Lie-Poisson框架下一個新的有限維完全可積系統(tǒng)

薛珊 石磊

（河南交通職業(yè)技術學院基礎部，河南 鄭州 450000）

Lie-Poisson框架下一個新的有限維完全可積系統(tǒng)

薛珊 石磊

（河南交通職業(yè)技術學院基礎部，河南 鄭州 450000）

研究一個3×3特征值的非線性化，證明此3×3特征值問題的非線性化是Poisson流形上具有Lie-Poisson結構的廣義Hamilton系統(tǒng).并用母函數(shù)法證明了其可積性.

Lie-Poisson結構；Hamilton系統(tǒng)；非線性化特征值問題

有限維可積系統(tǒng)的構造重要途徑之一是特征值問題的非線性化，以往特征值問題的非線性化研究是在辛流形框架下通過非退化的Poisson結構展開的［1-4］.本文首先用Lenard遞推方程，得到與譜問題（2）相對應的1+1維孤子族.然后，在位勢與特征函數(shù)約束關系下，（2）被非線性化為Poisson流形上具有Lie-Poisson結構的有限維Hamilton系統(tǒng)［5-7］.最后，證明了該Hamilton系統(tǒng)的可積性。

1 1+1維孤立子方程族

為了得到1+1維孤立子方程族，我們首先引入Lenard遞推方程其中

a∈R，u，v為位勢.其前幾個解為：

考慮Lenard譜問題

其中

定義映射σ：R3?sl（3，R）為

對比（1），我們有

2 非線性化的特征值問題及其Lie-Poisson結構

取一組兩兩互異且不等于零的常數(shù)λ1，…，λN，考慮

經(jīng)過簡單計算，我們有：

由于算子J的核為一維的，其生成元為g-1，因此

若c=0，則特征函數(shù)與位勢的約束關系為

把（6）代入（4），我們得到非線性化的特征值問題

其中

下面說明系統(tǒng)（7）的Hamilton結構.考慮Lie代數(shù)，

其中

選擇LA的一組基ε1，ε2，ε3，分別為

因此，Jj為LA的Lie-Poisson結構矩陣［8］，上的Lie-Poisson括號為

3 證明系統(tǒng)（7）的完全可積性

在（6）成立的條件下，根據(jù)方程（5）可知

命題3 h1，…，hN是Poisson結構（8）的N個函數(shù)獨立的Casimir函數(shù)。

記Fλ-流的變量為tλ，則

其中

推論6

利用文獻[5-7]的方法，可以證明下面結論：

由命題3，推論6和命題7，得Hamilton系統(tǒng)（7）具有N1個函數(shù)獨立的Casimir函數(shù)個函數(shù)獨立且兩兩對合的守恒積分所以是完全可積的。

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[6]DU Dianlou,CAO Cewen.The Lie-Poisson representation of nonlinearized eigenvalue problem of the Kac-van Moerbeke hier?archy[J].Phys.Lett.A,2001,278:209-224.

[7]DU Dianlou.Complex form,reduction and Lie-Poisson structure for the nonlinearized spectral problem of the Heisenberg hierarchy[J].Phys.A,2002,303:439-456.

[8]Olver P J.Applications of Lie Groups to Differential Equa?tions[M].2nd ed.Berlin:Springer,1993.

A New Finite-dimensional Integrability Systemin theLie-Poisson Framework

Xue Shan Shi Lei
（Foundation Department of Henan College of Transportation，Zhengzhou Henan 450000）

The nonlinearization of a 3×3 eigenvalue is studied.It is proved that the nonlinearized of this 3×3 eigenvalue problem is a generalized Hamiltonian system with a Lie-Poisson structure on the Poisson manifold.Furthermore，the generating function method is used to prove its integrability.

Lie-Poisson structure；Hamiltonian system；nonlinearized eigenvalue problem

O175.9

A

1003-5168（2015）12-0082-3

2015-12-11

河南交通職業(yè)技術學院院級科研項目（2015-YJXM-024）。

薛珊（1982-），女，碩士，講師，研究方向：孤立子與可積系統(tǒng)。