 116023)

水輪發(fā)電機(jī)組的安全穩(wěn)定運(yùn)行與水電站經(jīng)濟(jì)效益以及所在電力系統(tǒng)穩(wěn)定性密切相關(guān)。受水力、機(jī)械、電氣等荷載影響，機(jī)組在運(yùn)行過程中不可避免會(huì)產(chǎn)生振動(dòng)，由多振源引發(fā)的水輪發(fā)電機(jī)組軸系非線性振動(dòng)問題一直是本領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)與難點(diǎn)，在過去數(shù)十年間吸引國內(nèi)外諸多學(xué)者開展了持續(xù)且深入的研究，并取得了豐碩的成果[1-12]。

利用集總參數(shù)法對(duì)包括轉(zhuǎn)子、轉(zhuǎn)輪、轉(zhuǎn)軸及軸承在內(nèi)的旋轉(zhuǎn)部件予以簡化從而推導(dǎo)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程是創(chuàng)建水輪發(fā)電機(jī)組軸系振動(dòng)模型一種常見的手段。集總參數(shù)法原理簡單，但公式冗長且建模中存在較多簡化，不能完全反映軸系特征。相比之下，有限元法具有更高的計(jì)算精度和更廣的適用范圍。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，有限元法在機(jī)組建模與分析方面的優(yōu)勢逐步凸顯。榮吉利等[13-14]采用有限元法研究了水輪發(fā)電機(jī)組軸系非線性振動(dòng)特性，并著重討論了附加質(zhì)量效應(yīng)的影響。文獻(xiàn)[15-16]通過有限元方法，對(duì)機(jī)組進(jìn)行了數(shù)值模擬分析，得到了臨界頻率及振型的模態(tài)分析結(jié)果。Betting等[17]提出了考慮發(fā)電機(jī)電磁力和水輪機(jī)不平衡水力的廣義機(jī)組有限元模型，據(jù)此研究了系統(tǒng)固有頻率及穩(wěn)定性。肖黎等[18-21]所創(chuàng)建模型考慮因素更為全面，同時(shí)對(duì)細(xì)節(jié)的把控更為精細(xì)，故據(jù)此開展的機(jī)組軸系在多振源激勵(lì)下動(dòng)力學(xué)特性討論能夠較為全面地體現(xiàn)機(jī)組的運(yùn)轉(zhuǎn)特性，為大型水輪發(fā)電機(jī)組的振動(dòng)設(shè)計(jì)和減振研究提供了重要理論支持。

借助有限元法，國內(nèi)外學(xué)者在水輪發(fā)電機(jī)組軸系動(dòng)態(tài)特性分析領(lǐng)域取得了令人矚目的成就，不過需要指出的是，由于軸系橫向振動(dòng)問題突出，一直以來水電機(jī)組建模及相關(guān)動(dòng)態(tài)特性討論多圍繞平面運(yùn)動(dòng)開展。在建模時(shí)主要集中于平面單節(jié)點(diǎn)4自由度(2個(gè)橫向與2個(gè)扭轉(zhuǎn))，鮮有將軸向自由度納入整體研究范疇。相關(guān)研究表明[22]，由于機(jī)組在軸向受約束相對(duì)有限，故其在該方向即便因較小激振力影響，亦有可能產(chǎn)生較大振動(dòng)，進(jìn)而給機(jī)組帶來危害。文獻(xiàn)[23]研究結(jié)果表明，機(jī)組因軸向水推力和軸向電磁力等軸向激勵(lì)作用導(dǎo)致其軸向振動(dòng)十分明顯，應(yīng)與橫向和扭轉(zhuǎn)等方向振動(dòng)一樣得到足夠重視。此外，若將軸向與橫向及扭轉(zhuǎn)疊加在一起形成耦合效應(yīng)，勢必引起機(jī)組軸系產(chǎn)生不同的動(dòng)態(tài)特性，因此十分有必要開展相關(guān)研究。

