小角度擴(kuò)展相關(guān)性近似算法分析*

李峻松，周 杰，菊池久和

0 引言

現(xiàn)代所討論的多天線MIMO(Multiple Input Multiple Output)系統(tǒng)，不同于以前用于無線通信中傳統(tǒng)的智能天線。智能天線的概念源于軍事和聲吶系統(tǒng)中采用的自適應(yīng)陣列天線，是利用信號傳輸?shù)目臻g特性自適應(yīng)地控制波束成型，調(diào)整天線陣列的方向圖跟蹤強(qiáng)信號，減小或抵消干擾信號，提高信噪比，降低信號發(fā)射功率，提高系統(tǒng)容量。MIMO系統(tǒng)的核心是利用空時信號處理，即在原來時間維的基礎(chǔ)上，通過使用多副天線來增加空間維，從而實(shí)現(xiàn)多位信號處理，獲得空間復(fù)用增益或空間分集增益，因此MIMO技術(shù)可認(rèn)為是智能天線技術(shù)的一種擴(kuò)展，具有傳統(tǒng)智能天線的優(yōu)點(diǎn)［1］。因?yàn)镸IMO系統(tǒng)的數(shù)據(jù)經(jīng)過的是矩陣信道而非矢量信道，這就為改善系統(tǒng)性能和提高數(shù)據(jù)速率提供了更大的可能。MIMO多輸入多輸出系統(tǒng)就成了近年來在無線移動通信中的一個重大突破，在Blast實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)、WCDMA系統(tǒng)、CDMA2000系統(tǒng)、無線城域網(wǎng)IEEE802．16系列以及下一代無線蜂窩系統(tǒng)B3G/4G系統(tǒng)中均已采用或計劃采用MIMO多天線技術(shù)。

影響無線通信系統(tǒng)中信息可靠傳輸?shù)闹饕蛩兀皇嵌鄰叫?yīng)所引起的時延擴(kuò)展，二是信道時變性所引起的頻譜擴(kuò)展，三是空間相關(guān)性所引起的角度擴(kuò)展［2］。所有因素的限制都使得在無線衰落環(huán)境中需要付出更多的代價。研究主要談?wù)揗IMO相關(guān)信道的物理模型和統(tǒng)計模型，物理模型研究中，使用的模型要反映信道中的物理散射情況［3－4］，Saleh－Valenzuela模型部分基于信道物理特性，使用信號的幅度、到達(dá)時間和AOA/AOD(到達(dá)角/離開角)來表示多徑分量。基于統(tǒng)計的信道模型并不依賴物理傳播環(huán)境中特定散射情況，直接對信道參數(shù)進(jìn)行建模去仿真物理信道3種小尺度衰落:時延擴(kuò)展、多普勒擴(kuò)展和角度擴(kuò)展。對角度擴(kuò)展建模的問題實(shí)際就是信道的相關(guān)性如何建模的問題。相關(guān)性系數(shù)作為天線參數(shù)的函數(shù)主要取決于到達(dá)角的功率方位譜和天線的信號發(fā)射模式［5－7］。

本論文提出一種在多天線MIMO信道相關(guān)性建模中小角度擴(kuò)展近似理論算法，并應(yīng)用于分析MIMO系統(tǒng)性能。分析中分別對高斯角能量分布、拉普拉斯角能量分布和均勻角能量分布等三種不同角能量分布情況下的空間相關(guān)性研發(fā)快速近似計算法，并同時提出雙模角能量分布情況下的近似運(yùn)算。通過分析這些新方法的近似效率，可以得到計算簡單、復(fù)雜度低、而且符合實(shí)際的MIMO相關(guān)信道矩陣，對系統(tǒng)級的快速高效計算法的研究和系統(tǒng)級的評估以及誤差分析具有重要的意義。

1 MIMO接收信號衰落相關(guān)性理論

在實(shí)際無線通信環(huán)境中，由于存在電磁波信號的反射物體，多天線MIMO系統(tǒng)性能受空間相關(guān)性影響較大。空間相關(guān)性計算依賴于入射信號AOA、信號功率譜結(jié)構(gòu)PAS以及天線陣列單元排列結(jié)構(gòu)等因素影響。本文中考慮系統(tǒng)模型如圖1所示［8］。

再假設(shè)多路信號以某種功率譜、以一定的信號到達(dá)角到達(dá)接收天線陣，而且具有成簇特征。對于點(diǎn)對點(diǎn)單用戶MIMO信道矩陣可表達(dá)為［9］

式中，Hi為N*M復(fù)高斯變量矩陣，各高斯變量具有零均值，方差為1的隨機(jī)變量。Rr和Rt分別為系統(tǒng)接收端和發(fā)射端的信號衰落相關(guān)矩陣。如果考慮圖1中線性陣列，考慮P為給定信道抽頭的多徑數(shù)目，()s t為接收復(fù)包絡(luò)信號，gi()t為第i信道的隨機(jī)衰落系數(shù);為歸一化的天線陣列間距，d為天線陣列間距，λ為波長;φ0為中心到達(dá)角。在天線陣列m單元的接收信號可表達(dá)為［10］

