《初等數(shù)學(xué)研究》課程教學(xué)的實(shí)踐與探索

和玉梅　陳映明　趙建紅　楊麗星

《初等數(shù)學(xué)研究》是麗江師專數(shù)學(xué)教育專業(yè)的一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課程，通過本課程的學(xué)習(xí)，使學(xué)生學(xué)會(huì)用現(xiàn)代數(shù)學(xué)來考察傳統(tǒng)的初等數(shù)學(xué)并對(duì)初等數(shù)學(xué)系統(tǒng)歸納深化、思想方法分類總結(jié)，對(duì)初等數(shù)學(xué)的一些主要專題進(jìn)行深入研究；理解“中學(xué)數(shù)學(xué)”的理論基礎(chǔ)；靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法；探討與延伸一些初等數(shù)學(xué)問題，使學(xué)習(xí)者能“居高臨下”，而且能形成較穩(wěn)固的數(shù)學(xué)觀念、掌握數(shù)學(xué)方法，提高自身解決問題的能力。更重要的是使學(xué)生掌握中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)所需的初等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)理論、基本知識(shí)和基本技能；了解中小學(xué)數(shù)學(xué)的內(nèi)容和知識(shí)結(jié)構(gòu)；在數(shù)學(xué)思想上得到啟發(fā)，在數(shù)學(xué)方法上得到初步培訓(xùn)，為教好中小學(xué)數(shù)學(xué)打下較堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。多年來我從事《初等數(shù)學(xué)研究》課程的教學(xué)，通過不斷的實(shí)踐與探索，積累了一些經(jīng)驗(yàn)，現(xiàn)與大家共享。

1 通過一題多解，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力

一題多解是從不同的角度，不同的方位審視分析同一題中的數(shù)量關(guān)系，用多種方法解答同一道數(shù)學(xué)題.教學(xué)中適當(dāng)?shù)囊活}多解，用不僅能更牢固地掌握和運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，而且，通過一題多解，分析比較，尋找解題的最佳途徑和方法，可以激發(fā)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)和去創(chuàng)造的強(qiáng)烈欲望，加深學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)的深刻理解，訓(xùn)練學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的嫻熟運(yùn)用，鍛煉學(xué)生思維的廣闊性和深刻性、靈活性和獨(dú)創(chuàng)性，從而培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)造性思維.多做一些一題多解的練習(xí)題，對(duì)鞏固知識(shí)，增強(qiáng)解題能力，提高學(xué)習(xí)成績大有益處。

由（1）（2）知，命題成立。

2 滲透數(shù)學(xué)思想和方法

數(shù)學(xué)思想是指人們對(duì)數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)思想的具體化形式，實(shí)際上兩者的本質(zhì)是相同的，差別只是站在不同的角度看問題。通常混稱為“數(shù)學(xué)思想方法”。常見的數(shù)學(xué)四大思想為：函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合。而基本的數(shù)學(xué)方法有：代人法、配方法、換元法、消元法、待定系數(shù)法、面積法、反證法、同一法、分析法、綜合法、歸納法、演繹法、類比法、拆項(xiàng)法、割補(bǔ)法、面積法、截長補(bǔ)短法、特殊化、一般化、數(shù)學(xué)模型等。下面通過舉例介紹幾種數(shù)學(xué)思想方法

2.1 數(shù)形結(jié)合思想

所謂數(shù)形結(jié)合是指抽象的數(shù)學(xué)語言與形象直觀的圖形結(jié)合起來，從而實(shí)現(xiàn)由抽象向具體轉(zhuǎn)化的一種思維方式 數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖像結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。

2.2 轉(zhuǎn)換思想

所謂轉(zhuǎn)化思想是指一種研究對(duì)象在一定條件下轉(zhuǎn)化為另一為另一種研究對(duì)象的思維方式。轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想方法的核心，其它數(shù)學(xué)思想方法都是轉(zhuǎn)化的手段或策略把新問題轉(zhuǎn)化為原來研究過的問題，如有理數(shù)減法轉(zhuǎn)化為加法，除法轉(zhuǎn)化為乘法等（2）把復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的問題，新問題用已有的方法等。

