基于一種新型相模變換矩陣的故障定位研究

甘燕，邢哲鳴

(1.三峽大學電氣與新能源學院，湖北 宜昌 443000;2.國網金華供電公司，浙江 金華 321000)

1 引言

因為互感和相間分布電容以及對地分布電容，電力系統各相線間存在復雜的電磁耦合現象，以致在求解三相輸電線路波動方程時面臨困難。為了解除各相線之間的耦合關系，簡化求解過程，相模變換技術應運而生。凱倫貝爾(Karenbauer)變換和克拉克(Clarke)變換是目前應用最為廣泛的兩種相模變換，它們不僅適用于頻域分析，還適用于暫態時域分析[1]。經分析發現，現有相模變換矩陣的致命缺陷是單一模量不能反映所有類型的故障[2－4]，即必須同時使用兩種模量才能適用所有故障類型。因此，使得保護算法的計算量大大增加，從而影響保護的動作速度。

考慮到現有相模變換矩陣的不足，結合三相輸電線路均勻換位情況下變換矩陣的數學性質，本文構造出了一種新型的相模變換矩陣，實現了單一模量反映所有類型的故障的目的。

1 相模變換原理

三相電壓 uA、uB、uC和三相電流 iA、iB、iC構成的變量空間稱為相變量空間，1模電壓電流(u1、i1)、2模電壓電流(u2、i2)和0模電壓電流(u0、i0)對應的變量空間稱為模變量空間。那么相模變換的表達式為:

式中，矩陣S為相模變換矩陣，相模變換后，1模、2模、0模各分量之間不存在耦合關系，波動方程參數矩陣化為對角矩陣。

2 常用相模變換及存在的問題

2.1 凱倫貝爾(Karenbauer)變換

凱倫貝爾相模變換矩陣為:

三相電流經相模變換后可得:

考慮到0模電流分量i0是在導線與大地之間傳播，其回路參數受接地情況和土壤電阻率等因素影響，故障分析大多采用1模分量和2模分量[5]。

C相接地短路時，邊界條件為ifa=ifb=0，代入式(3)中，可得i1=0，可見1模分量不能反映C相接地故障;B相接地短路時，邊界條件為ifa=ifc=0，代入式(3)可得i2=0，即2模分量不能反映B相接地故障。

2.2 克拉克(Clarke)變換

克拉克相模變換矩陣為:三相電流經相模變換后得:

AC相間短路時，邊界條件為 ifa=－ifc，代入式(4)中，可知i≡0，即1模分量不能反映AC相間短路故障;B相接地短路時，邊界條件為ifa=ifc=0，代入式(4)可得i2=0，即2模分量不能反映B相接地故障。

綜合上述分析可知，經現有常用的相模變換得到的線模量構造保護判據時，必須同時使用模分量和模分量才能反映所有類型的故障，即單一模量不能反映所有故障類型。

3 一種新型相模變換矩陣

三相輸電線路完全換位情況下，其波動方程參數矩陣為平衡矩陣[6]，故可將參數矩陣P表示為:

由矩陣對角化原理可知，若S－1PS=Λ，其中Λ=diag{λ1，λ2，λ3}，解特征方程 det(P － λI)=0 可得:

設對應于特征值λi的右特征相量為Si=[S1i

S2iS3i]T，其中 i=1，2，3，令 S=[S1S2S3]，由矩陣特征值和特征向量的性質可得:

將式(5)代入式(7)可得:

將式(6)代入式(8)可得:

由此分析可得出結論:任一3階矩陣，只要其元素關系滿足式(8)～式(10)，即可作為相模變換矩陣S。但是結合2.1節、2.2節分析發現:若相模變換逆矩陣S－1出現0元素，那么對應模量就不能反映與0元素相應的接地短路故障;若S－1中第2行或第3行存在相等的元素，對應模量也不能反映出相等元素對應的兩相相間短路。

根據以上分析，本文構造出一種新型的相模變換矩陣:

為了分析新相模變換的特性，表1給出了各種短路故障類型對應的1模電流分量和2模電流分量。由表1可知，經新相模變換得到的1模量和2模量均能夠反映所有類型的短路故障。

表1 各種故障類型對應的電流模量

4 MATLAB仿真驗證

本文利用MATLAB建立如圖1所示的500kV雙電源系統模型，經新相模變換后，依據電流行波突變時刻進行故障定位研究，用以驗證新型矩陣的有效性與正確性。采樣頻率為1MHz。

圖1 500kV雙電源系統

圖2 M端正向電流行波突變時刻

故障距離100kM，A相金屬性接地短路時，圖2給出了M端正向電流行波突變時刻仿真結果。

由仿真結果可知，M端正向電流行波突變時刻t=345us，測距結果為100.0524km，與實際故障距離相差0.0524km，測距誤差僅為0.0175%。測距結果顯示，基于新型相模變換的故障定位具有一定的有效性及正確性。

為了驗證新型相模變換矩陣在各種故障類型的有效性，表2給出了不同故障類型不同故障距離下的測距結果。由表2的測距結果可以看出:不同故障類型不同故障距離下，基于新相模變換下的故障定位都能實現，其最大測量誤差為0.2968km，對應最大相對誤差為0.0989%，滿足實際工程要求[5]。即新型相模變換矩陣對各種類型的故障都有效，能夠實現單一模量反映所有故障的目的。

表2 不同故障類型不同故障距離下的測距結果

5 結語

針對現有相模變換矩陣的不足，本文構造出一種新型的相模變換矩陣。MATLAB仿真結果表明，新相模變換矩陣對各種類型的故障有效，能夠實現單一模量反映所有故障類型的目的，且測距結果不受過渡電阻、故障類型影響。

[1]施圍.電力系統過電壓計算[M].西安:西安交通大學出版社，1988.

[2]王安定，葛耀中.模量變換技術在反應故障分量的微機保護中的應用研究[J].電力系統自動化，1988，12(3):17 －27.

[3]和敬涵，張飚，范瑜，等.解耦變換在電力系統暫態保護中的應用研究[J].北京交通大學學報，2006，30(5):101 －104.

[4]WEDEPOHL L M，SAHA J N.Radio-interference fields in multi-conductor overhead transmission lines.IEE Proceedings，1969，116(11):1875 －1884.

[5]葛耀中.新型繼電保護與故障測距原理與技術[M].西安:西安交通大學出版社，1996.

[6]宋國兵，李森，康小寧，等.一種新相模變換矩陣[J].電力系統自動化，2007，31(14):57 －60.