獨立情形下自正則和的精確漸近性

付宗魁，吳群英

（桂林理工大學理學院，廣西桂林541004）

獨立情形下自正則和的精確漸近性

付宗魁，吳群英

（桂林理工大學理學院，廣西桂林541004）

研究均值為零非退化的獨立同分布的隨機變量序列正則和收斂性，在適當條件下，獲得了自正則和精確漸近性的一般結果.

獨立同分布；自正則和；精確漸近性

1　引言及主要結果

隨機變量序列的精確漸近性的研究是概率極限理論研究中的一個熱門話題.近年來，得到了許多研究成果，文獻［1-2］得到了獨立情形下一階矩收斂的精確漸近性；文獻［3］得到了NA序列矩收斂的漸近性質.自正則極限理論的提出豐富了精確漸近性的理論研究，得到了一些自正則和的精確漸近性結果，文獻［4］得到了自正則和矩收斂的精確漸近性.下面先介紹穩定吸引域的概念.

定義1.1稱獨立同分布的隨機變量序列｛X，Xn，n≥1｝是屬于穩定吸引域，如果存在An＞0和Bn∈R，使得

其中g（x）≥0為慢變化函數，ci（x）≥0，ci（x）→ci，x→∞，i=1，2，c1+c2＞0.

最近，文獻［5］得到了獨立同分布序列自正則和的一類完全矩收斂，即

本文在此基礎上，研究了獨立同分布情形下自正則和精確漸近性的一般結果.

在整篇文章中，

C在不同的位置表示不同的常數.下面先給出文中的一些假設條件.

定理1.2設｛X，Xn，n≥1｝是均值為0非退化的獨立同分布的隨機變量序列，且X屬于正態吸引域，如果滿足假設條件（i）、（ii）、（iii）和（v），則有

定理1.3設｛X，Xn，n≥1｝是均值為0非退化的獨立同分布的隨機變量序列，且X屬于正態吸引域，如果滿足假設條件（i）、（ii）、（iv）和（vi），則有

注1.1如果0＜σ2=EX2＜∞，由強大數定律知a.s.則以代替Vn，定理1.2和定理1.3仍成立.

注1.2滿足假設條件中的g（x）有很多，比如g（x）=xα，（logx）β，（loglogx）γ.其中α＞0，β＞0，γ＞0為適當的參數.

2　引理

引理2.1［6］設｛X，Xn，n≥1｝是均值為0的獨立同分布的隨機變量序列，且X屬于正態吸引域，則有

其中，Φ（x）為標準正態隨機變量分布函數.

引理2.2［7］設｛X，Xn，n≥1｝是均值為0的獨立同分布的隨機變量序列，且X屬于正態吸引域，如果滿足假設條件（i）、（ii）和（v），則有

引理2.3［8］設｛X，Xn，n≥1｝是均值為0的獨立同分布的隨機變量序列，且X屬于正態吸引域，則對于任意的存在0＜δ＜1，x0＞1，N0，使得當n≥N0和時，有

引理2.4［1］設｛ani，1≤i≤n，n≥1｝為實數陣列，｛Xi，i≥1｝為實數序列且滿足條件：對任意的i≥1，ani→0，n→∞.對任意的

3　定理1.2的證明

性質3.1在定理1.2的條件下，有

證明參見文獻［9］的性質4.1.

性質3.2在定理1.2的條件下，有

性質3.3M＞4設在定理1.2的條件下，有

證明參見文獻［9］的性質4.3.

性質3.4在定理1.2的條件下，有

定理1.2的證明由性質3.1-性質3.4及三角不等式可知（3）式成立，即定理1成立.

4　定理1.3的證明

由文獻［7］的定理1.1的（1.2）式知（13）式成立，即定理1.3成立.

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Precise asymptotics for self-normalized sums of independent and identically distributed random variables

Fu Zongkui，Wu Qunying

（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541004，China）

This paper study the convergence of normalized sums for independent and identically distributed nondegenerate random variables with mean zeros，under some conditions，we obtain a general result on precise asymptotics for self-normalized sums.

independent and identically distributed，self-normalized sums，precise asymptotic

O211.4

A

1008-5513（2015）06-0596-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.007

2015-05-04.

國家自然科學基金（11361019）；廣西自然科學基金（2013GXNSFDA019001）；廣西高校人才小高地建設創新團隊資助計劃（桂教人［2011］47號）.

付宗魁（1990-），碩士生，研究方向：概率論與數理統計.

2010 MSC：60F15