基于模擬退火粒子群優化的恒模算法*

孔珊珊，李秀霞

0 引言

在短波信道中，由于各種復雜因素導致信號在接收端會產生嚴重的碼間干擾。碼間干擾現象嚴重影響了短波通信系統的性能，造成極高的誤碼率，使接收端無法接收正確的信號，而均衡技術是消除碼間干擾問題的重要手段。傳統的自適應均衡技術的實現首先需要周期性地發送已知的訓練序列，根據已發送的訓練序列來調節均衡參數，之后再發送信息序列。短波信道是一個時變突發性強的信道，要實現短波信道的均衡需要及時并頻繁的發送已知的訓練序列，可見傳統的自適應均衡算法已經不能滿足短波信道均衡的需要。而盲均衡技術不需要訓練序列只依靠接受序列本身的特性就可獲得與信道相匹配的參數，實現信道補償，因此盲均衡技術能夠很好完成短波信道的均衡。恒模算法(Constant Modulus Algorithm，CMA)［1－2］是最常用的一種盲均衡算法。恒模盲均衡算法由于具有計算簡單、收斂性好、易于實時實現、有效性高等優點，被廣泛應用于多種通信系統中。

對于傳統的CMA算法，存在收斂速度和剩余誤差之間的矛盾，即步長大，則收斂速度快，但穩態剩余誤差大;步長小，則收斂速度慢，但穩態剩余誤差小［3］。針對這一矛盾，本文提出一種步長隨著誤差和迭代次數而變化的CMA算法。粒子群優化算法(PSO)是基于群體智能理論的優化算法，通過種群中粒子間的合作與競爭產生的群體智能指導優化搜索，收斂速度較快［4］。為了進一步加快算法的收斂速度，本文利用PSO算法對均衡器的權向量進行優化。但是PSO算法在尋優的過程中容易陷入局部最優，針對PSO優化算法的這一特點，引入模擬退火算法［5－6］(Simulated Annealing，SA)，SA 算法不僅能接收好的解，而且還能夠接收不好的解，是一種具有很強的概率突跳能力的算法，在尋優過程中能夠避免陷入局部極小值。SA算法和PSO算法相結合，能夠增強算法的搜索能力，提高算法的收斂速度。

1 恒模盲均衡算法

Bussgang類盲均衡算法的核心是構建一個代價函數和一個非線性控制函數，然后利用某種算法尋找目標函數的最小值。不同的Bussgang算法對應不同的無記憶非線性函數。Bussgang類盲均衡器的原理框圖［7］如圖1所示。

圖1 Bussgang類盲均器的原理框圖Fig．1 Bussgang blind equalizer diagram

圖1 中，x(n)代表輸入信號，v(n)代表噪聲信號，h(n)代表基帶信道的沖擊響應，y(n)代表均衡器的輸入，?x(n)代表均衡器的輸出，^x(n)代表估計信號，dec(．)代表量化判決裝置，e(n)為?x(n)和^x(n)之間的誤差，g(．)代表無記憶非線性函數。Bussgang盲均衡器采用一個無記憶非線性估計函數g(．)，盡可能使^x(n)=g［?x(n)］成立。

Bussgang類盲均衡算法的權系數迭代公式為:式(1)中，μ表示步長因子，一般μ取足夠小的正常數。CMA的代價函數為:

CMA的權系數迭代公式為:由式(3)可知，固定步長μ是CMA的影響參數。當步長取不同值時，算法的收斂性能不同，步長是影響CMA性能的重要指標。當步長μ取值較大的時候，收斂速度快，但均方誤差大;當步長μ取值較小的時候，收斂速度慢，但均方誤差小。因此可以得出，固定步長的CMA在收斂速度和穩態剩余誤差之間存在著矛盾，從而影響CMA的性能。

2 基于SAPSO優化的變步長CMA算法

2． 1 變步長CMA算法的提出

利用變步長代替固定步長，能夠克服傳統CMA算法在收斂速度和收斂精度之間的矛盾，提高均衡性能。變步長CMA算法的基本思想是在算法迭代的初期階段采用較大的步長，加快收斂速度，等到算法收斂后，采用較小的步長，降低穩態剩余誤差，提高算法的性能［8］。

為了解決步長變化的問題，本文構建了基于誤差信號和迭代次數的變步長CMA算法。基于誤差信號的CMA算法的步長隨著誤差信號的變化而變化，誤差信號的大小在收斂的條件下隨著迭代次數的增加而減小，通過誤差信號控制步長因子;基于迭代次數的CMA的步長隨著迭代次數的增加而逐漸減小，將誤差信號和迭代次數綜合起來控制步長因子，可以很好地解決算法在開始收斂階段和收斂后所需步長的要求，進而提高算法的性能［9－10］。其變步長公式為:

