有理數中的數學思想方法

許峰

同學們剛進七年級就學習到有理數，擴充了數系，開拓了自己的知識視野.有理數中蘊含了豐富的數學思想方法，所謂的數學思想，是指人們對數學理論與內容的本質認識，它直接支配著數學的實踐活動，所謂的數學方法，是指某一數學活動的途徑、程序、手段，它具有過程性、層次性、可操作性等特點. 數學思想方法是以具體數學內容為載體，又高于具體數學內容的一種指導思想和普遍適用的方法.

一、 數形結合思想

我國著名數學家華羅庚曾說過：“數形結合百般好，割裂分家萬事休. ”“數”與“形”反映了事物兩個方面的屬性. 數形結合，主要指的是數與形之間的一一對應關系. 數形結合就是把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，通過“以形助數”或“以數解形”即通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，從而起到優化解題途徑的目的.

例1 在數軸上，點A（表示整數a）在原點的左側，點B（表示整數b）在原點的右側. 若a-b=2013，且AO=2BO，則a+b的值為_______.

【分析】根據已知條件可以得到a<0

解：如圖，a<0

a=-2b②，由①②，解得b=671，

∴a+b=-2b+b=-b=-671.

故答案是：-671.

【點評】教材引入數軸后，就為數形結合思想奠定了基礎. 如有理數的大小比較、相反數和絕對值的幾何意義，巧妙運用數形結合的思想方法可起到事半功倍的效果. 數形結合的重點是研究“以形助數”，使用數形結合的方法，很多問題便能迎刃而解，且解法簡捷.

二、 歸納思想

所謂歸納推理，就是根據一類事物的部分對象具有的某種性質，推出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理（簡稱“歸納”）. 歸納是從特殊到一般的過程，它屬于合情推理.

例2 觀察下列按順序排列的等式：a1=1-，a2=-，a3=-，a4=-，…，試猜想第n個等式（n為正整數）：an=_______.

【分析】根據題意可知a1=1-，a2=-，a3=-，…，故an=-.

解：通過分析數據可知第n個等式為：an=-.

故答案為：-.

例3 下表中的數是按一定規律填寫的，表中a的值應是_______.

【分析】根據第一行第3個數是前兩個數之和，進而得出答案.

解：根據題意可得出：a=13+8=21.

故答案為：21.

三、 建模思想

數學模型指那些反映了特定問題或特定具體事物系統的數學關系結構，是相應系統中各變量及其相互關系的數學表達. 數學建模就是建立數學模型來解決問題的方法. 數學建模是一種數學的思考方法.

例4 郵遞員騎車從郵局出發，先向南騎行2 km到達A村，繼續向南騎行3 km到達B村，然后向北騎行9 km到達C村，最后回到郵局.

（1） 以郵局為原點，以向北方向為正方向，用1 cm表示1 km，畫出數軸，并在該數軸上表示出A、B、C三個村莊的位置；

（2） C村離A村有多遠？

（3） 郵遞員一共騎了多少千米？

【分析】本題通過建立數軸，幫助理解題意，C村與A村的距離一目了然，郵遞員的路程是無方向的，指OA+AB+BC+OC的長.

解：（1） 依題意得，數軸為：

（2） 依題意得：C點與A點的距離為：2+4=6（km）.

（3） 一共騎了18 km.

四、 算法思想

所謂算法思想，就是按照一定的步驟，一步一步地解決問題的程序化的思想.機械式地按照某種確定的步驟行事，通過一系列小的簡單計算操作完成復雜計算的過程，這就是 “算法”過程. 算法是數學及其應用的重要組成部分，算法的意義決定了算法具有機械化和程序化的特點，算法的核心思想就是運用程序化解決問題（正是由于算法這一特點，才使其理論在計算機上得到具體實現與應用）.新課程非常注重學生算法思想的培養，高中還將“算法初步”列為必修內容，當然，中小學數學算法與真正意義上的算法還有一定的區別，但算法思想指導下的數學程序化訓練有利于學生數學基本能力的培養，在中小學教材中，體現算法（解決問題的程序化）的知識點非常普遍.

例5 計算：

（1）

-÷

-+（-2）2×（-14）；

（2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）].

【分析】在做有理數的混合運算時，嚴格注意運算順序：先乘方，再乘除，最后加減. 如果有括號，先進行括號內的運算. 運算律的合理運用可以簡化運算. 有多重括號時，要根據具體情況，從外到內或從內到外去掉括號. 乘法對加法和減法具有分配律，但除法對加法或減法不具有分配律.

解：（1）

-÷

-+（-2）2×（-14）

=

-×（-6）+4×（-14）

=×（-6）-×（-6）+（-56）

=-3+2-56

=-57；

（2） -2-[15+（1-0.6÷3）×（-25）]

=-2-[15+（1-0.2）×（-25）]

=-2-[15+0.8×（-25）]

=-2-[15-20]

=-2-（-5）

=3.

五、 符號化思想

符號化思想主要表現在以下兩方面：1. 用符號化的語言（包括字母、數字、圖形和各種特定的符號）來描述數學的內容，這就是符號化思想. 2. 符號化思想主要指人們有意識地、普遍地運用符號去表述研究的對象. 數學離不開符號，數學處處要用到符號. 英國著名數學家羅素說過：“什么是數學？ 數學就是符號加邏輯. ”

例6 一運動員某次跳水的最高點離跳臺2 m，記作+2 m，則水面離跳臺10 m可以記作（ ）.

A. -10 m B. -12 m

C. +10 m D. +12 m

【分析】首先審清題意，明確“正”和“負”所表示的意義；再根據題意作答.

解：跳水的最高點離跳臺2 m，記作+2 m，則水面離跳臺10 m可以記作-10 m. 故選A.

例7 未來三年，國家將投入8 450億元用于緩解群眾“看病難、看病貴”的問題. 將8 450億元用科學記數法表示為（ ）.

A. 0.845×104億元

B. 8.45×103億元

C. 8.45×104億元

D. 84.5×102億元

【分析】科學記數法的表示為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數. 確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同. 當原數絕對值>1時，n是正數；當原數的絕對值<1時，n是負數.

解：將8 450億元用科學記數法表示為8.45×103億元. 故選B.

六、 分類討論思想

在解答某些數學問題時，有時會有多種情況，對各種情況加以分類，并逐類求解，然后綜合求解，這就是分類討論法. 分類討論是一種邏輯方法，也是一種數學思想.

分類討論的一般步驟是：明確討論對象，確定對象的全體→確定分類標準，正確進行分類→逐步進行討論，獲取階段性結果→歸納小結，綜合得出結論.

分類討論應遵循的原則：分類的對象是確定的，標準是統一的，不遺漏，不重復，分層次，不越級討論. 這一點，我們在學習有理數分類時可以體會到.

例8 已知x-1=2，求x.

【分析】根據絕對值的運算法則可知，絕對值等于2的數有兩個，分別是+2或-2.

解：由題得：x-1=2，x=3，

或x-1=-2，x=-1，

所以x的值是-2或-1.

（作者單位：江蘇省連云港市贛榆外國語學校）