保體上上三角冪等矩陣的誘導映射

張雋，付麗，2，曹重光

（1.黑龍江大學數學科學學院，黑龍江哈爾濱150080；2.綏化學院信息工程學院，黑龍江綏化152061）

保體上上三角冪等矩陣的誘導映射

張雋1，付麗1，2，曹重光1

（1.黑龍江大學數學科學學院，黑龍江哈爾濱150080；2.綏化學院信息工程學院，黑龍江綏化152061）

假設Tm（D）是體D上所有上三角m×m矩陣的集合.首先分別給出誘導映射和保冪等性的定義.然后為了刻畫Tm（D）的保冪等的誘導映射，提出類序列的概念，同時描述類序列的性質.最后，使用矩陣技術和初等方法，借助于分類討論得到了Tm（D）的保冪等的誘導映射的一般形式并且給出了某些例子，用以解釋某些結果之間的關系.

體；上三角矩陣；保冪等；誘導映射

1　引言

刻畫矩陣集合保持某些性質的映射通常被稱為矩陣保持問題研究.近年來，這方面的工作更感興趣于映射沒有線性和加法假定的情形［1-5］.本文研究的誘導映射，其實也是這類問題的一種.文獻［6-7］是誘導映射導出問題的兩個典型結果.

設D是一個體，Mm（D）及Tm（D）分別記D上所有m階矩陣及所有m階上三角陣的集合.設g是Mm（D）（Tm（D））到自身的映射，gij是D上的函數，其中i，j∈｛1，2，···，m｝.定義

則稱g是由｛gij｝誘導的映射.簡稱Mm（D）（Tm（D））的誘導映射.

在本文中用K記Tm（D）中所有冪等陣（B2=B）的集合，令g是Tm（D）到自身的誘導映射，如果B∈K意味著g（B）∈K則稱g保冪等.本文目的是刻畫Tm（D）的保冪等的誘導映射.

用D?記D中所有非0元的集合，Eij表示（i，j）位置是1，其余位置是零的矩陣.記［1，m］=｛1，2，···，m｝.

由于K中矩陣對角元必為1和0，又由于條件f（0）=0的需要，為敘述簡潔方便，用Tm（D）僅表示對角元為1，0的上三角矩陣全體構成的集合.

現對Tm（D）誘導映射的定義中所涉及的m-1個函數，即g12，g23，···，gm-1m，定義如下的類集合：

誘導映射g的類序列，即函數g12，g23，···，gm，m-1所屬的類集合從左到右依次寫成的一個序列.例如ξγηξηη為m=7時g的類序列，即有

如果在g（0）=0的情況下，g是Tm（D）的保冪等的誘導映射，有如下的重要結果.

命題1.1設D為一個體，m為整數且m≥3，g（0）=0，其中g是Tm（F）的保冪等的映射，那么在g的類序列中不會出現相鄰兩類為ηγ，γη和ηη這三種情況.

下面將說明Tm（D）的每個保冪等的誘導映射g的類序列都對應著Tm（D）中矩陣的唯一分塊寫法.例如m=6時保冪等的g的類序列為ξηξγγ，則它對應著

的分塊寫法，其中B1，B2和B3的階數分別是1階、2階和3階.又如m=9時保冪等的g的類序列若為γγγξηξξη，則它對應著

的分塊寫法，其中C1，C2，C3和C4的階數分別為4階，2階，1階和2階.

一般地，滿足g（0）=0的保冪等的導出映射g的類序列中ξ的個數若為s-1，則D的相應對角分塊個數為s，即

若類序列中第j個ξ與第j+1個ξ中間有非ξ類k個，則Dj+1是k+1階的；若第1個ξ前面有k個非ξ類，則D1是k+1階的；若第s-1個ξ后面有k個非ξ類，則Ds是k+1階的，其中k≥0為整數.若g的類序列中無ξ，則D就是自己一塊.

