常規之中也有困惑

羅廷江

【摘 要】作為一線教師，高考過后都會對每一道高考題認真研究，靜心體會命題者的初衷，潛心領略大綱對教師、對考生的要求，以及在試題中的體現。細心體會，好的試題，耐人尋味，啟迪思維。

【關鍵詞】高考題；解法；探索研究

題1：（2015年，全國卷II，理科，第17題，12分）

△ABC中，D是BC上的點，AD平分∠BAC，△ABD是△ADC面積的2倍。

這是一道比較常規的三角題，試后了解，很多考生沒有完整解答，常規問題，丟分嚴重。為探尋其中原因，循著學生的思路嘗試解答本題。

先畫示意圖1-1。可設∠BAD=∠DAC=α，AB=c，AC=b。

尋找關系，本題只有兩個主要條件，角平分線與面積比，所以解答的出發點很容易找到。（這也是高考題的一個特點，入手容易！）

由題得：

同樣，利用分解因式（8b2+5）（b2-1）=0，或直接利用求根公式都可以得解；若聯立（2），（3），解法類似。

這些解答，思路自然，但后者運算量較大，加之在考場上時間緊迫，有的考生只能半途而廢，或得出各種錯誤結果。從而也失去了得分的機會！

若注意到，∠B，∠C是目標∠BAD=∠DAC=α是條件，還有另一對角∠ADB，∠ADC互補，則可設∠ADB=β，則∠ADC=π-β。

在△ABD中，由正弦定理，得AB2=AD2+BD2-2AD·BD·cosβ，

（4）+（5）×2，得：2b2+c2=6將c=2b代入，易得b=1。

這正是標準答案！既避開了冗長的思維過程，也避開了繁瑣的運算過程。如此解答，對考生而言，這不僅僅是節約時間的問題了。關鍵是發現兩角互補，并創造性地應用于問題的解答。

由以上的探求，考生不會做或做不完全，可能有如下幾個方面的原因。

（1）運算能力不過關，得到了關系式（方程）也解不出正確的結果，或者運算過程有誤。

（2） 符號化的能力較低， 不會引進和運用簡潔的數學符號。

如本題若不引進α，β，a，b等符號，無疑增加了難度，影響了思維。符號化也是一種能力，是簡潔運算的一個前提，關于這一點，常被學生和老師忽視。

（3）基礎知識不熟悉。

不少考生對角平分線的了解僅僅局限于所分得的兩角相等，從而只得到如前討論的繁瑣解答，而得不到如下的簡潔解答。注意到點D到AB，AC的距離相等，設為h，

（4）創新意識不強，思維僵化，思路受阻，平時學習的力度不夠。

在考試大綱中明確要求考生能“進行獨立的思考、探索和研究，提出解決問題的思路，創造性地解決問題”，而考題“要注重問題的多樣性，體現思維的發散性”。

正如前述對題1不同解法的探討，對不同知識把握程度不同，得到的解答不同，同時也體現不同的能力水平和思維層次。在平時學習中，應當有意識地拓展知識面，特別對主干知識的學習和拓展，注意探索和研究問題解決的思路，培養思維的發散性。對照大綱和說明，注意研究高考試題，以及學生在高考中的表現，就知道我們離高考還有多遠，也知道我們學習數學和數學教學的目標所在。

【參考文獻】

[1]王金戰.數學是怎樣學好的（實戰篇 高中版）吉林教育出版社，2011年4月第1版

[2]毛曉峰.動中有靜 靜中有動——一類幾何問題的巧妙解法[J].中學數學教學，1995年01期

（作者單位：貴州省興義一中）