初中方程是集式、變形與數(shù)學(xué)思想于一體

王欽林

【摘 要】方程的定義為含有未知數(shù)的等式。在初中階段，主要的學(xué)習(xí)任務(wù)是概念、解法、列方程解決問(wèn)題；在中考考試說(shuō)明中指出，方程既屬于“雙基”考查范圍，又屬于數(shù)學(xué)應(yīng)用能力考查范圍。因此，本文從方程的概念、構(gòu)建、應(yīng)用等方面進(jìn)行闡述，解開學(xué)生思維中的疑惑。

【關(guān)鍵詞】初中方程 代數(shù)式 恒等變形 數(shù)量關(guān)系 建模

希臘數(shù)學(xué)家丟番圖的墓碑上記載著：“他生命的1/6是幸福的童年；再活了他生命的1/12，兩頰長(zhǎng)起了細(xì)細(xì)的胡須；他結(jié)了婚，又度過(guò)了一生的1/7；再過(guò)五年，他有了兒子，感到很幸福；可是，兒子只活了他父親全部生命的一半；兒子死后，他又在極度的悲傷中度過(guò)了四年，也與世長(zhǎng)辭了。”丟番圖是第一位懂得使用符號(hào)代表數(shù)來(lái)研究問(wèn)題的人。方程漫長(zhǎng)的探索之路，值得我們?nèi)ヮI(lǐng)會(huì)它的價(jià)值與意義。方程的定義為含有未知數(shù)的等式。

初中數(shù)學(xué)教材內(nèi)容安排中，從“字母可以表示數(shù)”入門，到認(rèn)識(shí)方程，又到列方程解應(yīng)用題。因此，方程是集初中代數(shù)式運(yùn)算、等價(jià)變形，又集實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的建模思想于一體的重要數(shù)學(xué)符號(hào)之一。

一、初中方程的有關(guān)概念

北師大版數(shù)學(xué)教科書中依序定義了：一元一次方程、分式方程、一元二次方程。

初中方程按代數(shù)式可以劃分為兩類：一類是整式方程，一類是分式方程。整式方程又分為一元一次方程與一元二次方程。以上各類方程，滿足等式兩邊成立的未知數(shù)的值叫作此方程的解。

二、初中方程的構(gòu)建

（一）怎樣認(rèn)識(shí)方程

北師大版教材中的引例問(wèn)題：七年級(jí)，“小穎種了一株樹苗……如果設(shè)x周后樹苗高到1米，那么可以得到方程為 。”八年級(jí)，“有兩塊面積相同的小麥試驗(yàn)田……如果設(shè)第一塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量為x kg，那么第二塊試驗(yàn)田每公頃的產(chǎn)量是 kg。根據(jù)題意，可得方程為 。”九年級(jí)，“一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯……如果設(shè)花邊的寬為x m，那么地毯中央長(zhǎng)方形圖案的長(zhǎng)為___m，寬為 m。根據(jù)題意，可得方程為 。”

從上述各階段實(shí)例可以看出具有下面幾個(gè)特點(diǎn)：

第一，實(shí)例中均設(shè)明未知數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建方程解決問(wèn)題的思路，目的是讓學(xué)生逐漸形成解答數(shù)學(xué)問(wèn)題列方程的理念；

第二，實(shí)例立足于學(xué)生較為熟悉，或是適合年齡階段的問(wèn)題；

第三，每階段都有舉一反三的實(shí)例，由感性認(rèn)識(shí)逐步上升到理性認(rèn)識(shí)，注重歸納分析的方法，使學(xué)生主動(dòng)歸結(jié)出方程的特點(diǎn)，達(dá)到認(rèn)識(shí)方程的目的。

所以，方程概念認(rèn)知過(guò)程中，必須符合學(xué)生思維發(fā)展的特點(diǎn)，循序漸進(jìn)地把方程思想滲透到學(xué)生的認(rèn)識(shí)過(guò)程中。

（二）如何解方程

解方程的方法雖存在差異，但歸根結(jié)底均遵循恒等變形轉(zhuǎn)化法。首先，利用等式的基本性質(zhì)形成了解一元一次方程的方法，其經(jīng)過(guò)一系列恒等變形的過(guò)程，形成解方程的一般步驟，可簡(jiǎn)述為“去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)，把未知數(shù)系數(shù)化為1”，最終把原方程化為形如“x=a”的最簡(jiǎn)形式；其次，去分母，把分式方程恒等變形為整式方程，注意檢驗(yàn)；最后，解一元二次方程的方法并不單一，諸如，有配方法，利用開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化，還有分解因式轉(zhuǎn)化，甚至從配方法中提煉出公式法。

解方程的過(guò)程體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算習(xí)慣的個(gè)體差異，各學(xué)段表現(xiàn)出的問(wèn)題屢見(jiàn)不鮮。如，在移項(xiàng)過(guò)程中，常出現(xiàn)移項(xiàng)忘記變號(hào)；在去括號(hào)、去分母過(guò)程中，常有分配不完全等的問(wèn)題。學(xué)生的“忘性”常被視為技能高低的標(biāo)準(zhǔn)。

