淺介幾種廣義逆矩陣及其應用

李 悅

（沈陽師范大學 數學與系統科學學院,沈陽 110034）

1 背景介紹

廣義逆產生于線性方程組求解的實際需要,其思想可追溯到1903年E.I.弗雷德霍姆所研究的關于積分算子的一種廣義逆，隨后由E.H.Moore在1920年提出任意矩陣的廣義逆定義，然而在其后的30年卻未能引起人們關注，直到1955年,R.Penrose定義了Moore的廣義逆矩陣之后,廣義逆矩陣的發展才開拓了一片新的天地。后來人們證明Moore和R.Penrose的兩種廣義逆矩陣是等價的,因而被稱為M一P廣義逆矩陣。至此，廣義逆矩陣正式誕生，此后的逐步發展也使其具有了廣泛的應用。

2 幾種常見廣義逆矩陣的簡單介紹

我們引用方便的M—P方法來定義廣義逆矩陣：

設任意復數矩陣Amn,如果存在復數矩陣Bnm，滿足M-P方程，即

（1）ABA=A

（2）BAB=B

（3）（AB）H=AB

（4）（BA）H=BA

的全部或一部分，則稱B為A的廣義逆矩陣。由此易推算廣義逆矩陣有15種。在這里，重點研究和介紹五種，即：A-、自反廣義逆Ar-，極小范數廣義逆Am-，最小二乘廣義逆Al-及偽逆矩陣A+。

2.1 A-

滿足方程（1）的記為A-，其重要性質有：

（1）A廣義逆的轉置等于A轉置的廣義逆，即（AT）-=（A-）T；

（2）若復方陣A滿秩，那么A的逆等于A的廣義逆，且A-唯一；

（3）秩（A）≤秩（A-）；

（4）秩（A）=秩（AA-）=秩（A-A）；

（5）線性方程組Ax=b有解（相容）當且僅當AA-b=b。

2.2 自反廣義逆Ar-

滿足方程（1）和（2）的是自反廣義逆。若X、Y都是A的廣義逆矩陣，則Z=XAY是A的自反廣義逆。且形式可表示任何自反廣義逆，其中C、B分別是行滿秩和列滿秩的復數矩陣，且矩陣A（秩為r）的滿秩分解式為A=BC。

2.3 極小范數廣義逆Am-

滿足方程（1）和（4）的是極小范數廣義逆，Am-可以用來求解相容線性方程組Ax=b，且極小范數廣義逆就是極小范數解相對應的廣義逆矩陣。

2.4 最小二乘廣義逆Al-

最小二乘廣義逆滿足方程（1）和（3），特別的是，當求不相容線性方程組Ax=b的最小二乘解時可利用Al-，且G=Al-的充分必要條件是x=Gb是不相容方程組Ax=b的最小二乘解。

2.5 偽逆矩陣A+

全部方程均滿足的是偽逆矩陣，它也有很多重要的性質，如：

（1）（A+）+=A；

（2）（AAH）+=（AH）+A+=（A+）HA+，（AHA）+=A+（AH）+A+（A+）H；

（3）A+=AH（AAH）+=（AHA）+AH

（4）若A是列滿秩矩陣，則A+=（AHA）-1AH。

這五種重要的、常用的廣義逆矩陣所具有的性質在形式上，一定程度地體現了數學之美，更重要的是在系統理論、最優化理論、現代控制理論、數理統計等許多領域有著廣泛的應用，如此也更加推動了人們對廣義逆矩陣的深入研究，使之逐漸發展起來。下面來介紹廣義逆矩陣在科技、生產、生活中的實際應用。

3 廣義逆矩陣在實際中的應用

3.1 廣義逆矩陣在估計OFDM系統信道中的應用

OFDM系統是具有時域和頻域信號的多載波系統,在數學運算的范疇，這兩種信號都可以用序列的形式表示的特點,可以看成是矩陣的運算,因此可以用矩陣論的相關知識來討論和認識OFDM系統。

為了處理問題的方便，我們應用一個很重要的結論，即：卷積可以表示為矩陣向量的相乘,這樣時域序列的卷積就可以由矩陣向量乘積所表示。經過推導可得序列卷積的矩陣形式，并利用兩個序列的變換描述上述結論，得到：HT=H1TH2。廣義逆矩陣的引入和實際應用為人們研究信道對信號的影響開闊了新的思路和新的道路。

3.2 廣義逆矩陣在光學自動設計中的應用

在透鏡的自動設計中，主要存在兩大問題：一是如何處理矩陣病態，二是如何退化和消除相關象差的影響。而廣義逆矩陣便可以對著兩大問題進行統一處理，在處理過程中適當結合阻尼最小二乘法、逐列的正交化方法和一些適宜的算法、程序，將會得到更佳、更高效的處理效果，實用性也隨之增強。

3.3 廣義逆在嵌入式大氣數據傳感系統中的應用

廣義逆在嵌入式大氣數據傳感系統中的應用主要體現在其對系統中的算法進行改進，達到簡化的目的。以Moore-Penrose廣義逆矩陣為基礎，在靜壓、動壓和修正參數方面改進算法，并對其進行了收斂性分析,最后的數字計算驗證由Matlab軟件實現。研究發現，改進算法具有明確的高效性，原來求解逆矩陣所需的迭代過程被避免，只需用原有時間的70%就可以達到同樣的精度。因此，通過改進算法可以提高傳感系統的可靠性、實時性要求和精度。

4 結束語

廣義逆的應用非常廣泛，除以上介紹外，還有基于廣義逆矩陣密鑰協商協方案及修改、求解離散型動態投入產出模型、推導PADE逼近的Pfaffian計算公式、研究線性方程組解的結構及其推廣等等，這些對數學專業學生深入研究高等數學及價值具有重要的引導意義，同時，其性質也體現了廣義逆形式上和應用意義上的數學之美。廣義逆的發展和應用前景美好，它將不斷深入發展，為生產、生活及科技作出更大的貢獻！

[1]姚波,王福忠主編.矩陣論[M].沈陽:遼寧科學技術出版社，2012(08).

[2]林錳主編.矩陣論教程[M].北京：國防工業出版社，2012(08).