加權平方損失函數下幾何分布函數的可靠度Bayes估計

摘 要】在加權平方損失函數下，給出了對于任何先驗分布的幾何分布可靠度的Bayes估計，同時在其先驗分布為冪分布時研究了可靠度的Bayes估計及其容性，給出了可靠度的多層Bayes估計的計算公式。

【關鍵詞】幾何分布；加權平方損失函數；可靠度；Bayes估計

許多壽命離散型產品，其分布大都服從幾何分布，因此對幾何分布的可靠性分析具有理論和實際應用價值。文獻[4]和[5]在研究了在熵損失函數下幾何分布可靠度的多層Bayes估計和截尾Bayes估計，文獻[1]研究在新的加權平方損失函數下幾何分布的Bayes可靠性估計本文則研究了一類新的加權平方損失函數下幾何分布分布可靠度的多層Bayes估計。

在貝努里實驗中，若p為每次實驗成功的概率（可靠度），如果進行了k+1次試驗，前k次實驗成功且第k+1次不成功（或失敗）的概率為：

P（？灼=k）=P k（1-p），k=0，1，2，…，0，

稱隨機變量？灼服從幾何分布[s]，其中p為幾何分布的可靠度（或成功概率）。

1 加權平方損失函數的定義

定義1 隨機變量X服從密度函數為f（？茲，X）的分布，其中？茲為參數，如果？啄是？茲的判決空間中的一個估計，則定義這樣的一個函數：

L（？啄，？茲）=（？啄-？茲）2/？茲（1-？茲）（2）

為加權平方損失函數[1]。

2 p的Bayes估計

定理1 在加權平方損失函數（2）下，對任何的先驗分布？仔（？茲），？茲的Bayes估計為

并且如果？啄B（x）的Bayes風險有限，則？啄B（x）是唯一的Bayes估計。

當p的先驗分布為冪分布，其密度函數為：？仔（p|a）=apa-1，其中00（為超參數）[2]，則p的先驗分布為：

后驗分布服從貝塔分布，其分布為：

則，在加權平方損失函數下p的Bayes估計為：

其中，0

定理2 對幾何分布，在p的多層先驗分布有（3）給出，則在加權平方損失函數下，p的多層Bayes估計為：

證明：p的多層先驗分布有（3）給出，則p的似然函數為L（p）=px（1-p），則p的后驗密度為：

其中0

其中：

引理1 [3]在給定的Bayes決策問題中，假如對給定的先驗分布？仔（？茲），？茲的Bayes估計是？啄（X）唯一的，則它是容許估計。

定理3 在加權平方損失函數下，對任一先驗分布，幾何分布的參數？茲的Bayes估計？啄（X）是可容許估計。

證明：對于幾何分布，由于加權平方損失函數下（2）是嚴格凸函數，其參數？茲的Bayes估計必是唯一的，引理1可知，參數的？茲的Bayes估計？啄（X）是可容許估計。

【參考文獻】

[1]李蘭平.一類新的加權平方損失函數下幾何分布的Bayes估計[J].方法應用，2012，11：81-82.

[2]韓明，催玉萍.幾何分布的可靠度估計[J].運籌與管理，2001，（下轉第76頁）（上接第20頁）10（4）：35-38.

[3]茆詩松.貝葉斯統計[M].北京：中國統計出版社，1999，3.

[4]周偉萍，張德然，楊興瓊.熵損失函數下幾何分布參數的Bayes估計[J].山西師范大學學報：自然科學版，2007，21（4）：13-15.

[5]熊常偉，張德然，張怡.熵損失函數下幾何分布參數的Bayes估計[J].數理統計與管理，2008，27（1）：82-86.

[責任編輯：鄧麗麗]