非齊次樹上馬氏鏈的若干強偏差定理

金少華，趙旋，陳秀引

（河北工業大學理學院，天津300401）

非齊次樹上馬氏鏈的若干強偏差定理

金少華，趙旋，陳秀引

（河北工業大學理學院，天津300401）

通過構造適當的非負鞅，將Doob鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，給出了一類非齊次樹上馬氏鏈場加權和滑動平均的若干強偏差定理.

非齊次樹；鞅；馬氏鏈；強偏差定理

1　前言

樹指標隨機過程已成為近年來發展起來的概率論的研究方向之一.文獻［1］給出了樹指標馬爾可夫鏈的定義并研究了其常返性.文獻［2］研究了Cayley樹指標有限狀態非齊次Markov鏈的強大數定律和漸近均分割性（AEP）.文獻［3］通過利用若干重要不等式給出了樹上路徑過程的隨機路徑條件概率用不等式表示的幾何平均強極限定理以及樹上路徑過程關于狀態序偶出現頻率的強偏差定理.文獻［4］研究給出了m根Cayley樹指標m階有限狀態非齊次Markov鏈的一些極限性質.文獻［5］研究給出了Bethe樹上非齊次馬爾科夫隨機場的一類強偏差定理.文獻［6］首先研究給出了雙根樹上二階非齊次馬氏鏈的強極限定理，然后研究給出了雙根樹上二階非齊次馬氏鏈幾乎處處收斂意義下的Shannon-McMillan定理.本文通過構造適當的非負鞅，將Doob鞅收斂定理應用于幾乎處處收斂的研究，研究給出了一類非齊次樹上馬氏鏈場加權和滑動平均的若干強偏差定理.

設T是一個具有根頂點o的無限樹，｛Nn，n≥1｝是一正整數集，如果第n（n≥0）層上的每個頂點均與第n+1層上的Nn+1個頂點相鄰，稱T為廣義Bethe樹或廣義Cayley樹.特別地，若對非負整數集N，用模m（m≥2）的同余關系對其分類得到模m的剩余類：

當n∈（i）時，令Nn+1=αi（αi均為正整數且不同時為1），i=0，1，2，···，m-1，就得到了一類特殊的非齊次樹Tα0，α1，··，αm-1.

以下恒以T表示樹Tα0，α1，··，αm-1，以Ln表示第n（n≥0）層上所有頂點的子圖，Tn表示從o頂點到第n層上所有頂點的子圖.s（t）表示頂點t的所有子代的子圖.

定義1.1｛Xσ，σ∈T｝是定義在概率空間｛?，F，P｝上的取值于連續狀態（R+，β（R+））的隨機變量族，設

定義1.2設0≤a1≤a2≤···是一整值數列，隨機變量族｛Xσ，σ∈T｝在測度P、Q下的聯合分布密度函數分別由（5）式、（6）式定義，

2　主要結果

設c為一非負常數，令

定理2.1設｛Xσ，σ∈T｝為為具有初始分布（1）與正則條件概率族（2）的在R+上取值的連續狀態樹指標非齊次馬爾可夫鏈，它在F的另一概率測度Q下的聯合分布密度函數由（6）式定義.Ln（ω）及φn（ω）分別由（7）式與（8）式所定義，｛al，l≥1｝，H（c）和｛Wn，n≥1｝如前定義.設存在M＞0，使得

定理2.2設｛Xσ，σ∈T｝為為具有初始分布（1）與正則條件概率族（2）的在R+上取值的連續狀態樹指標非齊次馬爾可夫鏈，它在F的另一概率測度Q下的聯合分布密度函數由（6）式定義，Ln（ω）及φn（ω）及H（c）分別由（7）式、（8）式與（10）式所定義，常數c滿足

3　主要結果的證明

為了證明的需要，先給出如下引理：

引理3.1設｛Xσ，σ∈T｝為具有初始分布（1）與正則條件概率族（2）的在R+上取值的連續狀態樹指標非齊次馬爾可夫鏈，0≤a1≤a2≤···是一整值數列，｛Wn，n≥1｝為一正數數列，f（XTn），g（XTn）如前定義，

因為P（A（λ??））=1，故由（33）式知（14）式成立.

仿照（27）式的證明知，當c=0時，（14）式也成立.

［1］Benjamini I，Peres Y.Markov chains index by trees［J］.The Annals of Probability，1994，22（1）：219-243.

［2］Dong Y，Yang W G，Bai J F.The strong law of large numbers and the Shannon-McMillan theorem for nonhomogeneous Markov chains indexed by a Cayley tree［J］.Statist.Probab.Lett.，2011，81（12）：1883-1890.

［3］韓大釗，石志巖，楊衛國.樹上路徑過程的隨機路徑條件概率的強極限定理［J］.數學雜志，2015，35（2）：462-468.

［4］Shi Z Y，Yang W G.Some limit properties for the m-th-order non-homogeneous Markov chains indexed by an m rooted Cayley tree［J］.Statistics and Probability Letters，2010，80（15）：1223-1233.

［5］Yang W G.A class of deviation theorems for the random fields associated with non-homogeneous Markov chains indexed by a Bethe tree［J］.Stochastic Analysis and Applications，2012，30（2）：220-237.

［6］石志巖，韓大釗，楊衛國.雙根樹上二階非齊次馬氏鏈的強大數定律和Shannon-McMillan定理［J］.應用概率統計，2015，31（2）：125-134.

A class of strong deviation theorems for Markov chain fields on a non-homogenous tree

Jin Shaohua，Zhao Xuan，Chen Xiuyin

（College of Science of Hebei University of Technology，Tianjin300401，China）

In this paper，through constructing a non-negative martingale and applies Doob′s martingale convergence theorem to the research of a.e.convergence，a class of strong deviation theorems of moving averages of weighted sums for Markov chain fields on a non-homogenous tree are given.

non-homogeneous tree，martingale，Markov chains，strong deviation theorem

O211.4

A

1008-5513（2015）06-0551-08

10.3969/j.issn.1008-5513.2015.06.001

2015-06-07.

河北省高等學校科學技術研究項目（ZD2014051）.

金少華（1965-），博士，教授，研究方向：概率論極限定理.

2010 MSC：60B12