高斯巧解數學題

李青

德國著名大科學家高斯（1777-1855）出生在一個貧窮的家庭. 他八歲時進入鄉村小學讀書. 教數學的老師是一個從城里來的人，覺得在一個窮鄉僻壤教幾個小孩子讀書，真是大材小用. 他又有些偏見：窮人的孩子天生都是笨蛋，教這些蠢笨的孩子念書不必認真，如果有機會還應該處罰他們，使自己在這枯燥的生活里增添一些樂趣.

這一天正是數學老師情緒低落的一天. 同學們看到老師那抑郁的臉孔，心里畏縮起來，知道老師又會在今天捉這些學生處罰了.

“你們今天替我算從1加2加3一直到100的和. 誰算不出來就罰他不能回家吃午飯. ”老師講了這句話后就一言不發地拿起一本小說坐在椅子上看去了.

教室里的小朋友們拿起石板開始計算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”一些小朋友加到一個數后就擦掉石板上的結果，再加下去，數越來越大，很不好算. 有些孩子的小臉孔漲紅了，有些手心、額上滲出了汗珠.

過了一會兒，小高斯拿起了他的石板走上前去：“老師，答案是不是這樣？”

老師頭也不抬，揮著那肥厚的手，說：“去，回去再算！錯了！”他想不可能這么快就會有答案的.

可是高斯卻站著不動，把石板伸向老師面前：“老師，我想這個答案是對的. ”

數學老師本來想怒吼起來，可是一看石板上整整齊齊寫了這樣的數：5 050，他驚奇起來，因為他自己曾經算過，得到的數也是5 050，這個8歲的小鬼怎么這樣快就得到了這個數值呢？

高斯解釋他發現的一個方法，這個方法就是古希臘人和中國人用來計算級數1+2+3+…+n的方法. 高斯的發現使老師覺得羞愧，覺得自己以前目空一切和輕視窮人家的孩子的觀點是不對的. 他以后也認真教起書來，并且還常從城里買些數學書自己進修并借給高斯看. 在他的鼓勵下，高斯以后便在數學上做了一些重要的研究. 長大后他成為當時最杰出的數學家，數學家稱呼他為“數學王子”.

親愛的同學，讀完故事你可以解決下面的問題嗎？

1. 從故事中你學到了什么數學知識？

2. 你會計算1+2+3+…+100嗎？

3. 小組討論交流.

4. 歸納：若干個數排成一列稱為數列，數列中的每一個數稱為一項，其中第一項稱為首項，最后一項稱為末項. 后項與前項之差都相等的數列稱為等差數列，后項與前項之差稱為公差.

例如：（1） 1，2，3，4，5，…，100；

（2） 2，4，6，8，10，…，90；

（3） 3，6，9，12，15，…，99.

其中（1）是首項為1，末項為100，公差為1的等差數列；（2）是首項為2，末項為90，公差為2的等差數列；（3）是首項為3，末項為99，公差為3的等差數列.

由高斯的巧算方法，我們可以得到等差數列的求和公式：

和=（首項+末項）×項數÷2.

有了這個公式，我們就可以解決下面的問題了，一起試一試吧！

例1 1+2+3+…+1 999=？

【分析與解】這串加數1，2，3，…，1 999是等差數列，首項是1，末項是1 999，共有1 999個數. 由等差數列求和公式可得

原式=（1+1 999）×1 999÷2=1 999 000.

【注意】利用等差數列求和公式之前，一定要判斷題目中的各個加數是否構成等差數列.

例2 11+12+13+…+31=？

【分析與解】這串加數11，12，13，…，31是等差數列，首項是11，末項是31，共有31-11+1=21（項）.

原式=（11+31）×21÷2=441.

在利用等差數列求和公式時，有時項數并不是一目了然的，這時就需要先求出項數. 根據首項、末項、公差的關系，可以得到項數=（末項-首項）÷公差+1，末項=首項+公差×（項數-1）.

例3 3+7+11+…+99=？

【分析與解】3，7，11，…，99是公差為4的等差數列，項數=（99-3）÷4+1=25，原式=（3+99）×25÷2=1 275.

例4 求首項是25，公差是3的等差數列的前40項的和.

解：末項=25+3×（40-1）=142，

和=（25+142）×40÷2=3 340.

例5 盒子里放有3只乒乓球，一位魔術師第一次從盒子里拿出1只球，將它變成3只球后放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里……第十次從盒子里拿出10只球，將每只球各變成3只球后放回盒子里. 這時盒子里共有多少只乒乓球？

【分析與解】一只球變成3只球，實際上多了2只球. 第一次多了2只球，第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球. 因此拿了十次后，多了

2×1+2×2+…+2×10

=2×（1+2+…+10）

=2×55=110（只）.

加上原有的3只球，盒子里共有球110+3=113（只）.

綜合列式為：

（3-1）×（1+2+…+10）+3

=2×[（1+10）×10÷2]+3=113（只）.

學習數學是場奇妙的旅行，讓我們懷著愉悅的心情來享受數學，經歷它的趣味和生命，感悟符號后面的情感和人生.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）