2　主要結果

定理2.1g為Tm（D）的誘導映射，g（0）=0，m≥3是一個整數，則g保冪等當且僅當

這里

是g的類序列對應的B的唯一分塊寫法，其中B1，B2，···Bs的階數分別是p1，p2，···，ps且m=p1+p2+···+ps，g1，···，gs分別為Tp1（D），···，Tps（D）保冪等的導出映射.

定理2.2D是一個體，g1為Tq（D）的誘導映射，g1（0）=0，又設ε=±1

注記2.1如上定理2.1及定理2.2完整地刻畫了m≥3時，Tm（D）的滿足條件g（0）=0的保冪等的誘導映射.如果q≥4時，g1的形式（定理2.3中）稱之為標準形式.容易驗證當q=1，2，3時標準形式仍然滿足定理2.3中的相應的充要條件，但反之未必.可以對q=3的情形舉一個例子.令D是實數域，g11=g22=g33是恒等映射且

此時易驗證g1滿足定理2.3中q=3時的各項條件，但是g1并不是標準的，因為g1若是標準的，則應滿足g12（2）=2g12（1），這與g12的定義相矛盾.

注記2.2如果去掉g（0）=0的條件，情況會相當復雜.

例如：令g（B）=C，?B∈Tm（D），其中C∈K是任意固定的，則上述g是保冪等的誘導映射.

3　結語

誘導保持映射的研究結果尚不多，且多為在長方陣和方陣集合上研究.本文是對體上上三角矩陣誘導保持映射研究的一個有益的嘗試，所用方法及所得結果具有一定的創新性，對后續研究有一個借鑒意義，其中提出類集合的概念對理論展開起了重要作用.

在本文結果中可以看到低維空間往往映射形式不具有標準性，于是舉例說明其形式比標準形式更廣泛就顯得十分重要了（見注記2.1中例）.另外需指明的，條件f（0）=0對本文至關重要，如果去掉這一條件，實際上是一個開問題（見注記2.2）.

［1］Li C K，L Plevnik.?emrl.Preservers of matrix pairs with a fixed inner product value［J］.Operators and Matrices，2012，6（3）：433-464.

［2］Cao C G，Ge Y L，Yao H M.Maps preserving classical adjoint of products of two matrices［J］.Linear and Multilinear Algebra，2013，61（12）：1593-1604.

［3］Huang L P.Geometry of Matrices over Ring［M］.Beijing：Science Press，2006.

［4］You H，Wang Z Y.k-Potence preserving maps without the linearty and surjectivity assumptions［J］.Linear Algebra Appl.，2007，426：238-254.

［5］Chooi W L，Ng W S.On classical adjoint-commuting mappings between matrix algebras［J］.Linear Algebra Appl.，2010，432：2589-2599.

［6］Liu S W，Zhang G D.Maps preserving rank 1 matrices over fields［J］.Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2006，23（1）：138-140.

［7］Yang L，Ben X Z，Zhang M，et al.Induced maps on matrices over fields［J］.Abstract and Applied Analysis，vol.2014，Article ID 596796，5 pages，2014.

Induced maps preserving upper triangular idempotent matrices over skew fields

Zhang Jun1，Fu Li1，2，Cao Chongguang1

（1.School of Mathematical Science，Heilongjiang University，Harbin150080，China；2.School of Information Engineering，Suihua University，Suihua152061，China）

Suppose that Tm（D）is set of all m×m upper triangular matrices over skew field D.First，the paper gives the definition of induced map and preserving idempotence，respectively.And then，in order to characterize induced map preserving idempotence on Tm（D），the paper raises the concept of class-sequence and describes the properties of it.In the end，the paper uses matrix techniques and elementary methods and by classified discussion we get the general forms of induced maps preserving idempotence on Tm（D）and give some examples to illustrate relations between some results.

skew field，upper triangular matrix，preserving idempotence，induced map

O178

A

1008-5513（2015）06-0628-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.011

2015-05-27.

國家自然科學基金（11371109）.

張雋（1991-），碩士生，研究方向：矩陣代數.

2010 MSC：15A04