在這些問(wèn)題面前，需要教師正視學(xué)生的問(wèn)題，允許學(xué)生犯錯(cuò)，并且引導(dǎo)學(xué)生建立正確的代數(shù)式運(yùn)算，矯正認(rèn)知，樹立運(yùn)算的信心。只有養(yǎng)成良好的運(yùn)算習(xí)慣，才能提高代數(shù)式的應(yīng)用能力，構(gòu)建恒等變形思維。所以，開展有效的幫扶計(jì)劃才是構(gòu)建解方程方法的必要教學(xué)手段。

（三）指導(dǎo)列方程的措施

列方程的核心是準(zhǔn)確領(lǐng)會(huì)數(shù)量關(guān)系。也可以用這樣一個(gè)模式表示列方程思路的核心，即：數(shù)量關(guān)系→列方程。其中，數(shù)量關(guān)系包含大小關(guān)系與變量關(guān)系，方程是依據(jù)問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系構(gòu)建出一個(gè)相等關(guān)系而形成的。

一般，列方程過(guò)程中，設(shè)未知數(shù)是前提，列代數(shù)式是基礎(chǔ)，尋找合適的相等關(guān)系是關(guān)鍵，列代數(shù)式與找相等關(guān)系均依據(jù)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系。例如，兩個(gè)人年齡之間的關(guān)系是大小關(guān)系，長(zhǎng)方形的面積公式是變量關(guān)系。然而，實(shí)例問(wèn)題又多是文字題，學(xué)生難免出現(xiàn)讀題的排斥情緒。針對(duì)此類現(xiàn)象，有如下行之有效的措施：

（1）培養(yǎng)學(xué)生的讀題習(xí)慣。不論問(wèn)題的難易程度，都要要求學(xué)生準(zhǔn)確無(wú)誤讀下來(lái)，切勿丟字或添字。

（2）培養(yǎng)學(xué)生的良好數(shù)學(xué)素質(zhì)，養(yǎng)成不斷探究問(wèn)題的精神。例如，問(wèn)題式教學(xué)法是一種有效的培養(yǎng)措施，把問(wèn)題設(shè)計(jì)成若干小問(wèn)題，滿足不同學(xué)生的需求。

（3）因地制宜的原則，不同水平的學(xué)生完成不同難度的訓(xùn)練題，逐步提高他們各自應(yīng)用方程的能力。

三、初中方程的應(yīng)用建模意見(jiàn)

列方程解決的問(wèn)題有序可循，具有連續(xù)性、遞升性的特點(diǎn)，主要體現(xiàn)在數(shù)列、總數(shù)與個(gè)數(shù)、圖形數(shù)量、商品經(jīng)濟(jì)的數(shù)量、行程問(wèn)題，還有與生活密切的數(shù)量關(guān)系，如車費(fèi)、水費(fèi)、比賽等等。

眾所周知，在教學(xué)中，我們習(xí)慣于這樣一個(gè)總結(jié)：審、設(shè)、列、解、答，有時(shí)需檢驗(yàn)。雖然這樣幾個(gè)關(guān)鍵詞起到了一定的引導(dǎo)，但還是缺少考慮學(xué)生個(gè)體的差異。所以，本文有一些拙見(jiàn)：

（1）鼓勵(lì)學(xué)生大膽使用“未知數(shù)”，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到設(shè)明未知數(shù)是化繁為簡(jiǎn)的解法，未知數(shù)字母可使模糊的數(shù)量變得明了，能夠直接使用；

（2）用我們的經(jīng)驗(yàn)誘導(dǎo)學(xué)生，使他們具有辨明問(wèn)題情境的意識(shí)，培養(yǎng)分類歸納題型的學(xué)習(xí)方式，阻止教條東西的產(chǎn)生；

（3）啟發(fā)或點(diǎn)明大小關(guān)系與變量關(guān)系的區(qū)別，前者是相同意義的數(shù)量，后者是不同意義的數(shù)量，避免混淆亂用；

（4）有意培養(yǎng)學(xué)生的反思意識(shí)，檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否合理。

數(shù)學(xué)，源自于生活，只有通過(guò)合理的教學(xué)方式讓學(xué)生感受到身邊的方程，學(xué)生才會(huì)覺(jué)得它的存在與價(jià)值。因此，實(shí)例題要適度、適量，還要注重解題思維的創(chuàng)新性。

最后，我們共同用方程解決這位偉大數(shù)學(xué)家的年齡，假設(shè)他的年齡為x歲，那么根據(jù)墓志銘可列出一元一次方程，解方程得x=84。所以，享年84歲。他沒(méi)有留給我們多么深?yuàn)W的問(wèn)題，他留給我們一種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，這就是方程思想。