數(shù)控系統(tǒng)數(shù)字積分法插補(bǔ)原理研究與仿真

劉 萍，汪木蘭，趙 超

（1.宿遷學(xué)院，宿遷 223800；2.南京工程學(xué)院 先進(jìn)數(shù)控技術(shù)江蘇省高校重點(diǎn)建設(shè)實(shí)驗(yàn)室，南京 211167；3.江蘇省電力公司宿遷供電公司，宿遷 223800）

0 引言

插補(bǔ)模塊是整個(gè)數(shù)控系統(tǒng)的一個(gè)及其重要的功能模塊，插補(bǔ)的速度和精度直接影響到數(shù)控系統(tǒng)的精度、速度和加工能力等內(nèi)容[1～4]，而插補(bǔ)的實(shí)質(zhì)是數(shù)據(jù)點(diǎn)的密化，即在已知的刀具軌跡轉(zhuǎn)接點(diǎn)間插入若干中間點(diǎn)的過(guò)程，中間點(diǎn)的獲取可根據(jù)相應(yīng)的算法由數(shù)控系統(tǒng)軟件或硬件來(lái)實(shí)現(xiàn)，以此來(lái)協(xié)調(diào)控制各坐標(biāo)軸的運(yùn)動(dòng)，從而獲得所需要的運(yùn)動(dòng)軌跡。常用的插補(bǔ)算法有：脈沖增量插補(bǔ)和數(shù)據(jù)采樣插補(bǔ)，而脈沖增量插補(bǔ)中最常用的是逐點(diǎn)比較法和數(shù)字積分法。由于逐點(diǎn)比較法插補(bǔ)不能實(shí)現(xiàn)兩軸聯(lián)動(dòng)，數(shù)字積分法可以實(shí)現(xiàn)兩軸聯(lián)動(dòng)，本文將對(duì)脈沖增量插補(bǔ)中的數(shù)字積分法進(jìn)行論述并對(duì)軌跡和插補(bǔ)過(guò)程進(jìn)行仿真研究。

1 數(shù)字積分法插補(bǔ)原理

利用數(shù)字積分的原理進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算的方法，稱為數(shù)字積分法，也稱為DDA法。數(shù)字積分法的優(yōu)點(diǎn)在于容易實(shí)現(xiàn)多軸聯(lián)動(dòng)插補(bǔ)，可以描述空間直線和平面各種函數(shù)曲線。

1.1 DDA直線插補(bǔ)

1）原理：利用各坐標(biāo)軸的速度分量進(jìn)行數(shù)字積分來(lái)確定刀具在各坐標(biāo)軸上的位置，設(shè)刀具進(jìn)給速度為V，在X軸、Y軸的進(jìn)給速度分量分別為VX、VY，則 tΔ時(shí)間內(nèi)的位移量為：

由圖1的幾何關(guān)系得出：

圖1 DDA直線插補(bǔ)

則位移量：

當(dāng)?shù)毒哂蒓點(diǎn)切削到E點(diǎn)時(shí)，tΔ經(jīng)過(guò)0→t的積分，位移公式可表示為：

設(shè)寄存器的位數(shù)為N位（容量為2N），n為累加次數(shù)（整數(shù)），取n=2N，經(jīng)過(guò)n次累加后，到達(dá)終點(diǎn)，則kn=1，k=1/n=1/2N。當(dāng)tΔ取為1時(shí)，則：

2）特點(diǎn)：在DDA直線插補(bǔ)中，取兩個(gè)函數(shù)寄存器JVX、JVY，分別存放終點(diǎn)坐標(biāo)Xe、Ye，均為定值；再取兩個(gè)余數(shù)寄存器JRX、JRY；終點(diǎn)寄存器J∑(J∑=2N)。當(dāng)X軸、Y軸積分器中的值超過(guò)2N-1時(shí)，便發(fā)生溢出，溢出時(shí)的余數(shù)存放在JRX、JRY中，每溢出一次，J∑自動(dòng)減1，經(jīng)過(guò)2N次累加后，溢出脈沖的總數(shù)等于被積函數(shù)值。

