雙kicked棘輪模型中粒子香農熵演化的研究

陳 磊，肖 進，趙 宇，杜文漢

（常州工學院 電氣與光電工程學院，江蘇 常州 213002）

雙kicked棘輪模型中粒子香農熵演化的研究

陳 磊，肖 進，趙 宇，杜文漢

（常州工學院 電氣與光電工程學院，江蘇 常州 213002）

Delta-kicked模型是可以實現棘輪效應的哈密頓型量子模型。在雙kicked型棘輪模型中，2個頻率不同的閃爍勢交替作用于1個具有均勻零動量初態的粒子，在量子共振被激發的條件下，模型中便出現棘輪效應。在不同的量子共振下，粒子香農熵演化出現了不同的規律。研究表明從香農熵演化的角度分析，可以更好地判斷量子共振是否被激發。

雙kicked棘輪模型；量子共振；香農熵

1　雙kicked棘輪模型研究背景

棘輪效應是很有趣的現象，它是指在沒有平均定向力的作用下出現了粒子的定向運動。這個效應源于人們試圖從熱漲落里提取能量做功［1］。棘輪效應在許多技術和器件領域里都有著重要的潛在應用價值，例如整流器、電子泵、分子開關、粒子分離器件以及其他微觀和介觀輸運器件［2］。費曼的思維實驗［3］表明，由于熱力學第二定律的限制，棘輪效應不可能出現在熱平衡系統中。因此為了實現棘輪效應，就要通過額外的擾動來打破系統的熱平衡狀態。另外，系統的對稱性會阻止定向粒子流的出現，所以系統的對稱性也要被破壞［4-5］。滿足條件的棘輪模型有很多種類型，早期的棘輪模型中噪聲是必要因素，后來陸續出現了許多不含噪聲的棘輪模型，如耗散混沌動力學型棘輪模型、純哈密頓型棘輪模型。

棘輪效應在量子領域同樣存在。例如利用光晶格可以很容易地在實驗上實現量子勢（quantum delta-kicked勢，QDK勢），基于QDK勢的量子棘輪模型已經有所研究［6-7］。在這個模型中，1個雙頻非對稱光晶格周期性地作用于1個粒子。當量子共振發生時（有效普朗克常數取一些特殊值），可以出現定向的粒子流動，即棘輪效應。此外，利用2個單頻的閃爍勢周期性交替作用于具有對稱初態的粒子也可以實現棘輪效應［8］。這個模型就是雙kicked模型。熵是對系統混亂度（無序度）的度量。通常系統在演化時，其熵值總是要增加的，這就是著名的熵增加原理。在研究雙kicked模型中粒子在波數空間中的香農熵演化規律時，我們發現粒子香農熵的演化特征，與量子共振是否被激發以及棘輪效應是否出現有著密切的聯系。以下介紹了幾種不同的量子共振條件下，粒子香農熵演化的具體規律，并給出了相應的理論解釋。

2　粒子香農熵演化的具體規律

雙kicked棘輪模型的含義：原先的雙頻棘輪勢sin （x）+αsin（2x）被替換為2個單頻勢sin（x）和sin（2x），這2個勢交替作用于粒子。該模型中粒子遵從的薛定諤方程為：

在雙kicked模型中，系統的時間周期變為原先的QDK模型［6］時間周期的2倍。粒子態矢量的演化過程可以描述為：

這里

理論上求和指標i是有無窮多個的，但在實際計算中取有限項，只要求和項的數目大到一定程度即可。在實際計算中我們還會用n替換t，只計算在一些離散的時刻粒子香農熵的值，并進而分析粒子香農熵演化的規律。另外粒子的初態設為零動量態。

圖1　雙kicked模型中粒子的與S隨時間演化的曲線

圖2　4種量子共振被激發的條件下，雙kicked模型中粒子的與S隨時間演化的曲線

3　結論

本文對雙kicked模型中粒子香農熵的演化進行了描述和分析。在這個模型中，2個閃爍勢以等時間間隔的形式交替作用于初態為零動量態的粒子。在量子共振被激發的條件下，棘輪效應出現，同時粒子香農熵的演化比較劇烈。通過對幾種不同的量子共振條件下，棘輪效應的特征以及粒子香農熵演化特征的分析，我們發現相對于從棘輪效應是否發生的角度分析，從粒子香農熵演化的角度，可以更全面地對量子共振是否被激發進行判斷。

［1］ VON SMOLUCHOWSKI M.,Experimentell nachweisbare,der üblichen Thermodynamik widersprechende Molekular ph？nomene［J］.Physik.Zeitschr. 1912,（13）：1069-1080.

［2］ H？GGI P.,MARCHESONI F.,Artificial Brownian motors：Controlling transport on the nanoscale［J］.Rev.Modern Phys.2009,（81）：387-443.

［3］ FEYNMAN R.P.,LEIGHTON R.B.,SANDS M.,The Feynman Lectures on Physics（Vol.I）［M］,Addison-Wesley,Reading,MA,1966,pp.46.1-46.9 （Chapter 46）.

［4］ FLACH S.,YEVTUSHENKO O.,ZOLOTARYUK Y.,Directed current due to broken time-space symmetry［J］,Phys.Rev.Lett.2000,（84）：2358-2361.

［5］ YEVTUSHENKO O.,FLACH S.,ZOLOTARYUK Y.et al.Rectification of current inac-drivennonlinearsystems andsymmetry propertiesof the Boltzmannequation［J］.Europhys.Lett.2001,（54）：141-147.

［6］ LUNDH E.,WALLIN M.,Ratchet Effect for Cold Atoms in an Optical Lattice ［J］.Phys.Rev.Lett.2005,（94）：110603-110606.

［7］ KENFACK A.,GONG J.B.,PATTANAYAK A.K.,Controlling the Ratchet Effect for Cold Atoms［J］.Phys.Rev.Lett.2008,（100）：044104-044107.

［8］ CHEN Lei,XIONG Chao,YUAN Hong-chun,et al.,A delta-kicked model for the quantum ratchet effect［J］.Physica A 2014,（398）：83-85.

［9］ RYU C.,ANDERSEN M.F.,VAZIRI A.,et al.Strongly Correlated States of Ultracold Rotating Dipolar Fermi Gases［J］.Phys.Rev.Lett.2006,（99）：160403-160406.

Study on the Evolution of the Shannon Entropy in the Double Kicked Ratchet Model

CHENLei,XIAOJin,ZHAOYu,DUWen-han
（College ofElectrical And Optical Engineering,Changzhou Institute ofTechnology,Changzhou 213002,China）

The Delta-kicked model is a Hamiltonian model of the ratchet effect.In the double ratchet ratchet model,two different frequencies of the flashing potential alternately with a uniform zero momentum initial state of particles in a，excited in the quantum resonance conditions，model appeared ratchet effect.Under different quantum resonances,the evolution of the Shannon entropy of the particles has different rules.The study shows that the quantumresonance is excited bythe analysis ofthe Shannon entropyevolution.

Double kicked ratchet model；Quantumresonance；Shannon entropy

TP211+.6

A

1674-8646（2015）12-0006-03

2015-08-17

國家自然科學基金項目（項目編號：11247323、11447002）

陳磊（1982-），男，安徽六安人，博士，講師，主要從事量子信息與薄膜太陽能電池研究。