“情景—探究式”教學在數理統計教學中的應用探析

朱四如 陳蘭花

【摘要】在簡述“情景-探究式教學法”的內涵、實施方法和注意事項的基礎上，以數理統計學點估計知識的應用為目標，以具體實例為設置情景，詳細介紹了點估計方法的應用。

【關鍵詞】點估計 情景-探究式教學 估計量評選標準

【中圖分類號】G71 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2015）09-0214-02

點估計[1]是參數估計重要方法之一，其理論相對簡單，實施較為簡便。但在具體應用時，會出現一些困難，主要有：一是學員不知如何運用點估計方法解決實際問題，二是在多個統計量的選取中，學員不知如何選取出合適的統計量進行點估計。對此，本文引入情景-探究式教學方法，以具體實例（二戰期間盟軍估計德軍某型坦克數量問題[2]）為載體，從對估計量的選取、估計量評選標準入手，詳細介紹點估計方法的運用，希望借此拋磚引玉，激發學員的學習興趣，加深學員對知識的理解，增強學員解決實際問題的能力，培養學員科學的研究方法和嚴謹的治學態度。

所謂情景-探究式教學，是指通過設定與授課內容和學員興趣相符的模擬情景、依據教學目標教學任務設置一些相應的問題、引導學員參與探究，并隨著問題的一個個解決使學員在探究過程中體驗樂趣、收獲知識和感受知識的價值，從而為樹立正確的世界觀、價值觀和人生觀奠定一定的情感基礎。

實施該教學法，一是要堅持合理適度的原則，注重啟發誘導學員達到預期效果；二是要結合學員的理解能力、思維方式和專業背景等因素進行情景設置，切忌脫離學員學情、只圖場面熱鬧而不能激發其學習興趣和參與熱情的情景設置，難以達到教學目標；三是教師要深諳教學內容、教學目標和教學要求，把握教學重點，本著循循善誘探究問題、循序漸進開展教學的思路，巧用多媒體動畫、圖片展示等手段，由淺入深設置問題，在教師的引導下讓學員自己探索、歸納、總結，形成自己的“知識構建”，從而完成教學任務。

下面，根據情景-探究式教學的基本思想，以點估計的應用為例，進行教學實踐。

1.教學目標的確立

通過前面章節的學習，學員從理論層面上基本掌握點估計的概念、常用點估計的方法以及點估計的評選標準等。但運用起來略顯抽象，尤其是針對某些具體問題，經常出現不知如何利用樣本數據來估計總體參數。為此，教學目標可確立為：

知識目標：全面加深對點估計的概念、估計量評選標準等知識理解，通過在實際問題中的應用掌握點估計方法。

能力目標：通過對“二戰期間盟軍估計德軍坦克數量”問題的研究，培養學員分析問題和解決問題的能力；通過對估計量的選取、估計量評選標準的逐步深入討論，培養學員科學的研究方法和嚴謹的治學態度。

情感目標：通過對案例的分析和解決，激發學員學習興趣，提高學習積極性，感受數學的魅力。

2.教學流程的展示

本次課的教學流程：

教學實施流程圖

首先，創設坦克數量估計問題情境，分析特征，追根溯源，引出本課研究課題。

其次，從點估計中關于估計量的選取出發，分析抽象，給出估計的方法。

然后，在研究多個估計量的選取時，引出估計量評選標準的應用。

最后，圍繞問題解決的效果，說明數學的魅力。

3.創設情境，激發學習興趣

設置“二戰期間盟軍估計德軍坦克數量”情境，通過逐步展示，讓學員感受到概率論與數理統計的重大意義和實際作用，激發學員的學習興趣。

出于戰略需要，盟軍希望知道二戰期間德軍總共制造了多少輛某型坦克。德國人在制造坦克時是墨守成規的，常把坦克從1開始連續編號，即1、2、3、…、N。在戰爭進行過程中，盟軍繳獲了一些敵軍坦克，并記錄了它們的生產編號。問題出現了：怎樣用這些號碼來估計出坦克總數呢？

4.問題牽引，提升數學能力

以“如何估計”，“是否是好的估計”，“如何改進”等問題為牽引，展開對點估計層層深入的討論，提高學員邏輯思維水平，培養數學能力。

4.1問題分析

這是一個參數估計問題中，在這個問題中，總體參數是未知的，生產出的坦克總數N，假設N很大，從而總體可近似看作是均勻分布。

而繳獲坦克的編號則是樣本（n個）。樣本按從小到大的順序編號為：X1，X2，…，Xh，其中Xh表示記錄的最大編號。

制造出來的坦克總數肯定大于等于記錄中的最大編號。

4.2問題解決

為了找到它比最大編號大多少，

方法一：先找到被繳獲坦克編號的平均值，認為這個值是全部編號的中點，即有■=■■Xi，則樣本均值乘以2就是總數的一個估計■=2X；當然特別要假設繳獲的坦克代表了所有坦克的一個隨機樣本。

這種估計N的公式的缺點是不能保證均值的2倍一定大于記錄中的最大編號。

方法二： N的另一個點估計公式是用觀測到的最大編號乘以因子1+1/n，其中n是被繳獲坦克的個數，則有估計■=■Xh。

例如，俘獲了10輛坦克，其中最大編號是50，那么坦克總數的一個估計是（1+1/10）×50=55。此處我們認為坦克的實際數略大于最大編號。

4.3結果探究

總體參數是未知的生產出的坦克總數N，而繳獲坦克的編號則是樣本（n個）。樣本編號為：X1，X2，…，Xh。

點估計的結果：■=2X，■=■Xh；由于E[2X]=N，

E■Xh=N，

這兩種方法結果都是無偏估計[1]，但D[2X]=■N2，

D■Xh=■N2，當n>2時，有D■Xh這種方法的各種變形的確用于二戰之中。從戰后發現的德軍記錄來看，盟軍的估計值非常接近所生產的坦克的真實值。

更有趣的是這種統計估計比通過其它情報方式做出估計要大大接近于真實數目。統計學家做得比間諜們更漂亮[2]。

5.結論

本文以點估計應用為例，詳細介紹了情景-探索教學法的實施過程，是一個初步的嘗試，然而數理統計中并非所有的章節內容都適合使用此教學法，需要具體內容具體對待，選擇合適的教學法是教育者需要持續深入探討的課題。

情景-探究式教學方法對有效提高教學質量、提升學員學習能力作用顯著，但是一定要恰當使用，合理特定情景的設定是情景-探究教學的關鍵；精心設置每一個問題和環節是情景-探索教學的手段；學員積極參與知識發現過程是情景-探索教學的本質目標。本文所進行的探索，相信對開展相關學科的教學具有一定的指導和借鑒意義。

參考文獻：

[1]盛驟 謝式千等，《概率論與數理統計及其應用》[M]，北京：高等教育出版社，2010

[2]（美）埃維森，《統計學》[M]，北京：高等教育出版社，2000