由課本習題引發的數學思維風暴

賈蕓蕓

代數式求值問題是初中代數教學的基本內容之一，它貫穿在整個代數的始終.代數式求值問題形式多樣，變化豐富多彩.初一主要涉及兩種類型：（1） 字母代值型；（2） 整體代值型.解決與整式的加減相關的代數式求值題，原則是先化簡，再求值.解題時，要因題而異，弄清題目中條件與結論之間的關系，然后確定解題方法.

讓我們由課本中做一做、議一議的例題說起：

一、 字母代值型

例1 （蘇科版七上82頁做一做）

求代數式2x3-5x2+x3+9x2-3x2-2的值，其中x=.

下面通過兩種解題方法進行剖析與點評.

方法1：直接代入求值.

當x=時，

2x3-5x2+x3+9x2-3x3-2

=2×

3-5×

2+

3+9×

2-3×

3-2

=-++--2=-1.

方法2：先化簡，再代入求值.

解：2x3-5x2+x3+9x2-3x3-2

=（2x3+x3-3x3）-（5x2-9x2）-2

=4x2-2.

當x=時，原式=4×

2-2=-1.

【點評】此類型題屬于字母代值型. 方法1選擇直接代入求值，計算量比較大，容易出錯；方法二選擇先化簡再求值，使得代數式變得簡潔，代入求值時計算量小.求代數式的值時，如果代數式中含有同類項，通常先合并同類項再進行計算.此類型是代數式求值問題中的基本類型，其解題步驟可分為：（1） 化簡；（2） 代值；（3） 計算.

當然字母代值問題有時不是直接給出字母的值，而是以其他條件形式出現，但只要認真分析條件，不難從中得到字母的值.

例2 若a，b為實數，且a

-2+b+2=0，求代數式2（a2+ab）-（4a2-ab）的值.

【分析】此題沒有給出字母的值，但從條件結構特點看，其中隱含條件知：a-=0，且b+2=0，從而得字母的值.

解：由題意得：a

-=0，

b+2=0，

解之得：a

=，

b=-2.

2（a2+ab）-（4a2-ab）

=2a2+2ab-2a2+ab

=ab

=-.

二、 整體代值型

整體代值法就是當單個字母的值不能或不用求出時，可把已知條件作為一個整體，代入到待求的代數式中去求值的一種方法. 其中又蘊含了一種重要的數學方法——換元法，因此顯得非常重要.其步驟為：（1） 將要求值的代數式化為已知整體表達的形式；（2） 整體代值；（3） 計算.

例3 （蘇科版七上82頁議一議）求代數式5（x-2y）-3（x-2y）+8（x-2y）-4（x-2y）的值，其中x=，y=.

方法1：把x=，y=代入后求值.

方法2：把（x-2y）看成一個整體，化簡后求值.

解：設x-2y=a，

原式=5a-3a+8a-4a=6a.

當x=，y=時，a=x-2y=-2×=-，

原式=6a=6×

-=-1.

【點評】本題呈現了兩種解題策略，其中方法2的策略是“把一個多項式看成一個字母”，這里是滲透了“整體代換（換元）”的思想方法.

在有些問題中，給出的整體值無法使用，此時，只需把條件稍作改變就能在問題中使用.

例4 已知a-b=5，a-c=1，求代數式：2a-2b+（c-b）2的值.

【分析】此題中雖然已知a-b=5，a-c=1，但要求值的代數式中含有（c-b）2，無法化為已知整體形式.因此必須將條件改變形式.不難看出，只需將條件中的兩式相減就可以得到c-b=4.再使用整體代值就可以解決了.

解：∵a-b=5，a-c=1，

∴（a-b）-（a-c）=c-b=4，

∴2a-2b+（c-b）2

=2（a-b）+（c-b）2

=2×5+42

=26.

例5 求（3xy+10y）+[5x-（2xy+2y-3x）]的值，其中xy=2，x+y=3.

【分析】題中只有xy，沒有x+y，因此需要對代數式進行去括號、合并同類項化簡后再整體代入.

解： （3xy+10y）+[5x-（2xy+2y-3x）]

=3xy+10y+5x-2xy-2y+3x

=xy+8x+8y

=xy+8（x+y）

=2+8×3

=26.

盡管代數式求值問題五花八門，但還是有規律可循的.掌握數學方法才能高效地解決數學問題. 方法并不是絕對孤立不變的，有時需要多種方法一起使用才能靈活解決問題，解題時，要仔細觀察，深入分析，以便選擇合理的解題方法，做到簡潔、快速解題.

（作者單位：江蘇省淮安外國語學校）