假設(shè)各到達(dá)信號角(AOA)均獨(dú)立，得天線陣列單元mth與nth間的相關(guān)性可表達(dá)為［10］

式中p(φ)為概率密度函數(shù)。

圖1 線性和圓環(huán)多天線MIMO陣列結(jié)構(gòu)Fig．1 Linear and circular multi－ antenna MIMO array structure

本論文綜合考慮均勻(Uniform)、高斯(Gaussian)和拉普拉斯(Laplacian)分布，在前人的大量研究基礎(chǔ)上，進(jìn)一步深入全面研究空間相關(guān)性精確和近似算法、MIMO信道建模以及算法精確度評估。

考慮相關(guān)函數(shù)的拉普拉斯分布為［6］

把式(4)代入相關(guān)性計算式(3)中，經(jīng)過推導(dǎo)、整理，可得拉普拉斯分布條件下的相關(guān)性系數(shù)Rmn精確計算式如下［11］:

式中Jk為k階第一類貝塞爾函數(shù)。

類似地，考慮相關(guān)函數(shù)的高斯分布、均勻分布分布為［6，9］:

其中 θ∈ [φ0－Δ，φ0+Δ ]。把式(6)(7)代入式(3)中，計算得出兩種分布下相關(guān)性系數(shù)Rmn的精確計算式。

高斯分布下:

均勻分布下:

圖2 不同分布下空間相關(guān)性精確結(jié)果隨間距波長比d/λ變化情況(σ =15°，φ0=45°)Fig．2 Exact spatial correlations versus ratio of distance to wavelength with different distributions(σ =15°，φ0=45°)

圖3 不同系數(shù)的高斯分布下空間相關(guān)性精確結(jié)果隨間距波長比變化情況Fig．3 Exact spatial correlations versus ratio of distance to wavelength with Gaussian distribution

圖2 為在 σ =15°，φ0=45°時不同分布下空間相關(guān)性精確結(jié)果隨間距波長比d/λ變化情況，可以看出高斯分布條件下較為樂觀(較低的相關(guān)性)。同時由圖3可以看出，在相同距離和AOA條件下，σ越小，空間相關(guān)性越高;相同距離和σ條件下，AOA越大，空間相關(guān)性越高。這一特性同樣適用于其他分布情況下［12］。

2 MIMO衰落相關(guān)性近似算法

各分布下相關(guān)性的精確計算式(5)(8)(9)顯得復(fù)雜，要獲得精度較高的結(jié)果，累加技術(shù)須取得較大。為控制和降低計算復(fù)雜度，獲得較好的近似結(jié)果，可在Δ取較小時的情況下，采取近似算法對式(5)(8)(9)進(jìn)行化簡，簡化算法復(fù)雜度、提高算法精度，以及對后續(xù)MIMO性能評價影響都值得研究和探討，結(jié)果對MIMO信道建模與系統(tǒng)性能仿真都具有重要的意義。

在角度擴(kuò)展角Δ較小的情況下，可使用近似式cosΔ=0、sinΔ=Δ。拉普拉斯分布情況下，把該近似式代入式(5)，再對其化簡整理，相關(guān)性系統(tǒng)Rmn可得

如果再從相關(guān)性系數(shù)定義式(3)來看，在Δ較小時，拉普拉斯分布域?yàn)椋郏校校蓍g，參考文獻(xiàn)［13］，經(jīng)推導(dǎo)簡化，相關(guān)性系數(shù)表達(dá)式(5)可簡化為

同理對高斯分布和均勻分布情況下的相關(guān)性系數(shù)計算公式進(jìn)行簡化，可得

高斯分布下:

均勻分布下:

圖4 不同分布下空間相關(guān)性近似結(jié)果隨間距波長比變化情況(σ =15°，φ0=45°)Fig．4 Approximate spatial correlations versus ratio of distance to wavelength with different distributions(σ =15°，φ0=45°)

圖4 為在 σ =15°，φ0=45°時不同分布下空間相關(guān)性近似結(jié)果隨間距波長比d/λ變化情況，與圖2顯示的相關(guān)性精確結(jié)果相對比，誤差的變化顯示在圖5中。由圖5可見高斯分布和拉普拉斯分布下的相關(guān)性近似計算具有良好的相似性，能得到誤差較小的結(jié)果。而均勻分布下的近似計算由于三角函數(shù)特性所產(chǎn)生的振蕩，導(dǎo)致在距離較大時才能得到相對精確的近似值。不同的角度擴(kuò)展和AOA情況下近似效率也有所區(qū)別。由于近似的條件是小角度擴(kuò)展情況下，所以當(dāng)角度擴(kuò)展增大時近似效率會顯著降低，同時AOA的增大也會導(dǎo)致近似效率的下降，這一點(diǎn)在圖6中體現(xiàn)了出來。