鑒于此，本文以單節(jié)點(diǎn)4自由度Euler梁為基礎(chǔ)，通過引入軸向位移構(gòu)建了單節(jié)點(diǎn)5自由度水電機(jī)組軸系有限元模型。在此基礎(chǔ)上，利用Newmark-β和Newton-Raphson相結(jié)合方法分別討論了考慮軸向自由度與否，以及考慮軸向電磁力與否等不同情況系統(tǒng)橫向振動(dòng)特性的差異。本文研究內(nèi)容可為優(yōu)化水電機(jī)組軸系模型并為機(jī)組早期振動(dòng)控制提供參考。

1 水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型

1.1 轉(zhuǎn)子-軸承結(jié)構(gòu)

水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)主要包括發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子、主軸和上、下導(dǎo)軸承等，其三維立體圖如圖1(a)所示。

圖1(b)為轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型示意圖，軸系共包含12個(gè)節(jié)點(diǎn)，分為11個(gè)軸段。其中，轉(zhuǎn)子半徑為0.6 m，位于軸段6上，上、下導(dǎo)軸承分別位于軸段4和軸段8位置。

為便于分析系統(tǒng)，對(duì)模型假設(shè)為：

(1) 定子假設(shè)為剛體，僅考慮轉(zhuǎn)子振動(dòng)；

(2) 在應(yīng)變能計(jì)算中忽略剪切變形、橫向位移對(duì)拉壓變形能的影響。

此外，本文在模型構(gòu)建時(shí)不考慮推力軸承影響。其原因在于：如考慮推力軸承作用，一方面，須將推力軸承本體及軸向水推力荷載納入整體模型，從而增加建模的復(fù)雜性；另一方面，則不便于對(duì)考慮軸向自由度和軸向電磁力與否兩種情況下系統(tǒng)橫向振動(dòng)特性差異進(jìn)行辨識(shí)與分析。故本文在建模過程中忽略推力軸承作用。

對(duì)于機(jī)組各軸段，其兩端節(jié)點(diǎn)自由度包括

(1)

式中：xA，yA，xB，yB，θxA，θyA，θxB，θyB為梁單元各節(jié)點(diǎn)在x，y方向上的位移和轉(zhuǎn)角；zA，zB為梁單元各節(jié)點(diǎn)在z方向上的位移。

圖1 轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)示意圖Fig.1 Diagram of rotor-bearing system

1.2 軸向電磁力

軸向電磁力作為引起系統(tǒng)軸向振動(dòng)的關(guān)鍵外激勵(lì)之一，其選取適當(dāng)與否對(duì)于系統(tǒng)整體計(jì)算的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性具有十分重要的作用。目前，獲取軸向電磁力的數(shù)學(xué)表述大致包括三種方式：基于傳導(dǎo)紙模型、通過保角變換方法以及新的均方根方法。本文在此選用基于傳導(dǎo)紙模型獲得式(2)形式軸向電磁力[24]

(2)

(3)

式中： Δz為軸向氣隙偏心；δ為徑向氣隙長度。

1.3 水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)有限元模型

水輪發(fā)電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程為

(4)

式中：M，D，K分別為系統(tǒng)質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；F_rub為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子處碰摩力，其表達(dá)式詳見張雷克等的研究；F_ump為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子處考慮動(dòng)、靜偏心下UMP，其表達(dá)式詳見Zhang等的研究；M_ump為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子處電磁轉(zhuǎn)矩，其表達(dá)式詳見文獻(xiàn)[26]；Fz為發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子處軸向電磁力。考慮軸向位移的單節(jié)點(diǎn)5自由度單元平移質(zhì)量矩陣、轉(zhuǎn)動(dòng)質(zhì)量矩陣、陀螺力矩矩陣和剛度矩陣具體形式分別為

(5)

(6)

(7)

(8)

