一類交叉耦合拋物型方程組解的爆破和整體存在性

吳春晨

(福州大學(xué)至誠學(xué)院計算機工程系,福建福州350002)

引理3 設(shè)u(x,t),z(x,t),w(x,t)滿足式(1),且

一類交叉耦合拋物型方程組解的爆破和整體存在性

吳春晨

(福州大學(xué)至誠學(xué)院計算機工程系,福建福州350002)

分析一類交叉耦合的半線性拋物型方程組解的性質(zhì),通過構(gòu)造上下解,討論解的整體存在性和爆破,計算出方程組解的爆破臨界指標(biāo)。

交叉耦合半線性拋物型方程組;上下解;爆破臨界指標(biāo)

文中研究半線性拋物型方程組

式中:vn+1=v1;Bi＞0;Mi＞-2為實數(shù);vi0(x)為定義在RN上的非負連續(xù)函數(shù)。

式(I)是對許多科學(xué)領(lǐng)域中出現(xiàn)問題的模型化。例如,滲流介質(zhì)中的氣體流模型,某些生物種群的增長模型。具有耦合形式的拋物型方程組解的性質(zhì)是近些年來許多學(xué)者都致力探討的問題[1-6]。Fijita[2]研究了一個方程的情形

并得到了很多有益的性質(zhì)。

戴求億[7]研究了2個方程的情況

在文獻[4-6]中,筆者已探討了一系列由3個方程構(gòu)成的關(guān)于擬線性拋物型方程組正解的整體存在與爆破性質(zhì),而在文中將進一步研究一類由n個方程構(gòu)成的半線性拋物方程組。通過構(gòu)造方程組的上下解,利用比較原理,運用類似文獻[7-8]中的證明方法,得到式(I)的解在有限時刻爆破的充分條件。

1 主要結(jié)論

記

其中(x1,…,xn)T為下列方程組的解:

文中的主要結(jié)果為下列兩個定理。

定理1 設(shè)vi0(x)≥0,且vi0(x)≠0 i=1,…,n,

2 定理的證明

文中只對3個方程的情形給予證明。一般情形的定理1和定理2的證明可用同樣的方法得出。

考慮Canuchy問題

式中:(x,t)∈RN×(0,T),x∈RN;B1,B2,B3＞0; m,n,h＞-2為實數(shù),u0(x),z0(x),w0(x)為定義在RN上的非負連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)3個方程的情況下,有

此時文中的主要結(jié)果可表述為:

先引入一個引理。

對于以下初值問題

其中N≥1,b＞0,d＞0。

類似于文獻[7]可證下列3個引理。

引理2 設(shè)u(x,t),z(x,t),w(x,t)滿足式(1),則有:

其中,G為熱算子的基本解:

引理3 設(shè)u(x,t),z(x,t),w(x,t)滿足式(1),且

則存在常數(shù)C,時間t1使得:

其中,x∈RN。

定理1的證明 設(shè)式(1)具有整體解,則由引理3可知,通過一個時間軸的平移變換,使得

其中,設(shè)u0(x),z0(x),w0(x)充分大,選取有界區(qū)域Ω?RN。

考察初值問題:

由比較原理可知:

又由文獻[9]的結(jié)果可知,當(dāng)u0(x),z0(x),w0(x)充分大時,U(x,t),Z(x,t),W(x,t)必在有限時間內(nèi)爆破。因此,由式(3)可知,u(x,t),z(x,t),w(x, t)必在有限時間內(nèi)爆破。

定理1證畢。

定理2的證明 有關(guān)爆破結(jié)論的證明與定理1的相同(詳略)。下面給出解的整體存在性的證明。為此,尋找式(1)具有如下形式的上解:

要使式(5)成立,只須使

選取α1,α2,α3使得:

即

定理2證畢。

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(責(zé)任編輯:邢寶妹)

Blow-Up and G lobal Existence of Solutions for a Certain Parabolic System w ith Cross-Coup ling

WU Chunchen
(Department of Computer Engineering,Fuzhou University Zhicheng College,Fuzhou 350002,China)

The solutions to the problems of a class of Semilinear parabolic equationswith cross-coupling are studied.By constructing the upper-lower solutions,we discuss the global exsistence and the blastibility of the solutions and the critical exponents are evaluated.

semilinear parabolic system with cross-coupling,upper-lower solutions,critical exponents

O 175.2

A

1671-7147(2015)03-0370-04

2014-11-05;

2015-01-03。

福建省自然科學(xué)基金項目(Z0511015);福建省教育廳A類科技項目(JA12374)。

吳春晨(1978—),女,福建福清人,副教授。主要從事偏微分方程研究。Email:wuchunchen@fzu.edu.cn