小學數學“問題解決”與“模型思想”

曹靜

鄭毓信教授在《數學教育哲學》一書中指出：“數學是模式的科學，數學教學的基本任務就在于幫助學習者逐步建立與發展分析模式、應用模式、建構模式與欣賞模式的能力。”

《數學課程標準（2011年版）》的十大核心詞就有“模型思想”，課標指出，“模型思想的建立是學生體會和理解數學與外部世界聯系的基本途徑。”與此同時，課標把“解決問題”改為“問題解決”，并把它作為課程目標之一，其內涵包括經歷發現和提出問題、分析和解決問題的全過程，獲得分析問題和解決問題的策略，學會合作交流，形成評價和反思意識。在小學數學教學中，模型思想對問題解決有哪些幫助呢？二者之間又有著怎樣的關系呢？

一、在“問題解決”的過程中構建“數學模型”

一般的問題解決要經歷四個步驟，即發現問題、提出問題、分析問題、解決問題。所以問題解決的過程不是一蹴而就的，它需要學生在發現問題并明確問題后，能夠提煉出相應的條件信息，從而利用已有的知識經驗進行分析，最終確定解決問題的方法和提供解決問題的步驟。

當然，“數學模型”的形成與構建，是學生在問題解決的過程中，利用已有的“數學模型”構造新的“數學模型”的過程。“數學模型”的建立也不是一個簡單的過程，需要學生經歷一個反復的過程。

從教學過程來看，出示這個問題后，學生并不容易想到可以用畫線段圖的方法來解決，因為這道題沒有明顯的用畫線段圖解決的標志，比如三年級學習的倍數問題。所以在學習完這一問題后，學生會形成以下三種層次的“經驗”，當然最終的“經驗”會轉變為“數學模型”，最終形成“模型思想”。

層次一：當學生下次再遇到類似的問題時，學生會想到用過的方法來畫出；層次二：在經過多次遇到類似的問題后，在腦海里在意識中抽象出這一“數學模型”；層次三：在形成這樣一種簡單的“數學模型”后，能否面對問題的提升和外延。

學生在解決這樣類似的問題的過程中，是根據每個個體不斷地總結和提煉的。老師在學生“數學模型”建構的過程中，要扮演引導者和輔導者的角色。

在問題解決的教學過程中，能夠簡單地搜集信息、整理信息，從數學的角度，用數學的眼光去提出問題還是不夠的，解決生活中數學問題的目標是讓學生運用已有知識和能力發現問題、解決問題，因此還要讓學生經歷由數學問題到數學模型的轉化，構建“數學模型”，形成“模型思想”是非常有必要的。對于部分學生來說是有一定難度的，需要教師的正確引導、同學的幫助，更重要的是讓學生本人在問題解決的過程中，不斷地感知、質疑、思考、釋疑，從而形成并構建“數學模型”。

數學模型的建立需要一個反復的過程，即指“從數學的角度，對所需研究的問題進行模擬，舍去無關因素，保留其數學關系，以形成某種數學結構”。具體地說，學生從實際問題出發，在教師的引導下，經歷提出問題、舉例驗證、自我反思、完善規律、建立模型這樣一個過程。這不僅是一個主動學習、構建模型的過程，更是一個創新學習的過程，是學生漸漸形成自己的數學知識結構的過程。

二、在“模型思想”的基礎上助“問題解決”

小學階段，對于學生來說，問題解決是學生經歷探索和克服困難的學習過程。在這一過程中，所使用的方法、策略是新的，至少從某種角度看，部分環節和途徑是新的。這些策略、方法、途徑等都是學生已有數學知識、經驗、方法策略等的重新組合和配對，同時略有提升和拓展。教師應當了解數學模型及建模思想，并在教學中滲透這種思想。

以“數學模型”的形成來看，從生活情境到數學模型的過程，更多是數學模型從思維模型狀態向形式模型狀態轉變的過程；而從數學模型到生活情境則是數學模型從形式模型狀態再次回到思維模型狀態，是幫助學生進一步積累模型經驗，從而提升數學模型的應用水平的過程。

對于認知層次，在教學過程中是需要教師作一定的引導和點撥的，這也是應用數學模型解決問題的真正價值所在。在問題解決的過程中，需要靈活解構數學模型的能力。總之，模型思想是數學學習的基本思想之一，需要教師在小學數學教學中進行適時適度培養。

數學是一門應用性很強的基礎學科，只有在問題解決與實踐應用中才能把握數學知識的精髓。作為課標中十大關鍵詞之一的“模型思想”，它的作用自然處于所有數學應用之心臟。因此，在問題解決的過程中成功地建構數學模型后，還需要拓展模型來解決生活中的實際問題，以實現形式上的數學知識向現實生活的回歸。因此，模型思想的滲透與形成，需要借助問題解決，而問題解決也需要模型思想在其中發揮重要的作用。■

（作者單位：江蘇蘇州工業園區方洲小學）