2.3 公理化思想

所謂數(shù)學(xué)公理化方法，就是從盡可能少的無定義的原始概念（基本概念）和一組不證自明的命題（基本公理）出發(fā)，利用純邏輯推理法則，把一數(shù)學(xué)建立成為演繹系統(tǒng)的一種方法。

例如：學(xué)習(xí)研究數(shù)系的時(shí)候，通過皮亞諾自然數(shù)的公理化定義，體會(huì)公理化的思想方法，通過構(gòu)建平面幾何知識(shí)的完整體系，來了解歐幾里得《幾何原本》的公理化思想，進(jìn)一步理會(huì)公理化思想方法在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用以及在人類科學(xué)中的應(yīng)用。

所有數(shù)學(xué)思想方法的滲透不是一朝一夕的就能實(shí)現(xiàn)的而要貫穿整個(gè)教學(xué)過程中，因此我們做了下面的嘗試：

（1）在知識(shí)的形成過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生過程實(shí)際上也是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)生過程，任何一個(gè)概念，都經(jīng)歷著由感性到理性的抽象概括過程；任何一個(gè)規(guī)律，都經(jīng)歷著由特殊到一般的歸納過程，如果我們把這些認(rèn)識(shí)過程返璞歸真，在教師的引導(dǎo)下，讓學(xué)生以探索者的姿態(tài)出現(xiàn)，去參與概念的形成和規(guī)律的揭示過程，學(xué)生獲得的就不僅是數(shù)學(xué)概念、定理、法則，更重要的是發(fā)展了抽象概括的思維和歸納的思維，還可以養(yǎng)成良好的思維品質(zhì)。因此，概念的形成過程、結(jié)論的推導(dǎo)過程、規(guī)律的被揭示過程都是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會(huì)和途徑。

（2）在問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想方法。問題是數(shù)學(xué)的心臟，數(shù)學(xué)問題的解決過程，實(shí)質(zhì)是命題的不斷變換和數(shù)學(xué)思方法的反復(fù)運(yùn)用過程。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)問題的解決觀念性成果，它存在于數(shù)學(xué)問題的解決之中，數(shù)學(xué)問題的步步轉(zhuǎn)化，無不遵循數(shù)學(xué)思想方法指示的方向。因此，通過問題解決，以培養(yǎng)數(shù)學(xué)意識(shí)，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，提供數(shù)學(xué)想象；伴以實(shí)際操作，可以誘發(fā)創(chuàng)造動(dòng)機(jī)，可以把數(shù)學(xué)嵌入活的思維活動(dòng)之，并不斷在學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的過程中，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)知識(shí)、掌握方法、形成思想，促進(jìn)思維能力的發(fā)展。數(shù)學(xué)問題的解決過程是用“不變”的數(shù)學(xué)思想和方法去解決不斷“變換”的數(shù)學(xué)命題，在數(shù)學(xué)問題的解決過程中滲透數(shù)學(xué)思想和方法，不僅可以加快和優(yōu)化問題解決的過程，而且還可以達(dá)到會(huì)一題而明一路，通一類的效果。

