基于拉格朗日乘數法的輪對外形輪廓擬合方法*

王曉浩邢宗義蘇釗頤李兆新高旭東

（1.南京理工大學機械工程學院，210094，南京；2.南京理工大學自動化學院，210094，南京；

3.廣州市地下鐵道總公司，510308，廣州∥第一作者，碩士研究生）

基于拉格朗日乘數法的輪對外形輪廓擬合方法*

王曉浩1邢宗義2蘇釗頤3李兆新3高旭東1

（1.南京理工大學機械工程學院，210094，南京；2.南京理工大學自動化學院，210094，南京；

3.廣州市地下鐵道總公司，510308，廣州∥第一作者，碩士研究生）

為實現輪對外形輪廓線的準確提取，提出了一種基于拉格朗日乘數法的輪對外形輪廓線擬合方法。首先將2D激光位移傳感器獲得的數據點進行區段劃分，然后分別確定每個區段數據點的最小二乘擬合方程，最后根據擬合方程建立最小二乘回歸模型，以分段點存在三階連續導數作為約束條件構建拉格朗日函數，采用拉格朗日乘數法求解獲得擬合方程參數。采用現場實測數據進行了輪對外形輪廓線擬合，結果表明擬合的輪廓線在分段點處光滑連續，與實際數據點的最大偏移幅度小于0.1%，滿足了外形輪廓線擬合精度要求，可用于輪對磨耗及尺寸參數的精確計算。

軌道交通車輛；輪對外形輪廓；分段曲線擬合；拉格朗日乘數法

First-author's address School of Mechanical Engineering，Nanjing University of Science and Technology，210094，Nanjing，China

列車在軌道上運行時，列車輪對會逐漸產生磨耗，從而造成輪對尺寸參數的變化。這將影響列車運行的平穩性與安全性，也將對旅客乘坐舒適度造成影響。當輪對磨耗率超過一定限度時，甚至會引起脫軌等行車安全事故［1-2］。磨耗量可以通過實際測量的輪對外形輪廓線與該型號標準外形輪廓線的差值進行計算，因此準確提取輪對外形輪廓線對輪對磨耗與尺寸參數獲取具有重要作用。

實際工程中可通過激光CCD（圖像傳感器）［3］或激光測距［4］獲取以離散數據點表達的輪對外形輪廓線。為了準確描述輪對外形輪廓線，可將測得的輪對踏面及輪緣外形的離散數據點擬合成曲線。由于輪對外形輪廓的復雜性，難以用一種曲線來擬合，故一般采用分段曲線擬合的方法［5］。眾多學者針對分段曲線擬合做了大量的研究：文獻［6］采用一種基于插值模型的最小二乘曲線擬合方法，得到了實測變形數據無突變和波動較小的分段擬合曲線；文獻［7］提出了一種基于全局多目標規劃模型的最小二乘曲線擬合方法，得到了無限逼近實測點的多項式擬合曲線；文獻［8］采用一種基于最小二乘法的分段三次曲線擬合方法，得到了數據點自適應分段的多項式擬合曲線；文獻［9］采用最小二乘迭代法，將離散數據擬合成圓弧和直線，所得結果能方便工程應用。

傳統的全局曲線擬合沒有考慮由高次多項式帶來的附加振蕩和分段點處的平滑性，或只是簡單的采用插值法進行分段曲線擬合，降低了曲線擬合的精度，故本文提出一種基于拉格朗日乘數法的分段曲線擬合方法，實現了輪對外形輪廓線的精確擬合。首先，根據實測數據點提取出踏面內端面橫坐標，并對實測數據進行區段劃分；然后，分別確定每個區段數據點的最小二乘擬合方程；最后，根據擬合方程建立最小二乘回歸模型，以分段點存在三階連續導數作為約束條件構建拉格朗日函數，采用拉格朗日乘數法求解獲得擬合方程參數，從而獲得在全局上平滑連續的輪對外形輪廓線，為提高輪對磨耗及輪對尺寸參數的計算精度奠定基礎。