式中：l為單元長度；EI為抗彎剛度；μ為單位長度質(zhì)量；r為單元半徑。

本文采用瑞利阻尼建立系統(tǒng)阻尼矩陣，其形式為

C=αM+βK

(9)

其中，

式中：ξ1，ξ2為阻尼系數(shù)；ω1，ω2為轉(zhuǎn)子的一、二階臨界轉(zhuǎn)速。

2 數(shù)值計(jì)算分析

由于式(4)具有較強(qiáng)的非線性及非連續(xù)特性，故本文采用Newmark-β和Newton-Raphson相結(jié)合方法對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行求解。

計(jì)算所選用的主要參數(shù)如下：轉(zhuǎn)子質(zhì)量m1=1.44×105kg，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速ω=4 Hz，不平衡量的初始相位φ=0，轉(zhuǎn)子半徑R=0.6 m，轉(zhuǎn)子長度L=0.3 m，定轉(zhuǎn)子均勻氣隙δ0=2×10-3m，空氣磁導(dǎo)系數(shù)μ0=4×π×10-7H/m，發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子磁極對(duì)數(shù)p=12，內(nèi)功率角ψ=30.64 rad，氣隙基波磁動(dòng)勢系數(shù)kj=0.8，定子氣隙基波磁動(dòng)勢Fsm=19 210 A。

2.1 軸向自由度對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響

圖2為Ij=345 A、靜偏心δs=0.6×10-3m、動(dòng)偏心δd=0.7×10-3m，krub=4.74×109N/m時(shí)，是否考慮軸向自由度轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨質(zhì)量偏心變化的橫向運(yùn)動(dòng)軌跡圖。

從圖中可以看出，隨著e0的增加，轉(zhuǎn)子橫向位移呈遞增趨勢。不過，軸向自由度的加入對(duì)其運(yùn)動(dòng)軌跡形態(tài)及大小起到了明顯改變作用。當(dāng)e0=0.5×10-3m時(shí)，由于忽略軸向自由度的影響，如圖2(a)所示，其運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)為封閉不規(guī)則形狀，最大振幅為0.76；當(dāng)考慮軸向自由度后，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)形態(tài)為一規(guī)則封閉圓環(huán)，最大振幅為0.65。而在e0增至1.4×10-3m后，雖然在軸心軌跡形態(tài)方面幾乎相同，但考慮軸向自由度與不考慮軸向自由度其振幅存在明顯差異，相比于前者，因計(jì)及軸向自由度，轉(zhuǎn)子橫向振幅下降約15%。由此可見，軸向自由度的存在對(duì)抑制系統(tǒng)橫向振動(dòng)響應(yīng)具有一定作用，特別是在振幅較大時(shí)較為明顯。

注：ⅰ為不考慮軸向自由度；ⅱ為考慮軸向自由度。圖2 不同質(zhì)量偏心下系統(tǒng)響應(yīng)的軌跡圖Fig.2 Trajectory diagram of system response under different mass eccentricity

2.2 軸向電磁力對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)的影響

由2.1節(jié)分析可知，軸向自由度的加入對(duì)水電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性影響顯著。本節(jié)在2.1節(jié)分析基礎(chǔ)上，引入軸向電磁力激勵(lì)，進(jìn)一步討論其存在與否對(duì)系統(tǒng)橫振的影響。