（3）在復(fù)習(xí)與小結(jié)中提煉、概括數(shù)學(xué)思想方法。小結(jié)與復(fù)習(xí)是數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要環(huán)節(jié)，揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系以及歸納、提煉知識(shí)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法是小結(jié)與復(fù)習(xí)的功能之一。數(shù)學(xué)的小結(jié)與復(fù)習(xí)，不能僅停留在把已學(xué)的知識(shí)溫記憶一遍的要求上，而要去努力思考新知識(shí)是怎樣產(chǎn)生、展開和證明的，其實(shí)質(zhì)是什么？怎樣應(yīng)用它等。小結(jié)與復(fù)習(xí)是對(duì)知識(shí)進(jìn)行深化、精煉和概括的過程，它需要通過手和腦積極主動(dòng)地開展活動(dòng)才能達(dá)到。因此，在這個(gè)過程中，提供了發(fā)展和提高能力的極好機(jī)會(huì)，也是滲透數(shù)學(xué)思想方法的極好機(jī)會(huì)與途徑。學(xué)生學(xué)完一個(gè)單元的內(nèi)容，應(yīng)該在整體上對(duì)該單元的內(nèi)容有一個(gè)清晰、全面的認(rèn)識(shí)。因此，在小結(jié)與復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)該提煉、概括這一單元知識(shí)所涉及的數(shù)學(xué)思想方法；并從知識(shí)發(fā)展的過程來綜觀數(shù)學(xué)思想方法所起的作用，以新的更為全面的觀點(diǎn)分析所學(xué)過的知識(shí)；從數(shù)學(xué)思想方法的角度進(jìn)行提高與精練。由于同一內(nèi)容可以體現(xiàn)不同的數(shù)學(xué)思想方法，而同一數(shù)學(xué)思想方法又常常蘊(yùn)含在許多不同的知識(shí)點(diǎn)里，因此在小結(jié)與復(fù)習(xí)時(shí)，還應(yīng)該從縱橫兩方面整理出數(shù)學(xué)思想方法及其系統(tǒng)。

3 以點(diǎn)帶面，構(gòu)建初等數(shù)學(xué)研究的知識(shí)結(jié)構(gòu)形成體系

一般來說，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)掌握較好，教學(xué)中沒有必要把中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)從頭到尾、面面俱到地講解。關(guān)鍵是將相關(guān)知識(shí)梳理形成體系，相互融合。另一方面，時(shí)間也不允許。例如，在學(xué)習(xí)尺規(guī)作圖的時(shí)候，先復(fù)習(xí)基本的尺規(guī)作圖方法：然后邊作圖邊復(fù)習(xí)作圖時(shí)用到的幾何知識(shí)，如兩點(diǎn)確定一條直線，全等三角形的判斷與性質(zhì)，平行線截線段成比例定理、射影定理、角平分線定理、線段的垂直平分線定理，弦切角定理，比例線段、最后再來初等幾何變換：平移變換、軸對(duì)稱變換、旋轉(zhuǎn)變換、位似變換及其作圖。比如：畫三角形的內(nèi)切圓和旁切圓的時(shí)候，先讓學(xué)生回憶角平分線的概念及其性質(zhì)；作兩線段的比例中項(xiàng)，先讓學(xué)生回憶比例線段的概念，相似三角的判斷與性質(zhì)以及射影定理。這樣教學(xué)，不僅掌握了作圖方法、還將平面幾何的知識(shí)梳理形成體系。

4 精心選擇例題

例題要主題明確，集中反映所要傳授的知識(shí)的核心部分。例題盡量要求方法上具有開放性，能夠從多角度、用多種方法予以解決，能夠舉一反三，培養(yǎng)學(xué)生思維的開闊性和靈活性。例題要有一定的難度，可以選用數(shù)學(xué)競(jìng)賽題、高考題、中考題等。當(dāng)然也不能太難讓學(xué)生無從下手。例題盡量要求內(nèi)容上具有綜合性，能夠匯聚多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，溝通數(shù)學(xué)內(nèi)部的聯(lián)系。

總之，我校《初等數(shù)學(xué)研究》課程教學(xué)通過我們的努力取得了一些成績比如有些畢業(yè)生教師上崗和特崗考試取得好的數(shù)學(xué)成績，然而《初等數(shù)學(xué)研究》研究還在實(shí)踐和探索中，已有的探索還有些不成熟，課程內(nèi)容變動(dòng)也比較大，也還形不成體系，但起步總是可貴的，相信通過我們的努力，認(rèn)真學(xué)習(xí)和借鑒其他高師院校的先進(jìn)經(jīng)驗(yàn)深人中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)查研究，并結(jié)合我校的具體情況和學(xué)生的實(shí)際水平，我們的教學(xué)會(huì)進(jìn)展并取得實(shí)效。

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[責(zé)任編輯：湯靜]