無窮大量的比較在極限計算中的作用

張春梅　楊曉梅

摘 要： 無窮大量在極限計算中是比較常見的一種變化過程，尤其是對無窮大量的比較，可以在相關(guān)極限計算問題中，快速的處理極限問題.本文在無窮大量比較的基礎(chǔ)上給出了一些相關(guān)計算技巧，作為應(yīng)用證明了當時的“抓大頭”公式.

關(guān)鍵詞： 無窮大量 高階 低階 等價 抓大頭

無窮小量和無窮大量是高等數(shù)學(xué)極限的學(xué)習(xí)中兩個重要的概念，準確的理解和掌握這兩個概念對極限的計算有著重要的意義.但在很多相關(guān)教材中，只是著重介紹了無窮小量的性質(zhì)和應(yīng)用，對于無窮大量的定義、性質(zhì)的介紹都比較簡單[1]，甚至還有些教材連無窮大量的嚴格定義都沒有提及[2]，使得學(xué)生在學(xué)習(xí)中對于無窮大量的了解較少，甚至導(dǎo)致有些學(xué)生完全忽視無窮大量的作用.事實上，靈活利用無窮大量的性質(zhì)對解決某些極限問題有很大的幫助.本文主要通過無窮大量的比較，討論并總結(jié)了無窮大量的一些性質(zhì)，并利用無窮大量階的性質(zhì)，證明極限計算中的“抓大頭”公式，同時利用“抓大頭”公式簡單計算一些極限問題.

一、無窮大量的比較

我們在介紹無窮小量時，為了對無窮小量收斂到0的“速度”進行比較，給出了無窮小量階的定義，得到了高階、低階、同階及等價無窮小量的概念.類似的，為了便于比較無窮大量發(fā)散的“速度”，我們可以相仿地給出無窮大量，階的定義，即高階無窮大量，低階無窮大量，同階無窮大量以及等價無窮大量.

定義1：設(shè)變量α，β是自變量某一變化過程中的無窮大量，

（1）如果

二、無窮大量比較的運算性質(zhì)

根據(jù)前面的無窮大量比較的定義，容易得到以下定理：

定理1：若在自變量的某一變化過程中，α是比β高階的無窮大量，則α+β與α等價.

定理5：設(shè)是自變量某一變化過程的無窮大量，a為任一常數(shù)，則α+a等價于α.

三、“抓大頭”公式的證明與應(yīng)用

從上面的例子中我們可以看出，利用“抓大頭”公式求解在時的極限問題，簡單方便，而且可以通過很簡易的生活舉例就可以讓學(xué)生快速理解并記住.例如，在上課時，講到這樣的問題，我通常會問學(xué)生，你去市場買蘋果，第一家小販賣9元錢一公斤，然后你又走了好幾家問了都是10元一公斤，一樣的蘋果，你會怎么做？學(xué)生都會回答，回第一家去買?。〗又謫枌W(xué)生，那假設(shè)你要去買電腦，到第一家9999，然后又轉(zhuǎn)了一大圈，基本上后面每一家都說10000元，這時候呢？學(xué)生會回答，就直接買了啊，價格一樣.然后又問學(xué)生，同樣是一元錢的差別，你為什么會表現(xiàn)不同？學(xué)生說，和10元錢比起來1元錢很多啊，但是和10000元比較，就沒什么了.那么這時候就可以給學(xué)生作總結(jié)了，對啊，因為10000元你們認為很多，在它的面前，你們就認為很多了，那么在一個可以無限大的量面前，任何一個常數(shù)是不是都可以看起來微不足道，忽略不計了？就像計算比爾蓋茨的錢，你們只關(guān)心多少億，還關(guān)心后面的千、百、十嗎？同理，在一個高階無窮小的面前，比它低階的量都可以忽略不計，那么這樣我們只需要抓住一個“大頭”就可以了，那些小的微不足道的量就可以省略了.學(xué)生在笑聲中記住了“抓大頭”公式，這不比教材中的公式

要好記得多嗎？而且學(xué)生也不會再出現(xiàn)記錯或者覺得公式難記的問題了.

參考文獻：

[1]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社，2007.

[2]歐陽光中，姚允龍，周淵.數(shù)學(xué)分析[M].復(fù)旦大學(xué)出版社，2011.

[3]鄒慧超，周莉，唐瑞娜.無窮大量階的比較在無窮積分中的應(yīng)用[J].煙臺師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版），2003，19（2）：144-147.

[4]劉桂先，劉慶升.求極限的等價無窮大代換[J].高等數(shù)學(xué)研究，2011，14（1）：51-52.

基金項目：新疆大學(xué)21世紀高等教育教學(xué)改革工程三期項目，XJU2013JGY18.