1　車輪外形探測原理及裝置

1.1車輪外形與踏面磨耗

列車車輪截面的示意圖如圖1所示。在檢修車輪時，主要通過測量車輪外形參數來判斷車輪的磨

耗程度。而車輪外形參數包括車輪直徑、輪緣厚度、踏面磨耗和垂直磨耗等，其中以輪緣厚度、踏面磨耗最為關鍵。為了及時掌握輪緣厚、踏面磨耗的變化情況，需對車輪外形輪廓進行檢測并準確擬合出車輪外形輪廓線。

圖1　車輪截面示意圖

1.2系統結構

車輪外形輪廓檢測裝置包括四組2D激光位移傳感器、車號識別器、磁鋼、工控機等，其組成如圖2所示［11］。同側軌道的兩組2D激光位移傳感器以一定的幾何關系鏡面對稱安裝于軌道兩側，每個2D激光位移傳感器與軌道的相對距離L1=L2且均為100～450 mm，兩組傳感器的激光探測面處于同一平面并使得整體裝置低于軌面，每個傳感器與垂線的夾角β1=β2=45°。其安裝示意圖如圖3所示。

2　輪廓線擬合算法原理介紹

輪對外形輪廓線擬合算法流程圖如圖4所示。算法主要包括兩部分內容：一是通過對傳感器輸出數據預處理，將有效數據點變換融合到同一直角坐標系中；二是通過數據點分段和最小二乘擬合來構建拉格朗日函數，并采用拉格朗日乘數法對函數進行求解，得到擬合方程中系數的最小二乘解，從而獲取在全局上平滑連續的輪對外形輪廓線。

圖2　車輪外形檢測系統組成

圖3　2D激光位移傳感器安裝示意圖

圖4　輪對外形輪廓線擬合算法流程圖

2.1 數據預處理

2.1.1數據的坐標變換及融合

傳感器同時探測車輪得到探測點坐標，并通過坐標變換和坐標平移將兩組傳感器的輸出點融合到同一坐標系上。對軌道外側2D激光位移傳感器輸出的二維坐標值根據以下公式進行坐標變換：

u1，n=x1，ncosβ1+y1，nsinβ1ν1，n=y1，ncosβ1-x1，nsinβ1

對軌道內側2D激光位移傳感器輸出的二維坐標值根據以下公式進行坐標變換：u2，n=x2，ncosβ2-y2，nsinβ2ν2，n=y2，ncosβ2+x2，nsinβ2

式中：

（x1，n，y1，n），（x2，n，y2，n）——兩組傳感器探測得到原始坐標系內一點的坐標值；

β1、β2——傳感器與縱向豎直線的夾角；

（u1，n，ν1，n），（u2，n，ν2，n）——原始坐標經變換后得到的坐標值。

如（a，b）為外側傳感器的原始坐標原點在內側傳感器變換后的坐標系中的坐標值。則可根據以下公式，將坐標變換后的兩組數據進行融合：

u0，n=u1，n+a u0，n=u2，nν0，n=ν1，n+b ν0，n=ν2，n

2.1.2濾除數據干擾點

因傳感器自身因素或環境因素等，傳感器探測點中存在一定的干擾點，為了提高輪緣尺寸的計算精度應進行干擾點濾除處理。主要通過獲取踏面右端面的橫坐標值，并以此建立濾窗對測量數據進行干擾點的去除處理。

在輸出點變換融合后的數據點中提取出滿足式（1）的點：

式（1）中xi為變換后坐標點的橫坐標，對滿足條件的橫坐標值求平均作為踏面右端面的橫坐標X。根據X的值建立（X-135，X+5）的一個濾窗，濾除橫坐標不在該范圍內的點，從而得到踏面有效數據點。

2.2曲線擬合

數據預處理之后的踏面有效數據是以離散點形式保存，為了提高輪緣高、輪緣厚的計算需對離散點進行曲線擬合，重構出輪對外形輪廓線。

2.2.1數據分段

城軌列車輪對踏面的標準曲線的每一段曲線都是由直線和圓弧組成，也就是說可以把標準曲線分成幾段，每段曲線用指定函數進行擬合［12］。

設數據預處理后得到的數據點坐標為（xi，yi），i=1，2，…，n，將數據點分為K組S1，S2，…，SK，即

（x11，y11），（x12，y12），…，（x1N1，y1N1）∈S1

（x21，y21），（x22，y22），…，（x2N2，y2N2）∈S2

?