1.2 DDA圓弧插補(bǔ)

1）原理：以第一象限順時(shí)針圓弧SE為例，如圖2所示。

圖2 DDA圓弧插補(bǔ)

將方向矢量代入計(jì)算公式，則第一象限順時(shí)針圓弧的速度計(jì)算公式為：

Δt時(shí)間內(nèi)，位移增量為：

當(dāng)Δt為1，K=1/2N時(shí)，則：

由計(jì)算公式可看出，圓弧插補(bǔ)時(shí)，積分器是對(duì)動(dòng)點(diǎn)Xi、Yi進(jìn)行累加。插補(bǔ)開(kāi)始前，被積函數(shù)JVX、JVY中存放圓弧起始點(diǎn)坐標(biāo)YS、XS，當(dāng)Y軸產(chǎn)生溢出脈沖（YΔ- ）時(shí)，JVX作“-1”修正，當(dāng)X軸產(chǎn)生溢出脈沖（XΔ+ ）時(shí)，則JVY作“+1”修正，修正的正負(fù)方向由圓弧所在的象限及順逆方向決定。

2）DDA圓弧插補(bǔ)特點(diǎn)：

（1）余數(shù)寄存器中初始值為0，JVX、JVY中初始值分別為YS、XS，在插補(bǔ)過(guò)程中，JVX、JVY中存放的是動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)Yi、Xi，當(dāng)有脈沖溢出時(shí)，動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)也應(yīng)作“±1”的修正。

（2）DDA圓弧插補(bǔ)器中需要兩個(gè)終點(diǎn)寄存器J∑X積分運(yùn)算時(shí)，余數(shù)寄存器每溢出一次，對(duì)應(yīng)的終點(diǎn)寄存器自動(dòng)減1，直到減為0，則停止積分。

（3）JVX、JVY中數(shù)字的大小會(huì)影響插補(bǔ)速度。

1.3 插補(bǔ)仿真

采用VB軟件對(duì)文中的例題進(jìn)行插補(bǔ)仿真，從而在軟件中顯示出實(shí)際插補(bǔ)軌跡和計(jì)算過(guò)程，在所有的仿真圖中，紅色線段表示理論軌跡，綠色線段表示實(shí)際插補(bǔ)軌跡。

1）DDA直線插補(bǔ)仿真 以第一象限直線OE插補(bǔ)為例，O為原點(diǎn)（0,0），終點(diǎn)E（4,6），被積函數(shù)寄存器（JVX、JVY）與余數(shù)寄存器（JRX、JRY）位數(shù)均為4，具體的插補(bǔ)過(guò)程和仿真軌跡如圖3所示。

圖3 DDA直線插補(bǔ)仿真

2）DDA圓弧插補(bǔ)仿真 第一象限的順時(shí)針圓弧SE，起點(diǎn)（0,4），終點(diǎn)（4,0），寄存器位數(shù)均為3，具體的插補(bǔ)過(guò)程和仿真軌跡如圖4所示。

圖4 DDA圓弧插補(bǔ)仿真

2 提高DDA插補(bǔ)質(zhì)量的措施

數(shù)字積分法插補(bǔ)中，輪廓的長(zhǎng)短不一，使得溢出脈沖不均勻，影響進(jìn)給速度的穩(wěn)定性，從而影響插補(bǔ)精度；另一方面，通過(guò)仿真軟件發(fā)現(xiàn)，有的插補(bǔ)軌跡與輪廓之間誤差大于一個(gè)脈沖當(dāng)量，因此，為了減小誤差，提高插補(bǔ)質(zhì)量，采用左移規(guī)格化法和半加載法。

2.1 左移規(guī)格化

所謂的“左移規(guī)格化”，將被積函數(shù)中的坐標(biāo)值的前i位零溢出寄存器，使數(shù)值成為最高位或次高位為“1”的規(guī)格化數(shù)，并對(duì)其進(jìn)行累加，從而達(dá)到穩(wěn)定進(jìn)給速度的目的。

