有趣的有理數(shù)

蔣曉棠

利用有理數(shù)的乘方解決實(shí)際問(wèn)題，是“有理數(shù)”這一章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容之一. 在學(xué)習(xí)這一課的時(shí)候，我遇到了幾道有趣的題目，現(xiàn)與大家分享.

問(wèn)題一：手工拉面是我國(guó)的傳統(tǒng)面食. 制作時(shí)，拉面師傅將一團(tuán)和好的面，揉搓成1根長(zhǎng)條后，手握兩端用力拉長(zhǎng)，然后將長(zhǎng)條對(duì)折，再拉長(zhǎng)，再對(duì)折（每次對(duì)折稱為“一扣”），如此反復(fù)操作，連續(xù)拉扣若干次后便成了許多根細(xì)細(xì)的面條. 你能算出拉扣6次后共有多少根面條嗎？

【思考與分析】一根面條拉扣1次成21根，拉扣2次就成22根……每拉扣1次，面條數(shù)就增加1倍，拉扣6次，共有面條26 =64（根）.

這一題應(yīng)用了有理數(shù)的乘方法則，如果將拉面換為繩子，將根數(shù)換為段數(shù)，會(huì)出現(xiàn)什么情況呢？

問(wèn)題二：將一根繩子對(duì)折1次，從中間剪斷，繩子變成了3段（因?yàn)閷?duì)折的點(diǎn)沒(méi)斷開(kāi)，如圖1所示）；對(duì)折2次從中間剪斷，繩子變成5段（如圖2所示）；對(duì)折3次，從中間剪斷，繩子變成9段（如圖3所示）……以此類(lèi)推.

（1） 將一根繩子對(duì)折4次，從中間剪斷，繩子變成幾段？

（2） 請(qǐng)你猜想：將一根繩子對(duì)折10次，從中間剪斷，繩子變成幾段（結(jié)果保留冪的形式）？

【思考與分析】這三幅圖有何異同？有規(guī)律可循嗎？解決問(wèn)題的突破口在哪里？

帶著這些問(wèn)題，經(jīng)過(guò)仔細(xì)觀察，我發(fā)現(xiàn)了一個(gè)現(xiàn)象：

將一根繩子對(duì)折1次從中間剪斷，繩子變成3段，有21+1=3.

將一根繩子對(duì)折2次，從中間剪斷，繩子變成5段，有22+1=5.

將一根繩子對(duì)折3次，從中間剪斷，繩子變成9段，有23+1=9.

綜上所述，我們可以依此類(lèi)推，將一根繩子對(duì)折n次，從中間剪一刀全部剪斷后，繩子變成（2n+1）段.

【問(wèn)題解答】

（1） 將1根繩子對(duì)折4次，從中間剪斷，繩子段數(shù)為（24+1）段.

（2） 將1根繩子對(duì)折10次，從中間剪斷，繩子段數(shù)為（210+1）段.

以上的兩道題，看似相似，實(shí)則不同，問(wèn)題的解答，關(guān)鍵是對(duì)折點(diǎn)是否連接. 通過(guò)對(duì)以上兩道題的比較、探索、研究，我對(duì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了更濃厚的興趣. 數(shù)學(xué)王國(guó)的探究無(wú)止境，只有多研究，多思考，才能在數(shù)學(xué)這一廣闊的領(lǐng)域中開(kāi)拓出一片新的天地.

教師點(diǎn)評(píng)：此類(lèi)問(wèn)題考查學(xué)生通過(guò)觀察、歸納，抽象出數(shù)列的規(guī)律的能力，要求學(xué)生首先分析題意，找到規(guī)律，并進(jìn)行推導(dǎo)得出答案，這一題也考查了有理數(shù)乘方的應(yīng)用.

（指導(dǎo)老師：孫中興）