基于三階平面貝齊爾曲線的G2連續研究

李啟明+曹喜鋒+于立明

【摘 要】飛機外形設計中，當單一的曲線不能滿足描述復雜形狀的需要時，就必須采用組合的曲線，這就需要解決的關鍵問題就是怎樣實現光滑連接的問題，工程實踐中，G2連續的組合曲線受到了特別的關注。過渡連接時，常用的二次曲線難以在兩端均實現G2連續，這就有必要構造其他形式的曲線來實現G2連續，通過控制三次貝齊爾曲線首末端點曲率，得出了該三次貝齊爾曲線與直線、曲線保持G2連續的方法。

【關鍵詞】貝齊爾曲線；飛機外形設計；G2連續

【Abstract】In aircraft shape design， when one single curve could not describe complicated shape， composite curve should be used， and then how to realize smoothly combination must be solved. In practices， G2 continuousness composite curve get especial attentions. It is intractable when use one curve to combine a line and a curve， conic curve widely used could not realize G2 continuousness， so it is necessary constructing other form of curve to meet G2 continuousness. One form of cubic Bézier curve is constructed，and it could meet G2 continuousness by controlling its endpoints curvature.

【Key words】Bézier curve； Aircraft shape design； G2 continuousness

0 引言

飛機外形設計中，曲線的光順與否不僅關系到飛機外形曲面的美觀，更重要的是曲線的光順將直接影響飛機的氣動性能，為此，必須盡可能的獲得光順的曲線以保證飛機外形的曲面質量。為保證曲面品質，需要在連接處均實現G2連續，二次曲線由于階次的限制，不能保證兩端均與其他曲線G2連續，而階數過高的貝齊爾曲線，由于定義點過多，定義點的計算非常繁瑣且解不唯一，其形狀難以控制。三階貝齊爾曲線是很好的折衷，既可以實現G2連續的過渡連接，也能保證解的唯一性。

1 貝齊爾曲線介紹

貝齊爾是參數多項式曲線，其定義形式如下：

2 構造過渡曲線

飛機外形設計中使用最多的是平面曲線，平面曲線操作簡單、容易構造，事實上空間曲線可以用兩個平面曲線表達，這也使得空間曲線單獨構造操作的意義降低了。故本文只討論平面曲線的情況。

本文利用三階平面貝齊爾曲線連接，見圖1。

圖1中，利用三階平面貝齊爾曲線p（t）過渡連接l1、l2，在P0點與l1連接，在P3點與l2連接，那么p（t）的起點P0和終點P3的位置是固定的。為了完整、唯一定義該三階貝齊爾曲線，還要確定其他兩個點P1、P2的位置。根據貝齊爾曲線的基本性質，必須與l1在P0點的切矢方向同向，也就是說，為與l1相切，P1點只能在P0點的切線上“滑動”，同樣，P2點只能在P3點的切線上“滑動”，這樣就進一步限制了P1、P2的位置范圍，下面進一步討論曲率連續的條件。

對于任意參數曲線p（t），曲率τ由下式表示[2]：

將（15）、（16）、（17）式代入（9）、（10）式，整理得到：

同樣的，該方程組難以直接求得解析解，必須利用數值方法求解。變換方程組（18）得到：

方程組（14）滿足收斂條件，該方程組迭代求解即可得到P、P的位置。

2.3 α=180°的情況

α=180°時，直線P0P1和P3P2平行，見圖5。

令直線P0P1和P3P2間的距離為？詛，則P0H0=P3H1=？詛，此時，（9）、（10）式均只有一個待求變量，P1、P2的位置獨立，所以，只要調整P1、P2的位置滿足（9）、（10）兩式即可。

此外，α=0°（α=360°）時，同樣有直線P0P1和P3P2平行，但此時，特征多邊形不是凸多邊形，本文不予討論。

另外，對于一端或兩端有直線，即τ=0的情況，本文限于篇幅，將在其他文章中討論。

3 連接實例

以2.2情況為例，利用三階貝齊爾曲線連接任意兩條曲線，見圖6。

此時，曲線l1、l2已經確定了P0、P3、P的位置，再利用方程組（19）迭代求解即可得到P1、P2的位置。

此時P0點處曲率τ0=0.0045，P3點處曲率τ1=0.0025，代入方程組（19）迭代求解得到

m=0.637977n=0.641224

根據求解結果畫出三階貝齊爾曲線并進行曲率檢驗，見圖7。

由曲率分析圖可以看出，三階貝齊爾曲線在連接點處實現了G2連續，保證了曲線的連接質量。

4 結論

本文通過求解端點處的貝齊爾曲線曲率，構造了不同情況下實現G2連續的三次平面貝齊爾曲線，構造方法簡捷，實現了三次貝齊爾曲線與直線和曲線的G2連續，保證了曲線連接的品質，在飛機外形設計中具有實際的應用價值。

【參考文獻】

[1]施法中.計算機輔助幾何設計與非均勻有理B樣條[M].高等教育出版社，2001：18-26，114-143.

[2]蘇步青，劉鼎元.計算幾何[M].上海科學技術出版社，1980：102-108.

[3]曹喜鋒.飛機外形數字化設計技術研究[D].西安：西北工業大學，2004，10.

[4]吉貝·德芒熱，讓皮爾·晡熱.曲線與曲面的數學[M].王向東，譯.商務印書館，2000：5-70.

[責任編輯：湯靜]