DDA直線插補(bǔ)中，進(jìn)行左移規(guī)格化時(shí)，使JVX、JVY中數(shù)值同時(shí)左移，直到任意一個(gè)寄存器中的數(shù)值最高位為1，并記下左移次數(shù)i，左移規(guī)格化后，JVX、JVY中值被擴(kuò)大2i倍，累加次數(shù)相應(yīng)地減少一倍（n = 2N-i）。

DDA圓弧插補(bǔ)的規(guī)格化中，將被積函數(shù)JVX、JVY中數(shù)值同時(shí)左移，直到任意一個(gè)數(shù)的次高位為1，則為規(guī)格化數(shù)。如果規(guī)格化處理時(shí)，左移i位后，當(dāng)JRX或JRY產(chǎn)生溢出時(shí)，JVY或JVX中動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)應(yīng)作“±2i”的修正，為了避免動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)修正時(shí)溢出，在選擇被積函數(shù)寄存器容量時(shí)，要求必須大于2R（R為圓弧半徑），通過(guò)左移規(guī)格化處理，可使溢出變得均勻，改善DDA插補(bǔ)加工的工藝特性。

2.2 半加載法

DDA圓弧插補(bǔ)過(guò)程中，由圖4看出徑向誤差有時(shí)可能大于或等于1個(gè)脈沖當(dāng)量，為減小誤差，顯然可通過(guò)增加寄存器的位數(shù)N，提高插補(bǔ)精度，但是N的增大，會(huì)導(dǎo)致n的增大，累加次數(shù)的增加，會(huì)降低實(shí)際的進(jìn)給速度，且N也不能無(wú)限增大，因此采用半加載法。半加載法即是將余數(shù)寄存器JRX、JRY中的初始值設(shè)為2N-1，當(dāng)JRX、JRY與大于或等于2N-1的數(shù)進(jìn)行累加，就可產(chǎn)生1個(gè)溢出脈沖，通過(guò)半加載后，可以提前溢出脈沖，從而改變溢出在時(shí)間上的分布，提高插補(bǔ)精度。

2.3 舉例仿真

在1.3節(jié)中的直線插補(bǔ)和圓弧插補(bǔ)舉例的基礎(chǔ)上，采用左移規(guī)格化和半加載進(jìn)行插補(bǔ)計(jì)算。

改進(jìn)后的DDA直線插補(bǔ)仿真中，寄存器位數(shù)為5，具體的仿真軌跡和計(jì)算過(guò)程如圖5所示。改進(jìn)后的DDA圓弧插補(bǔ)仿真中，寄存器位數(shù)為5，具體的仿真軌跡和計(jì)算過(guò)程如圖6所示。

圖5 左移和半加載后的DDA直線仿真

圖6 左移和半加載后的DDA圓弧仿真

3 結(jié)束語(yǔ)

本文主要討論了數(shù)控系統(tǒng)中的數(shù)字積分法的直線和圓弧插補(bǔ)運(yùn)算，以第一象限直線、圓弧為例，并在此基礎(chǔ)上采用半加載和左移規(guī)格化進(jìn)行處理。前后計(jì)算過(guò)程采用VB軟件進(jìn)行仿真。經(jīng)過(guò)計(jì)算過(guò)程和軌跡圖的比較，發(fā)現(xiàn)直線插補(bǔ)處理前要在第三次計(jì)算Y軸才有溢出，經(jīng)過(guò)處理后在第二次計(jì)算時(shí)兩個(gè)坐標(biāo)軸就會(huì)有溢出；圓弧插補(bǔ)在在半加載和左移規(guī)格化后溢出明顯提前，且軌跡更接近于理論輪廓，速度和精度都明顯提高，該過(guò)程的研究對(duì)掌握數(shù)控機(jī)床的運(yùn)動(dòng)控制具有重要的理論指導(dǎo)意義，仿真軟件對(duì)于數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)質(zhì)量的進(jìn)一步提高具有極其重要的應(yīng)用價(jià)值。

[1] 汪木蘭.數(shù)控原理與系統(tǒng)[M].北京：機(jī)械工業(yè)出版社,2004.

[2] 李恩林.數(shù)控系統(tǒng)插補(bǔ)原理通論[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社, 2008.

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