時(shí)序模型理論與建筑物變形規(guī)律分析

于海威++周倩倩++安亞沖

摘 要：提出了利用動(dòng)態(tài)的時(shí)間序列對(duì)建筑物變形的觀測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與研究的模型和算法，基于各期觀測(cè)數(shù)據(jù)之間的相關(guān)性建立時(shí)間序列模型，對(duì)變形體進(jìn)行實(shí)時(shí)動(dòng)態(tài)的變形預(yù)報(bào)。并結(jié)合一組實(shí)例數(shù)據(jù)建立了MA模型進(jìn)行分析和預(yù)測(cè)，將預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)相比較，發(fā)現(xiàn)能夠取得較好的擬合效果與精度。結(jié)果表明： 在合理的預(yù)測(cè)步數(shù)內(nèi)，MA模型能夠客觀的指導(dǎo)和評(píng)價(jià)目標(biāo)建筑物的質(zhì)量狀況，正確反映其變形規(guī)律和發(fā)展趨勢(shì)，具有一定的實(shí)用價(jià)值。

關(guān)鍵詞：建筑物 時(shí)間序列 變形監(jiān)測(cè) MA模型 預(yù)報(bào)

中圖分類號(hào)：TUl96 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2015）07（b）-0000-00

變形監(jiān)測(cè)是對(duì)被監(jiān)測(cè)的對(duì)象或物體進(jìn)行測(cè)量，以確定其空間位置及內(nèi)部形態(tài)隨時(shí)間的變化特征[1] 。目前變形監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)的分析理論比較成熟和常用的是回歸分析[2]。它的主要思想是：嘗試尋找對(duì)建筑物變形有影響的主要因子，剔除弱影響因子，建立變形量與各因子之間的多元線性關(guān)系[3] ，進(jìn)而進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)。但缺點(diǎn)是：尋找因子變量比較困難，難以保證各因子之間是相互獨(dú)立或不相關(guān)的，且建立回歸方程需要豐富的經(jīng)驗(yàn)知識(shí)[3， 4] 。相對(duì)來說，當(dāng)只有變形量，而缺失其他信息時(shí)，時(shí)間序列分析的建模過程則比較簡(jiǎn)單。它的出發(fā)點(diǎn)是承認(rèn)數(shù)據(jù)的有效性和相關(guān)性，只需得到變形數(shù)據(jù)序列自身的規(guī)律性[5， 6]，不需要考慮其它數(shù)據(jù)的影響，也不必考慮它們是否相關(guān)，具有極大的優(yōu)越性，所以在動(dòng)態(tài)數(shù)據(jù)處理中有著越來越廣泛的應(yīng)用。

1 時(shí)間序列模型及算法

1.1 建模思想

時(shí)間序列是一組按照一定的觀測(cè)順序獲得的具有動(dòng)態(tài)統(tǒng)計(jì)特性的觀測(cè)數(shù)據(jù)，并且彼此之間具有記憶的特征[7， 8] ，時(shí)間序列建模就是建立數(shù)據(jù)序列的過去值與將來值之間的聯(lián)系，尋找其變化規(guī)律[9]。如果一個(gè)時(shí)間序列能夠滿足平穩(wěn)、正態(tài)的條件[10] ，就可以同其前p步的觀測(cè)值及前q步的擾動(dòng)值建立模型ARMA（p，q），（p階平穩(wěn)自回歸q階滑動(dòng)平均模型）：

（1）

其中：p為自回歸階數(shù)，q為滑動(dòng)平均階數(shù)， 為模型參數(shù)， 為白噪聲序列 ，對(duì) 。引入延遲算子B， 。則模型可變?yōu)椋?/p>

（2）

當(dāng)q=0時(shí)，ARMA模型就成為了AR（p）模型（平穩(wěn)自回歸模型）：

（3）

當(dāng)p=0時(shí)，ARMA模型就成為了MA（q）模型（滑動(dòng)平均模型）：

（4）

1.2 數(shù)據(jù)分析與處理

獲取變形數(shù)據(jù)后，需要檢驗(yàn)數(shù)據(jù)序列的平穩(wěn)性。如果數(shù)據(jù)序列是非平穩(wěn)的，可利用差分、季節(jié)差分、對(duì)數(shù)變換與差分運(yùn)算等手段進(jìn)行平穩(wěn)化[11]。事實(shí)上，任何非平穩(wěn)的時(shí)間序列只要通過適當(dāng)階數(shù)的差分后平穩(wěn)，就可以對(duì)差分序列進(jìn)行ARMA模型擬合[12] 。