式(4)中，μ代表步長因子，參數n代表算法的迭代次數，參數 α、β、ρ、k1、k2k3、c 均為步長的調整因子。當迭代次數n大于0小于等于50時，步長采用公式(5)，即基于迭代次數的變步長;當迭代次數n大于等于50時，步長采用公式(6)，即基于誤差函數的變步長。

此時CMA的權向量更新公式為:

同時，為了確保算法具有良好的收斂性和穩健性，步長因子必須滿足:

式(8)中，R為均衡器輸入信號的自相關矩陣，tr(R)為自相關矩陣的跡。步長因子在調整的過程中必須滿足(8)，否則，不予處理，直接進行下一步迭代。

2． 2 SAPSO優化的CMA

基于誤差和迭代次數的CMA算法只是對步長進行了改進，為了進一步提高此算法的性能，考慮利用均衡器的權向量因素對均衡器的權向量進行優化。PSO算法是一種基于迭代的優化工具，能夠全方位的搜索最優解是解決最優問題的智能算法。利用PSO算法對變步長CMA算法的權向量進行初始化，以找到最優的初始化權向量加快算法的收斂速度。但是PSO算法具有易陷入局部最優的缺點，并且在收斂后期收斂速度變慢，收斂的精度變差。因此我們將SA算法引入到PSO算法中，SA算法具有很好的突跳能力，可以避免粒子群陷入局部最優［11－12］。將SA算法和PSO算法結合起來使用，不僅能夠加強CMA算法的尋優能力，而且還克服了算法在搜索過程中陷入局部極值的缺陷。

設隨機產生的初始化粒子群中每一個粒子作為均衡器的一個權向量，以變步長恒模算法的代價函數的倒數作為模擬退火粒子群算法的適應度函數。基于SAPSO優化的變步長CMA算法的具體操作步驟如下:

Step1:隨機初始化種群中各粒子的位置和速度分別為:

Step2:記錄當前各個粒子的位置和適應度值個體極值pbest，即pi，并記整個種群中全局最優解pg;

Step3:確定初始溫度t0

Step4:根據下列公式確定當前溫度下各pi所對應的是配置:

Step5:使用輪盤賭策略從所有的個體極值中尋找全局最優的替代值pg，然后用以下兩個公式更新粒子的速度和位置:

Step6:確定各粒子的目標值，記錄各粒子的pi和pg;

Step7:退溫;

Step8:如果滿足所解決問題的調件則停止搜索。

步驟Step1到Step8中，c1、c2和w算法的參數，其中c1和c2是學習因子，w是慣性權重。通過不斷更新其個體極值和全局極值的位置，找到最大的適應度值，最大適應度值所對應的權向量就是變步長CMA算法的最優的權向量，將最優化的權向量作為基于模擬退火的粒子群優化的變步長CMA算法的初始權向量。

3 實驗仿真及分析

基于Watterson短波信道模型環境下驗證本文提出算法的有效性，利用MATLAB的Simulink模塊建立Watterson短波信道模型如圖2所示。

圖2 Watterson等效短波信道模型Fig．2 An equivalent Watterson HF channel model

設置濾波器有11個抽頭，多普勒擴展取為10 Hz，輸入信噪比為50 dB。從圖2產生的信號供M文件應用。模擬退火算法中初始溫度的選擇和退溫方式的設定對算法具有不可忽略的作用。在此選擇初始溫度為t0=f(pg)/ln5，退火的方式設置為t=t+lamda，其中lamda為退火常數。從圖2產生的信號供M文件應用，經過短波信道以后的輸出信號作為均衡器的輸入，對此信號進行均衡。經過多次的仿真實驗，當新算法的主要參數設置適當時(如表1)，算法的均衡性能達到最好。

表1 主要參數的取值Table 1 Value of the Main Parameters

在上面環境的下，得到固定步長的CMA算法(μ=0．05)、本文提出的變步長 CMA算法和基于SAPSO優化的變步長CMA算法的收斂曲線圖見圖3。

圖3 三種算法的算法收斂曲線Fig．3 Convergence curve of the three algorithms

從圖3中我們可以明顯的看出，在收斂速度近乎相同的情況下，變步長CMA收斂后的均方誤差明顯低于傳統的CMA算法的均方誤差;基于SAPSO優化的變步長CMA算法與變步長CMA算法相比，不僅收斂后的均方誤差降低，而且加快了收斂速度，在迭代前幾次的時候就開始收斂并且趨于穩定。各種算法的均衡性能詳見表2。

由表2可看出，加粗字體的數值都要比沒加粗字體的數值小，說明在同一迭代次數下，變步長CMA和基于SAPSO優化的CMA的均方誤差都要比出傳統CMA的均方誤差低;在第10次迭代時，基于SAPSO優化的CMA算法的均方誤差也明顯低于變步長CMA算法的均方誤差，并且可以看出基于SAPSO優化的變步長CMA算法的均方誤差從10次迭代就近乎趨于穩定，并且明顯低于前兩種算法的數值。

