線性算子有界性的特征刻畫

文生蘭，韓藝兵(信息工程大學(xué)理學(xué)院，鄭州450001)

線性算子有界性的特征刻畫

文生蘭，韓藝兵
(信息工程大學(xué)理學(xué)院，鄭州450001)

古典分析中的函數(shù)概念是指兩個(gè)數(shù)集之間所建立的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系。現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展卻要求建立兩個(gè)任意集合之間的某種對(duì)應(yīng)關(guān)系，即算子。算子是泛函分析中最重要的概念之一，研究算子的有界性是分析理論關(guān)注的首要問題，本文證明了關(guān)于線性算子有界性的一些等價(jià)命題。

有界線性算子;賦范線性空間;強(qiáng)弱收斂點(diǎn)列

算子與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的函數(shù)、映射是一回事。通常將兩個(gè)空間之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為算子，它在微分方程、積分方程和工程技術(shù)領(lǐng)域有很廣泛的應(yīng)用。了解有界線性算子的特征，對(duì)進(jìn)一步開展理論和應(yīng)用研究有很大作用。在判斷算子的有界性時(shí)，僅通過定義有時(shí)是很復(fù)雜甚至是行不通的，本文給出了判斷算子有界性的一些簡便且有效的方法。

1　預(yù)備知識(shí)

定義2設(shè)X、Y是同一數(shù)域K上的賦范線性空間，D是X的線性子空間，T是D到Y(jié)的有界線性算子，則稱

為算子T的范數(shù)。

引理1X、Y是同一數(shù)域K上的賦范線性空間，D是X的線性子空間，T是D到Y(jié)的線性算子，則T的范數(shù)可表示為

證明參看文獻(xiàn)［1］。

引理2T:X→Y是線性賦范空間X到Y(jié)的線性算子，則下面命題等價(jià)

(1)T是有界線性算子;

(2)T是連續(xù)線性算子;

(3)存在x0∈T，使T在x0處連續(xù);

(5)若{xn}?X，xn→x0，則T(xn)→T(x0)。

2　主要結(jié)果

定理1設(shè)X和Y都是賦范線性空間，T是X到Y(jié)的線性算子。假如?g∈Y*，h(x)=g(Tx)是X上的有界線性泛函，則T是X到Y(jié)的有界線性算子。

證明?x∈X，記Fx∈X＊＊為x在自然映射下的像，則對(duì)x∈B(0，1)

由共鳴定理知，T是X到Y(jié)的有界線性算子。

定理2設(shè)X、Y是賦范線性空間，T是X到Y(jié)的線性算子，則下列三個(gè)命題等價(jià):

(1)T是X到Y(jié)的有界線性算子;

(2)T把X中的弱收斂點(diǎn)列映射為到Y(jié)中的弱收斂點(diǎn)列;

(3)T把X中的收斂點(diǎn)列映射為Y中的弱收斂點(diǎn)列。

證明(1)?(2):設(shè)在X中{xn}弱收斂于x，即對(duì)任何f∈X*，有f(xn)→f(x)。

又設(shè)g∈Y*，則T*g∈X*，所以T*g(xn)→T*g (x)，即g(Txn)→g(Tx)，Txn弱收斂于Tx在Y中。

(2)?(3):由于強(qiáng)收斂點(diǎn)列一定是弱收斂的，所以由(2)顯然得(3)。

(3)?(1):設(shè){xn}強(qiáng)收斂于點(diǎn)x在X中，且?g∈Y*，g(Txn)弱收斂于g(Tx)，即g在Tx連續(xù)，連續(xù)即有界，因此?g∈Y*，h(x)=g(Tx)是X上有界線性泛函，由定理1知，T是X到Y(jié)的有界線性算子。

3　應(yīng)用

例設(shè)X、Y是兩個(gè)賦范線性空間，{Tn}n≥1?B (X，Y)，假如在X中xn→x，而{Tn}n≥1在B(X，Y)中弱收斂于T。證明:Tnxn在Y中弱收斂于Tx。

證明已知Tn是有界線性算子，由定理2知: Tn將X中的(強(qiáng))收斂點(diǎn)列xn→x映射為Y中的弱收斂點(diǎn)列:Tnxn弱收斂于Tnx。又由于{Tn}n≥1在B (X，Y)中弱收斂于T，即?x∈X，Tnx弱收斂于Tx，從而Tnxn在Y中弱收斂于Tx。

［1］胡國恩，朱月萍，劉宏奎，等．應(yīng)用泛函分析［M］．西安:西安電子科技大學(xué)出版社，2012．

［2］張恭慶，林源渠．泛函分析講義［M］．北京:北京大學(xué)出版社，2006．

［3］程其襄，張奠宙，魏國強(qiáng)，等．實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ)［M］．北京:高等教育出版社，2001．

［4］夏道行，吳卓人，嚴(yán)紹宗，等．實(shí)變函數(shù)論與泛函分析［M］．北京:高等教育出版社，2010．

(責(zé)任編輯趙冰)

Characteristics of Depicting the Bounded Linear Operator

WEN Sheng－lan，HAN Yi－bing
(College of Science，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China)

Function in the classical analysis is established between two data sets．The development of modern mathematics needs to set up a corresponding relationship between two arbitrary collections，namely，operator．Operator is one of the most important concepts in functional analysis．The boundedness of the operator is a primary issue in the theory of analysis．This article gets some equivalent propositions about the boundedness of the linear operator．

bounded linear operator;normed linear space;strong and weak convergence sequence

10．13783/j．cnki．cn41－1275/g4．2015．01．030

O177

A

1008－3715(2015)01－0127－02

2014－10－21

文生蘭(1981—)，女，河南南陽人，信息工程大學(xué)理學(xué)院講師，主要從事偏微分方程研究。