（xK1，yK1），（xK2，yK2），…，（xKNK，yKNK）∈SK其中，Nk（k=1，2，…，K）是區間Sk的數據點個數，則：

設每個區間分段點的橫坐標為xo1，xo2，…，xo（K-1），則第k個區間的數據點橫坐標滿足關系式：

2.2.2確定分段擬合方程

根據每個分段區間上的數據點，確定K個數集上的擬合方程F（x），擬合方程一般可選為多項式形式，因為，在一定范圍內，連續函數可用多項式任意逼近。則設F（x）的形式為：

式中：

a——待定系數；

f（x）——線性無關的基函數｛1，x，x2，…，xn｝；mk——該分段區間上基函數的個數。

2.2.3分段曲線全局連續化處理

應用數據點的誤差最小二乘法進行最佳擬合是一種常用方法。本文采用最小二乘模型擬合分段曲線。令S為最小二乘估計量，則使總體擬合誤差最小且在分段點處有三階導數的最小二乘回歸模型為：

為保證曲線在各分段點xok處，Fk-1（x）過渡到Fk（x）時曲線連續，需要前后兩段曲線在xok處的函數值相等，即要加入端點約束條件：

Fk-1（xok）=Fk（xok）（4a）

同時，為保證曲線在xok處，Fk-1（x）過渡到Fk（x）時曲線平滑，且考慮使擬合曲線有較好的幾何分析性能，要求前后兩段曲線在xok處的三階導數連續，即加入端點約束條件：

F′k-1（xok）=F′k（xok）（4b）

F″k-1（xok）=F″k（xok）（4c）

F?k-1（xok）=F?k（xok）（4d）

2.2.4數學模型的求解

該數學模型是求帶有約束條件的最小二乘模型的極值問題，本文采用拉格朗日乘數法，將條件極值問題轉化為無條件極值問題來求解［13］。

由上述的四個約束條件，設有如下方程：

Hk1=Fk-1（xok）-Fk（xok）=0（5a）

Hk2=F′k-1（xok）-F′k（xok）=0 （5b）

Hk3=F″k-1（xok）-F″k（xok）=0 （5c）

Hk4=F?k-1（xok）-F?k（xok）=0（5d）引入拉格朗日乘子λ，并根據（5）式構建出拉格朗日函數為：Lk（a，λ）=L k（a k1，a k2，…，a km k，λk1，λk2，λk3，λk4）=

Fk+λk1Hk1+λk2Hk2+λk3Hk3+λk4Hk4（6）

由多元函數求極值的必要條件，Lk（a，λ）分別對擬合函數中的未知系數a和約束條件未知系數λ求偏導得：

解齊次方程組（7）即可得待定系數a的解。

3　實例分析

在某地鐵車輛段安裝實際檢測系統進行試驗，列車以3 km/h的速度通過檢測系統，將傳感器的輸出數據根據上述的輪對外形輪廓線擬合算法進行求解。

3.1初始數據的坐標變換及融合

兩組2D激光位移傳感器與軌道成45°角安裝于軌道兩側，則β1、β2為45°，并對經過車輪的踏面進行探測，則探測得到的數據點坐標值按下式進行坐標變換：

u1，n=x1，ncos 45°+y1，nsin 45°

u2，n=x2，ncos 45°-y2，nsin 45°

ν1，n=y1，ncos 45°-x1，nsin 45°

ν2，n=y2，ncos 45°+x2，nsin 45°

3.2濾除干擾點

圖5　輪對外形輪廓線的有效數據點

3.3數據分段

根據濾除干擾點得到踏面右端面橫坐標值X，將踏面有效數據點按（X-130，X-100），［X-100，X-60），［X-60，X-46），［X-46，X-25），［X-25，X-6），［X-6，X）這6個數集分段并將踏面有效數據點分配到相對應的區間中，由此分段點xok的橫坐標為100、60、46、25、6。

