關于凸函數教學的探討

韓亞洲　王雪健

摘 要： 凸函數的性質和應用一直都是是分析教學的重點和難點，它在分析學中有著廣泛的應用，因此由淺入深地系統學習凸函數的性質是很有必要的.

關鍵詞： 凸函數 實變函數 不等式

凸函數是一類非常重要的函數，它在凸分析，數理經濟學，最優控制，函數論等學科中都有廣泛的應用.另外凸函數的性質也是數學分析和實變函數中證明不等式的一個常用工具，它可以使不等式的證明更簡單，思路更清晰.

凸函數的定義和基本性質在很多數學分析，高等數學，泛函分析，實變函數的教材中都有介紹.在不同版本的教材及參考書中，其定義形式區別也很大，條件有強有弱，彼此之間又密切相關.在多數教材中對凸函數的性質沒有系統的介紹，這使得大多數學生對凸函數的認識只停留在最初的階段，以至于學生對凸函數的認識不夠深刻，不能靈活應用凸函數的性質處理問題.本文在凸函數的定義出發從一個方面由淺入深地介紹了凸函數的一些基本性質和等價定義.另外我們也期望通過對些性質的學習能使大家對凸函數的認識更深刻.

在介紹凸函數定義之前讓我們先回憶一下凸集的定義.設E為線性空間X中的子集，若對于任意的x，y∈E和0≤λ≤1有λx+（1-λ）y∈E，則稱E為凸集.

定義1[1].設f（x）為定義在凸集E上的函數，若對I上任意x，y∈E和實數0≤λ≤1，總有

參考文獻：

[1]匡繼昌.實分析與泛函分析[M].北京：高等教育出版社，2002.

[2]歐陽光中，朱學炎，金福臨，等.數學分析（上冊）[M].北京：高等教育出版社，2007，第3版.

[3]周民強.實變函數[M].北京：北京大學出版社，2008，第2版.

[4]李遜.關于函數凸性的教學探討[J].華中師范大學學報（自然科學版），1985，2：141-146.

基金項目：新疆大學大學生創新項目XJU-SRT-14048。