基于Mathcad的三維桁架有限元分析

李清富 任高杰

（鄭州大學水利與環境學院，河南 鄭州 450001）

基于Mathcad的三維桁架有限元分析

李清富 任高杰

（鄭州大學水利與環境學院，河南 鄭州 450001）

利用Mathcad的計算優勢與編程特點，根據普通桿件的單元剛度矩陣和整體平衡方程，將Mathcad和有限元方法相結合，推導出任意形式的三維桁架結構的剛度矩陣在Mathcad中的表達形式；結合工程實例進行計算，求解出三維桁架的桿件內力與支座反力，并與Midas Civil建模結果對比驗證，結果表明：將Mathcad與有限元相結合，能夠在滿足工程精度要求下高效率地進行三維桁架結構的力學分析。

Mathcad；有限元；三維桁架

Mathcad是一款工程計算軟件，它具有線性及非線性方程求解與優化、常微分方程和偏微分方程求解、統計金融分析、信號和圖像處理等許多方面的功能，并且提供豐富的接口可以調用第三方軟件的功能，利于自行擴展和利用別的軟件擴展功能。

1　三維桁架單元總體剛度矩陣推導

圖1　局部坐標系與整體坐標系

首先假設在三維直角坐標系中，桿件正好位于局部坐標系Xˉ軸，如圖1所示。由于桿件兩端點存在//三個方向的位移μ/ν/ω和三個方向的力Fx/Fy/Fz。因此桿件的平衡方程可以寫成式（1）所示的矩陣形式。當X軸和桿的方向不一致時，如圖，此時需要進行坐標轉換。在空間整體坐標系中，任意向量（X，Y，Z）換算到局部坐標系（）中的換算關系可以用式（2）表示。

其中，cos（x， y）表示局部坐標系X2軸與整體坐標系X軸夾角的余弦，其余依次類推。為了書寫方便，記

對于桿單元兩端點所受的力和兩端點位移可以通過相應的矩陣形式得到，因為C2是對稱矩陣，CT=C-1，可得到三維桁架單元的整體平衡方程［2］，見式（3）：

2　實例分析

如圖2所示，有一機架由空間桁架桿組成，其桿件單元的橫截面積為15 cm2，由鋼制成（E=200GPa），用Mathcad進行編程，求解各個桿件的內力。

圖2　工程實例

具體求解過程如下：

2.1根據Top矩陣以及各節點坐標求出各桿件的單元剛度矩陣，如式（4）所示：

2.2單元剛度矩陣組裝成總體剛度矩陣K，K的行列式為零，表明其不可逆，必須根據邊界條件對其修正［4］，修正后的總體剛度矩陣為Kmod。

2.3可見修正后的Kmod行列式不為零，利用修正后的總體剛度矩陣求解各節點位移，然后根據節點位移求解支座反力和桿件內力，計算結果見表1、表2。

表1　支座反力結果對比（單位：KN）

表2　桿件內力結果對比（單位：KN）

2.4與Midas Civil建模結果進行對比

為了校驗以上編程求解結果的精確性，利用Midas Civil對文中的工程實例進行了建模分析，Midas Civil計算結果與Mathcad編程結果如表1所示，結果表明：利用Mathcad的編程計算結果和Midas civil的建模計算結果一樣，接近于理論解。

3　結語

本文的研究結果表明，基于Mathcad的三維桁架有限元分析結果滿足工程精度要求，同時根據Mathcad的編程特點，對于其他的三維桁架結構，只需要改變編程過程中的Top矩陣和節點坐標就可以直接計算出任意三維桁架單元的內力和各約束節點的支座反力。

［1］張曉丹，李祥林，李曉紅等.數學實驗：Mathcad在數學實驗中的應用［M］.北京：北京航空航天大學出版社，2012.

FiniteElement Analysisof 3-D Trussbased on Mathcad

Li Qingfu Ren Gaojie
（School of Water Conservancy&Environment，Zhengzhou University，Zhengzhou Henan 450001）

By the calculation advantages and programming characteristics of Mathcad，on the basis of element stiffness matrix and the general balance equation of ordinary bar，Mathcad and finite element method are combined to deduce stiffness matrix expressive of any 3-D truss structures in Mathcad；support reaction and internal force of the 3-D truss are calculated through an engineering example and compared with the Midas Civil modeling results，it turns out that combining Mathcad and finite element method could carry out a high-efficient mechanism analysis of 3-D truss meeting the precision requirement of engineering.

Mathcad；finite element method；3-D truss

TU323.4

A

1003-5168（2015）12-0095-2

2015-12-11

李清富（1966-），男，博士，教授，研究方向：結構工程領域的研究。