圖3為當(dāng)Ij=345 A，Δz=2.0×10-3m，δd=0.7×10-3m，e0=0.30×10-3m，krub=4.79×109N/m時(shí)，是否考慮軸向電磁力轉(zhuǎn)子系統(tǒng)隨靜偏心變化的橫向運(yùn)動(dòng)軌跡圖。從圖3中可知，軸向電磁力的加入對(duì)轉(zhuǎn)子橫向運(yùn)動(dòng)軌跡起到了明顯改變作用。當(dāng)δs=0.56×10-3m時(shí)，由于忽略軸向電磁力的影響，如圖3(a)所示，其運(yùn)動(dòng)軌跡表現(xiàn)為一規(guī)則封閉圓環(huán)，最大振幅為0.42；當(dāng)考慮軸向電磁力后，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)形態(tài)為封閉不規(guī)則形狀，最大振幅為0.52。而在δs增至2.0×10-3m后，雖然在軸心軌跡形態(tài)方面二者幾乎相同，但考慮軸向電磁力與不考慮軸向電磁力其振幅存在明顯差異，相比于前者，考慮軸向電磁力，轉(zhuǎn)子橫向振幅上升約29%。造成該現(xiàn)象的原因在于機(jī)組軸向受約束相對(duì)較弱，軸向不平衡電磁力引起系統(tǒng)出現(xiàn)軸向振動(dòng)，并將其傳遞給發(fā)電機(jī)轉(zhuǎn)子形成橫/軸耦合振動(dòng)效應(yīng)，從而使機(jī)組轉(zhuǎn)子部位橫向振動(dòng)加大。

注：ⅰ為不考慮軸向電磁力；ⅱ為考慮軸向電磁力。圖3 不同靜偏心下系統(tǒng)響應(yīng)的軌跡圖Fig.3 Trajectory diagram of system response under different static eccentricity

由Zhang等的研究可知，動(dòng)偏心δd和靜偏心δs與徑向氣隙長度δ密切相關(guān)。從式(2)和式(3)可以看出δ是影響軸向電磁力大小的關(guān)鍵參數(shù)之一，換言之，動(dòng)、靜偏心的改變不僅會(huì)造成系統(tǒng)橫向UMP的變化，同時(shí)也會(huì)間接對(duì)軸向電磁力產(chǎn)生影響。因此，軸向電磁力和動(dòng)、靜偏心下的UMP存在復(fù)雜耦聯(lián)關(guān)系。當(dāng)δs增至某一程度后，由于動(dòng)、靜偏心下UMP和軸向電磁力的共同作用，造成轉(zhuǎn)子橫向振動(dòng)加大，所以考慮軸向電磁力后轉(zhuǎn)子橫向位移出現(xiàn)明顯增加。

3 結(jié) 論

針對(duì)機(jī)械和電磁故障引起的水輪發(fā)電機(jī)組軸系橫、軸向耦合振動(dòng)問題，本文以單節(jié)點(diǎn)4自由度Euler梁為基礎(chǔ)，將軸向位移納入軸系整體，推導(dǎo)并建立了單節(jié)點(diǎn)5自由度水電機(jī)組轉(zhuǎn)子-軸承有限元模型，利用Newmark-β和Newton-Raphson相結(jié)合方法分別研究了是否考慮軸向自由度和軸向電磁力下質(zhì)量偏心、靜偏心對(duì)系統(tǒng)橫向振動(dòng)特性的影響，主要結(jié)論如下：

(1) 軸向自由度的加入對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)軌跡形態(tài)及大小起到了明顯改變作用。同未考慮軸向自由度相比，轉(zhuǎn)子運(yùn)動(dòng)軌跡相對(duì)減小。軸向自由度對(duì)抑制系統(tǒng)振動(dòng)響應(yīng)具有一定作用，特別是在振幅較大時(shí)較為明顯。因此，從實(shí)際建模和改善系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)特性角度出發(fā)，應(yīng)充分考慮軸向自由度的影響。

(2) 軸向電磁力與動(dòng)、靜偏心下不平衡磁拉力形成電磁激勵(lì)耦聯(lián)效應(yīng)，二者共同作用明顯加大系統(tǒng)橫向運(yùn)動(dòng)振幅。因此，出于對(duì)故障診斷識(shí)別及更為全面洞悉系統(tǒng)振動(dòng)特性的需要，將軸向電磁激勵(lì)納入水電機(jī)組軸系整體建模范疇較為合理。