差分處理：對(duì)于非平穩(wěn)模型 （5）

可引入差分算子 ，則 ，通過適當(dāng)?shù)牟罘诌\(yùn)算可得

（6）

1.3 模型的識(shí)別與初步定階

模型識(shí)別可采用相關(guān)函數(shù)法，即依據(jù)ACF和PACF的拖尾性與截尾性，判斷依據(jù)如下：自相關(guān)函數(shù)估值拖尾，偏相關(guān)函數(shù)估值p階截尾，可判斷為AR（p）模型；自相關(guān)函數(shù)估值q階截尾，偏相關(guān)函數(shù)估值拖尾，可判斷為MA（q）模型；自相關(guān)函數(shù)估值和偏相關(guān)函數(shù)估值均拖尾，可判斷為ARMA（p，q）模型。只是ARMA模型階數(shù)的確定更加復(fù)雜，通常采用從低階到高階逐個(gè)取為（1，1），（1，2），（2，1）…定出估計(jì)模型，再進(jìn)行模型估計(jì)和檢驗(yàn)，直到被接受為止。

1.4 模型檢驗(yàn)

相關(guān)函數(shù)方法是利用相關(guān)函數(shù)的截尾性來確定模型的階數(shù)，是初步確定階數(shù)的范圍，還要用F檢驗(yàn)法進(jìn)行檢驗(yàn)判別，有判別式： （7）

其中： ， 分別為ARMA（p-1，q-1），ARMA（p，q）的殘差平方和，N為樣本長(zhǎng)度。給定顯著性水平 查出臨界值 ，若 則H0成立，可取ARMA（p，q）為合適模型，否則模型階數(shù)仍有上升的可能。

如果所建立的模型是合適的，該序列就應(yīng)該是白噪聲序列的樣本序列，模型是否合適，可通過檢驗(yàn)該序列是否為白噪聲序列來判斷。N充分大時(shí)，有 ，因此可用 分布檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ褪欠窈线m。

1.5 參數(shù)估計(jì)與預(yù)報(bào)

模型的階數(shù)p，q確定后，就要對(duì)模型參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，這也是建立時(shí)間序列模型的關(guān)鍵，一般通過最小二乘法迭代求出參數(shù)的精確估計(jì)值。線性函數(shù)如下：

（8）

所以 的最小二乘估值為 ，噪聲的估值為 。

在許多實(shí)際應(yīng)用中，進(jìn)行時(shí)間序列分析，建立模型的主要目的就是對(duì)未來的發(fā)展趨勢(shì)進(jìn)行數(shù)值預(yù)報(bào)，進(jìn)而采取相應(yīng)措施 。在確定模型的各項(xiàng)參數(shù)之后，就可以進(jìn)行預(yù)報(bào)了。

2 實(shí)例分析

地鐵二號(hào)線經(jīng)過解放碑，該地是重慶的重要標(biāo)志，周圍高聳建筑物較多、人口密集，現(xiàn)對(duì)該站周圍建筑物實(shí)施了沉降觀測(cè) ，每天觀測(cè)值為一期 ，共觀測(cè)29期，獲得了點(diǎn)的累積沉降序列。現(xiàn)選取該站某一觀測(cè)點(diǎn)J2的沉降數(shù)據(jù)進(jìn)行分析預(yù)報(bào)，觀測(cè)數(shù)據(jù)如下表1。

表1 觀測(cè)值表

序號(hào) 觀測(cè)值 m 序號(hào) 觀測(cè)值 m 序號(hào) 觀測(cè)值 m 序號(hào) 觀測(cè)值 m

1 3.790 0 9 3.786 3 17 3.786 6 25 3.786 2

2 3.789 2 10 3.786 0 18 3.786 6 26 3.786 0

3 3.788 6 11 3.785 5 19 3.786 4 27 3.784 0

4 3.788 1 12 3.786 1 20 3.785 8 28 3.786 6

5 3.787 9 13 3.785 2 21 3.7861 29 3.786 1

6 3.787 5 14 3.785 6 22 3.785 8

7 3.788 2 15 3.786 3 23 3.785 6

8 3.786 1 16 3.785 6 24 3.785 9

2.1 數(shù)據(jù)差分處理

作時(shí)序圖，如圖1所示。

圖1 J2點(diǎn)時(shí)序圖

原時(shí)間序列為非平穩(wěn)序列，需進(jìn)行二階差分，差分結(jié)果如圖2。可以看出，差分后數(shù)據(jù)變?yōu)槠椒€(wěn)序列，可以進(jìn)行時(shí)間序列建模。