3.4求解擬合曲線方程

根據上述的分段情況，采用四階擬合曲線確定該6個數集上的擬合方程：

根據最小二乘原理，使得總體擬合誤差最小且在分段點上連續的6分段的最小二乘回歸模型為：

s.t.F1（xok）=F2（xok）（10a）

F′k-1（xok）=F′k（xok）（10b）

F″k-1（xok）=F″k（xok）（10c）

F?k-1（xok）=F?k（xok）（10d）

在式（10）中，k=2，3，…，6。最后，根據拉格朗日乘數法要求建立拉格朗日函數L（a，λ），并由多元函數求極值的必要條件，令L（a，λ）分別對擬合函數中的未知系數a和約束條件未知系數λ求偏導，且令其結果為零建立方程組。利用MATLAB編程［14］求解該方程組，解得系數a如表1所示。

將系數a代入式（8），得到擬合的輪對外形輪廓線如圖6所示。

圖6　擬合的輪對外形輪廓線

由圖6可見，踏面與輪緣連接處的曲線平滑性較差，可能由以下兩種原因造成：一是輪對由于磨耗而造成外形實際輪廓如此；二是由于踏面與輪緣連接處的探測數據點缺失而造成曲線不平滑。現將曲線擬合值與實際測量值進行比較，得到曲線擬合前后法向誤差如圖7所示。

由圖7可見，踏面段的擬合偏差較小，在±0.1 mm內，輪緣處的擬合偏差較大，在±0.4mm內，取輪緣處的擬合數據進行分析，分析結果如表2所示。可見，原測量值點（x，y）與經本文算法擬合后曲線上對應的點（x，y′）比較，兩者之間最大誤差R值不超過±0.39mm，偏移幅度A（A=R/100%）［15］小于0.096%，車輪輪緣厚及輪緣高一般為30mm左右，則擬合的偏移幅度對輪緣尺寸的誤差影響為：30mm×0.096%=0.0288mm。

圖7　曲線擬合前后法向誤差

該誤差值對輪對尺寸的檢測精度無影響，表明該輪對外形輪廓線擬合方法能滿足現場實際測量。

表2　原測量值與曲線擬合值比較

4　結語

本文提出了一種基于拉格朗日乘數法的輪對外形輪廓線擬合方法，實現了對外形輪廓線的準確提取。通過現場實際采集數據的求解分析，得出該方法能有效擬合出輪對外形輪廓線，且擬合輪廓線的值與實際數據點的最大偏移幅度不超過0.1%，證明了經過連續和平滑處理后的曲線基本達到了整體的連續性和較高階的光滑性，為后續的幾何分析奠定了基礎。

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Fitting Method for Wheel Contour Line Based on Lagrange Multiplier

Wang Xiaohao，Xing Zongyi，Su Zhaoyi，Li Zhaoxin，Gao Xudong

In order to achieve the accurate extraction of wheel contour line，Lagrange multiplier method is proposed to fit wheel contour line.Firstly，the data points measured by the 2D laser sensor are divided into several sections；then the least-squares fitting equations are established according to the data points of each section.Finally，a leastsquares regression model is built according to the fitting equation.By taking the break points of the third-order continuous derivative into account，the Lagrange multiplier method is applied to derive the least-squares solution.The model of actual data is soled and the result shows that the curve is smooth and continuous at the segmented points. The maximum offset amplitude compared with the actual data points is within 0.1%，which could meet the accuracy requirements.So the method proposed in this paper is significant for improving the detection accuracy of wheel wear and size.

rail transit vehicle；wheel contour line；piecewise curve fitting；Lagrange multiplier method

U 270.331+.1

10.16037/j.1007-869x.2015.07.009

2014-10-19）

*國家“八六三”高技術研究發展計劃（2011AA110506）；廣州市產學研協同創新重大專項資助項目（201508010010）