圖5 不同分布下空間相關(guān)性近似結(jié)果與精確值間的誤差變化情況(σ =15°，φ0=45°)Fig．5 Deviations between exact and approximate spatial correlations with different distributions(σ =15°，φ0=45°)

圖6 不同系數(shù)的高斯分布下相關(guān)性近似結(jié)果與精確值間的誤差變化情況Fig．6 Deviations between exact and approximate spatial correlations with Gaussian distribution

3 雙模分布情況及近似算法

實(shí)際情況中MIMO信道常為多簇的情況，因此角分布可能為多模的情況。在此我們考慮雙模分布下的相關(guān)性計算及其近似算法。

首先設(shè)角能量分布為兩個拉普拉斯分布的疊加［14］，即

其中φ1、φ2分別為兩個獨(dú)立分布的中心到達(dá)角。在Δ較小時，經(jīng)推導(dǎo)計算得

類似的，可以推導(dǎo)得到高斯、均勻雙模分布下的相關(guān)性近似公式:

高斯雙模分布下:

圖7是雙模分布下空間相關(guān)性近似結(jié)果與精確值間的誤差變化情況，因?yàn)橄嚓P(guān)方程與受到由于與另一分布的中心到達(dá)角不同而產(chǎn)生振蕩的單模分布情況十分類似，故誤差變化情況也與圖5所顯示的類似。此外通過仿真得出當(dāng)兩簇AOA相近時，振蕩幅度小，近似效率較高;反之則近似效率較低［14］。

圖7 雙模分布下空間相關(guān)性近似結(jié)果與精確值間的誤差變化情況 (σ1=15°，φ1=45°;σ2=10°，φ2=15°)Fig．7 Deviations between exact and approximate spatial correlations with different bi－modal distributions(σ1=15°，φ1=45°;σ2=10°，φ2=15°)

4 MIMO衰落信道遍歷容量分析

信道遍歷容量是按照所有的信道實(shí)現(xiàn)平均化后的最大可傳輸速率，它只取決于MIMO多天線信道矩陣 ^H的分布情況。為達(dá)到由遍歷容量所得速率，要求發(fā)送端在功率約束的條件下優(yōu)化信道協(xié)方差矩陣，結(jié)合式(1)則可得遍歷容量為［15］

其中Rx為輸入?yún)f(xié)方差矩陣，Tr( Rx)為協(xié)方差矩陣Rx的跡;ρ為發(fā)送信號信噪比，B為信道帶寬，IM為M維單位矩陣，M是用戶端天線陣列單元數(shù)。為使信道遍歷容量最大化，最優(yōu)的策略是將功率平均分配到每個發(fā)送天線上，即遍歷容量最大化的輸入?yún)f(xié)方差矩陣為，其中S為基站天線陣列單元數(shù)。此時信道遍歷容量為［15］

圖8為在σ=15°，φ0=45°時不同分布下遍歷容量隨間距波長比d/λ變化情況，圖中Uniapx，Gauapx，Lapapx分別表示均勻分布、高斯分布和拉普拉斯分布的近似情況。由圖中可以看出，信道遍歷容量隨空間相關(guān)性的降低而增大，當(dāng)空間相關(guān)性趨近于0時遍歷容量達(dá)到最大。在各分布情況下容量大小相差極小，且高斯分布和拉普拉斯分布的近似計算具有非常好的效率。均勻分布的近似在距離較近時會有較大的誤差，該誤差隨著距離的增大而減小，最后與精確結(jié)果趨于一致。

圖8 不同分布下遍歷容量隨間距波長比d/λ變化情況(σ =15°，φ0=45°，ρ=10dB)Fig．8 Ergodic capacity versus ratio of distance to wavelength d/λ in different distributions(σ =15°，φ0=45°，ρ=10 dB)

5 結(jié)語

本文本論文提出一種在多天線MIMO信道相關(guān)性建模中小角度擴(kuò)展近似理論算法，通過運(yùn)算評估了不同角分布條件下的近似效率。該算法在高斯分布、拉普拉斯分布下具有良好的近似性，近似誤差不超過±0．1。均勻分布下由于函數(shù)的振蕩特性導(dǎo)致結(jié)果并不理想。近似效率受角度擴(kuò)展和中心到達(dá)角的共同影響，隨角擴(kuò)展和中心到達(dá)角的擴(kuò)大而降低。雙模分布下的相關(guān)性近似效率亦受到雙簇不同的中心到達(dá)角AOA影響，當(dāng)其相近時近似誤差較小，反之較大。衰落信道遍歷容量隨著天線陣列單元間距的增大而減小，在空間相關(guān)性趨于0時達(dá)到最大。仿真結(jié)果顯示本算法在信道容量估計上具有非常好的近似精確度，有效拓展了空間相關(guān)性計算及其對MIMO信道影響的研究。

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