關于柱函數的教學探討

2015-09-11 15:03:48侯慎勇等

科技視界 2015年26期

侯慎勇等

【摘要】柱函數是數學物理方法中的一個重要內容，它包括貝賽爾函數、諾伊曼函數和漢克爾函數。這些函數表達復雜、性質眾多、計算過程繁瑣，學生在學習過程中感到很困惑。特別是柱函數積分計算比微積分中的積分要困難得多，通常使用洛梅爾積分教學計算。它的特點是只涉及同類柱函數乘積的積分。而在同軸諧振腔和同軸波導教學中，我們經常要涉及不同種類柱函數乘積的積分。因此，對這類積分進行研究，得到一般公式并應用于教學。

【關鍵詞】柱函數；洛梅爾公式；積分

Discussion on Cylindrical Function Teaching

HOU Shen-yong ZHAO Bo

（Institute of mathematical statistics， Yangtze Normal University， Chongqing 408100， China）

【Abstract】Cylindrical function is an important content of methods of mathematical physics. It includes Bessel function， Neumann function and Hankel function. Since these functions have complex expressions， lot of properties and the complicated process of calculation， students feel difficult to master them. In particular， the integral of cylindrical function by Lomel integral is more difficult than it in higher mathematics， which is usually the integral of same kind cylindrical function. However， the integral of different kind cylindrical function will appears in the teaching process of coaxial resonator and coaxial waveguide. Hence， this integral will be studied in teaching process.

【Key words】Column； Function； Lommel formula； Integration

0 引言

在柱坐標系里對拉普拉斯方程進行分離變量，人們得到了貝塞爾方程。它的解可由貝塞爾函數、諾伊曼函數和漢克爾函數表示[1-2]。在一般的數學物理方法的教材都給對它們的許多性質進行了詳細的介紹。通過教師的講解，學生都能夠有效的掌握這些函數的性質和并且靈活的應用它們。但是，數學物理方法對柱函數的積分講解不多，一般只介紹了貝塞爾函數的有關的積分，這對學生的后繼課程的學習會帶來不利的影響。因為在電動力學、電磁場與電磁波、微波工程課程中，經常會出現柱函數的積分，因此，在數學物理方法的教學中介紹一些柱函數的積分方法有助于學生對該課程學習。

本文針對這一問題，在柱函數積分的計算方面進行一些探討。

1 柱函數的性質

在電動力學、電磁場與電磁波、微波工程的教學中，常常會出現在如圖1所示的同軸圓。

在貝塞爾方程的教學過程中，學生都知道貝賽爾函數、諾伊曼函數和漢克爾函數都有以下的公式：

式（10）～（11）是對洛梅爾積分公式的推廣。

從式（6）～（11），我們可以發現貝塞爾函數、諾伊曼函數、漢克爾函數和柱函數Tmn（x）存在相似的性質，這些關系能夠加深學生對貝賽爾函數、諾伊曼函數和漢克爾函數的認識，提高他們在后繼課程對這些積分的計算能力。

2 柱函數的應用

在這里，通過事例說明（10）～（11）的應用。

通過以上的推導，發現使用公式（10）和（11）能夠貝塞爾函數與諾伊曼函數的乘積的積分和柱函數的積分變得容易簡單。這給教學帶來極大的方便，在學生后繼課程的學習中對它們的學習提供一定的幫助。

3 結論

本文對柱函數的性質進行了研究，發現它與貝塞爾函數、諾伊曼函數、漢克爾函數存在相似的性質。這將有助于提高學生學習積極性，增加它們對貝塞爾函數的認識，有助于學生的后繼課程的學習。

【參考文獻】