表2 迭代次數所對應三種算法的均方誤差Table 2 Three algorithms corresponding to mean square error table based on the number of iterations

綜合圖3、和表2考慮，可以得出，變步長CMA算法和基于SAPSO優化的變步長CMA算法的性能都優越于傳統的CMA的性能，其中，利用SAPSO算法優化后的變步長CMA算法的均衡效果最好。通過大量的實驗驗證了本文所提出的兩種算法的有效性。

4 結語

恒模算法是通信系統中最為廣泛采用的盲均衡算法，由于其收斂速度和收斂精度之間存在相互制約的缺點，使得它的均衡性能受到限制。變步長CMA算法，解決了收斂速度和收斂精度之間的矛盾。本文構建了基于迭代次數和誤差信號相結合的變步長 CMA，并且將SAPSO算法引入到變步長CMA。通過 MATLAB軟件對提出的兩種算法在Watterson短波信道中進行了仿真驗證，對比分析:變步長CMA算法和基于SAPSO優化的變步長CMA算法的均衡性能都明顯優于傳統的CMA盲均衡算法。

［1］ GODARD D N．Self－Recovering Equalization and Carrier Tracking in Two－dimensional Data Communication Systems［J］．IEEE Trans Commun，1980，28(11):1867 －1875．

［2］ TREICHIA R JR，AGEE B．A New Approach to Multipath Correction of Constant Modulus Signals［J］．IEEE Trans ASSP，1983，31(2):459－471．

［3］ 蔡理金．CMA算法盲均衡性能分析［J］．通信技術．2011，12(44):19－23．

CAI Li－jin．Analysis on Blind Equalization Performance of CMA Algorithm［J］．Communications Technology．2011，12(44):19－23．

［4］ 劉衍民．粒子群算法的研究及應用［D］．濟南:山東師范大學，2011．

LIU Yan－ min．Research of Particle Swarm Optimization and Its Application［D］．Jinan:Shandong Normal University，2012

［5］ 高鷹，謝勝利．基于模擬退火的粒子群優化算法［J］．計算機工程與應用．2004，(1):47－50．

GAO Ying，XIE Sheng － li．Particle Swarm Optimization Algorithms Based on Simulated Annealing［J］．Computer Engineering and Applications．2004，(1):47－50．

［6］ 劉漢婕．基于模擬退火的粒子群改進算法的研究與應用［D］．北京:華北電力大學，2012．

LIU Han－jie．Research andApplication of Modified Particle Swarm Optimization Algorithms based on Simulated Annealing［D］．Beijing:North China Electric Power University，2012．

［7］ 岳蕾．Bussgang類盲均衡算法研究［D］．西安:長安大學，2008．

YUE Lei．Bussgang Blind Equalization Algorithm ［D］．Xi'an:Chang'an University，2008．

［8］ 高麗娟，趙洪利，蔣太杰．一種改進的變步長常模算法［J］．電子與信息學報．2007，29(2):283－286．

GAO Li－ juan，ZHAO Hong － li，JIANG Tai－ jie．A Modified Variable Step Size Constant Modulus Algorithm［J］．Journal of Electronics ＆ Information Technology．2007，29(2):283－286．

［9］ 孫俊香，趙繼印．基于迭代次數變步長的LMS算法在

ECG信號提取中的應用［J］．現代商貿工業．2007，19(11):280－282．

SUN Jun－xiang，ZHAOJi－yin．Application of the ECG Signal Extraction Based on the Number of Iterations Variable Step－size LMSAlgorithm［J］．Modern Commerce Industry．2007，19(11):280－282．

［10］ 于霞，劉建昌，李鴻儒，一種變步長凸組合自適應濾波器及其均方性能分析［J］．2010．38(2):280－284．

YU Xia，LIU Jian － chang，LI Hongru．A Convex Combination of Variable Step－size Adaptive Filter and Its Mean － Square Performance Analysis［J］．2010．38(2):280－284．

［11］ 龔純，王正林．精通MATLAB最優化計算［M］．電子工業出版社．2012:270－309．

GONG Chun，WANG Zheng － lin．Proficient MATLAB Optimization Calculation［J］．Publishing House of Electronics Industry．2012:270－309．

［12］ 劉志峰，楊德軍，顧國剛．基于模擬退火粒子群優化算法的拆卸序列規劃［J］合 肥 工 業 大 學 學 報．2012．32(2):161－166．

LIU Zhi－feng，YANG De－jun，GU Guo－gang．Disassembly Sequence Planning Based on Particle Swarm－Simulated Annealing Optimization［J］．Journal of Hefei University of Technology．2012．32(2):161 －166．