用數(shù)學(xué)思想解決“翻轉(zhuǎn)茶杯”問題

徐怡

《蘇科版數(shù)學(xué)七年級下冊》有這樣一道題：桌上有3只杯口都朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)2只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使3只杯子的杯口全部朝下？7只杯口都朝上的茶杯每次翻轉(zhuǎn)3只呢？如果用“+1”或“-1”分別表示杯口“朝上”或“朝下”，你能用有理數(shù)的運算說明其中的道理嗎？

下面我們通過操作探究來解決這一問題.

一、 動手操作 獲得結(jié)論

探究一：取3只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉(zhuǎn)其中1只，經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能否使杯口全部朝下？

過程：

①將3只茶杯依次編號1、2、3

②第1次：翻轉(zhuǎn)1號杯

③第2次：翻轉(zhuǎn)2號杯

④第3次：翻轉(zhuǎn)3號杯

此時，杯口全部朝下.

結(jié)論：能.

探究二：取3只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉(zhuǎn)其中2只，經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能否使杯口全部朝下？

過程：

①第1次：翻轉(zhuǎn)1、2號杯

②第2次：翻轉(zhuǎn)1、3號杯

③……（任意翻轉(zhuǎn)其中的2只茶杯）

想一想：

1. 第1次翻轉(zhuǎn)后已有2只茶杯的杯口朝下，后面的每次操作總會出現(xiàn)幾只杯口朝上？（1只或3只）

2. 把“每次翻轉(zhuǎn)2只茶杯”看作“將1只茶杯連續(xù)翻轉(zhuǎn)2次”，結(jié)果怎樣？（杯口始終朝上）

結(jié)論：3只杯口全部朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)其中2只不能使杯口全部朝下.

探究三：取4只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉(zhuǎn)其中2只，經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能否使杯口全部朝下？（先想一想，再試一試.）

過程：

①將4只茶杯依次編號1、2、3、4

②第1次：翻轉(zhuǎn)1、2號杯

③第2次：翻轉(zhuǎn)3、4號杯

此時，杯口全部朝下.

結(jié)論：能.

探究四：取4只茶杯，杯口全部朝上，每次翻轉(zhuǎn)其中3只，經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，能否使杯口全部朝下？（先想一想，再試一試.）

過程：

①第1次：翻轉(zhuǎn)1、2、3號杯

②第2次：翻轉(zhuǎn)1、2、4號杯

③第3次：翻轉(zhuǎn)2、3、4號杯

④第4次：翻轉(zhuǎn)1、3、4號杯

此時，杯口全部朝下.

結(jié)論：4只杯口全部朝上的茶杯，每次翻轉(zhuǎn)其中3只，能使杯口全部朝下.

二、 思考延伸 解釋結(jié)論

事實上，如果把杯口朝上記作“+1”，杯口朝下記作“-1”，那么3只杯口都朝上的茶杯記為“+1”“+1”“+1”，這3個數(shù)的乘積為“+1”，3只杯口都朝下的茶杯記為“-1”“-1”“-1”，這3個數(shù)的乘積為“-1”，每次翻轉(zhuǎn)2只，即改變其中兩個數(shù)的符號，這3個數(shù)的積仍為“+1”，所以每次翻轉(zhuǎn)2只，不能使杯口全部朝下.4只杯口都朝上的茶杯記為“+1”“+1”“+1”“+1”，這4個數(shù)的乘積為“+1”，4只杯口都朝下的茶杯記為“-1”“-1”“-1”“-1”，這4個數(shù)的乘積為“+1”，每次翻轉(zhuǎn)2只，4個數(shù)的乘積為“+1”，杯口可全部朝下；每次翻轉(zhuǎn)3只，即改變其中3個數(shù)的符號，這4個數(shù)的積為“-1”，再進(jìn)行一次翻轉(zhuǎn)這4個數(shù)的乘積為“+1”，所以每次翻轉(zhuǎn)3只，經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)，杯口全部朝下.這樣，利用有理數(shù)運算的符號法則就可以解決翻轉(zhuǎn)茶杯的問題了.

三、 思維拓展 應(yīng)用結(jié)論

聰明的同學(xué)，你來試一試：

利用有理數(shù)運算的符號法則解釋：7只杯口都朝上的茶杯，①每次翻轉(zhuǎn)3只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使這7只杯子的杯口全部朝下？②每次翻轉(zhuǎn)4只，能否經(jīng)過若干次翻轉(zhuǎn)使這7只杯子的杯口全部朝下？（答案：①能.②不能）

有興趣的同學(xué)還可以進(jìn)一步探究發(fā)現(xiàn)：

“翻轉(zhuǎn)茶杯”問題與茶杯總數(shù)和每次翻轉(zhuǎn)的個數(shù)有關(guān)：如果茶杯的總數(shù)是偶數(shù)，不論每次翻轉(zhuǎn)的個數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，經(jīng)過若干次操作，都能使杯口全部朝下；如果茶杯的總數(shù)是奇數(shù)，翻轉(zhuǎn)的個數(shù)是奇數(shù)，經(jīng)過若干次操作，都能使杯口全部朝下，但翻轉(zhuǎn)的個數(shù)是偶數(shù)時，無論經(jīng)過多少次操作，都不能使杯口全部朝下.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學(xué)校）