圖2：2階差分時(shí)序圖

2.2 模型建立

計(jì)算協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)，得到自、偏相關(guān)系數(shù)圖如下圖3。

圖3：自相關(guān)偏相關(guān)系數(shù)圖

由圖可知該序列的偏相關(guān)系數(shù) 衰減緩慢，且當(dāng)k增大時(shí)有明顯的趨于零的趨勢(shì)，所以 是拖尾的。自相關(guān)系數(shù) 在k=2時(shí)急劇減小，且在k=2及之后的值全小于 ，所以認(rèn)為 在k=1處截尾，初步判斷模型為MA（1）。

2.3 模型檢驗(yàn)

1） F檢驗(yàn)：通過計(jì)算可得MA（1），MA（2），MA（3）的殘差平方和分別為為 ， ， 。取顯著性水平 =0.05，對(duì)于MA（1），MA（2）模型有F> ，則原假設(shè) 成立，即MA（1）不合適。繼續(xù)檢驗(yàn)MA（2），MA（3）模型有F < ，原假設(shè) 不成立，可取MA（3）為合適的模型。經(jīng)檢驗(yàn)最終確定合適的模型為MA（3）。

2） 白噪聲檢驗(yàn)： 取k≈N/10=2，可用 檢驗(yàn)法來檢驗(yàn)假設(shè) ： 是否成立。在顯著性水平 =0.05下，經(jīng)計(jì)算得Q< ，所以接受假設(shè) ，即就模型噪聲的獨(dú)立性而言所建立模型是合適的，檢驗(yàn)結(jié)束。

2.4 預(yù)測(cè)結(jié)果及分析

利用建立的時(shí)序模型對(duì)變形數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)，效果如下圖4所示。

圖4：模型的預(yù)測(cè)效果

從預(yù)測(cè)值和觀測(cè)值的比較結(jié)果來看，可得出兩點(diǎn)結(jié)論：

（1）在短時(shí)間預(yù)測(cè)內(nèi)，J2點(diǎn)的觀測(cè)值與預(yù)測(cè)值的誤差均在 范圍內(nèi)，誤差較小。預(yù)測(cè)效果較為理想，能夠準(zhǔn)確的反映建筑物變形的變化規(guī)律，預(yù)測(cè)其變形的發(fā)展趨勢(shì)，具有一定的實(shí)用性，可以作為監(jiān)測(cè)預(yù)報(bào)的依據(jù)。

（2）時(shí)間序列模型對(duì)于短期內(nèi)的預(yù)測(cè)精度較高，當(dāng)時(shí)間延遲過長(zhǎng)時(shí)，誤差會(huì)越來越大，要根據(jù)其特點(diǎn)進(jìn)行合理的運(yùn)用，及時(shí)更新模型，避免預(yù)測(cè)時(shí)間過長(zhǎng)導(dǎo)致錯(cuò)誤。

3 結(jié)語

本文通過分析時(shí)間序列模型及其在大型建筑物變形中的監(jiān)測(cè)效果，揭示了時(shí)序模型在工程預(yù)測(cè)中的適用性。時(shí)序模型預(yù)測(cè)對(duì)變量間的關(guān)系要求較低，在工程實(shí)踐中能夠?qū)崟r(shí)動(dòng)態(tài)地建模、預(yù)測(cè)變形情況，同時(shí)又具有較高的預(yù)測(cè)精度，有利于監(jiān)測(cè)工程的質(zhì)量，并隨時(shí)做出調(diào)整。在建筑行業(yè)快速發(fā)展的今天，充分利用時(shí)間序列模型的優(yōu)勢(shì)，并結(jié)合實(shí)際情況，實(shí)時(shí)、準(zhǔn)確的把握建筑物的變形動(dòng)向，將為人們的生產(chǎn)和生活帶來諸多的安全保障。

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