雙棒在不同情景下的最終運動狀態(tài)

石端明

在電磁感應導體棒運動問題中，兩個導體棒運動的最終速度大小及關系問題是學生的難點，不同的情景帶來不同的狀態(tài)，但是解決此難點的方法很簡單，那就是從分析受力入手，分析其運動規(guī)律，就會水到渠成。

例：如圖1所示，在水平面內有平行的光滑導軌MN和PQ，不計電阻、它們間距為L，在其上橫放著兩根金屬棒ab和cd，質量分別為m■和m■，金屬棒單位長度電阻為R，整個裝置處在豎直向上、磁感應強度為B的勻強磁場中。現在給金屬棒ab一個平行導軌向右的瞬時初速度V■而開始運動起來，求最終棒ab和cd的最終速度？

圖1

解析：ab棒開始切割磁感線運動、產生感應電動勢E■=BLV■，在兩棒和導軌組成的回路中產生感應電流，cd棒在安培力作用下向右運動、切割磁感線產生感應電動勢為E■=BLV■，等效電路如圖2所示，其中r=LR、電路中電流I=■。

圖2

ab棒在安培力F=BIL=B■L■（V■-V■）/（2Lr）作用下做減速運動、cd棒在安培力F作用下作加速運動，在速度相等時，加速度a均為0，所以最終兩金屬棒以共同速度V運動。

對兩棒，水平方向上動量守恒有：

m■V■=（m■+m■）V，解得V=■

因此最終狀態(tài)為：以■勻速運動。

變式1：若例題中ab棒的初速度V■為0，而受到一個向右的水平恒力F作用，其他條件不變，如圖3所示，再求最終棒ab和cd的最終運動情況？

圖3

解析：有些學生不假思索、想當然地認為和例題一樣，最終以共同速度運動。其實要搞清楚兩棒的最終運動情況應從每個棒受力情況入手。

在開始經過一小段時間，設ab和cd的速度分別為V■、V■，回路中的電動勢為E=BL（V■-V■）、電流為I=E/（2LR）、兩導體棒受到的安培力均為F■=BIL，即F1=B■L■（V■-V■）/（2LR），

應用牛頓第二定律可知，

ab棒的加速度a■=（F-F■）/m■，

cd棒的加速度a■=F■/m■，

在開始階段，a■>a■，（V■-V■）增大、安培力F■增大，a■減小、a■增大，則ab棒做加速度a■越來越小的加速度運動、cd棒做加速度a■越來越大的加速度運動，一定會出現加速度相等的時刻，即a■=a■，此后（V■-V■）保持不變，他們以共同加速度運動而收尾，共同加速度a=F/（ m■+m■），以上各式聯立解得：V■-V■=■。

因此：它們的最終狀態(tài)是做加速度相同的勻加速運動，保持速度差為■不變。

變式2：在例題中，把導軌變成由兩部分m■N■、P■Q■和m■N■、P■Q■構成，且M■N■∥P■Q■、導軌間距為L1，M■N■∥P■Q■、導軌間距為L■，導棒cd放置在M■N■和P■Q■上、且距離Q■N■較遠，導棒ab放置在M■N■和P■Q■上，如圖4所示，現在給ab一個向右的初速度V■，判定最終兩棒的運動？

圖4

解析：ab以V■開始向右切割磁感線運動，在回路中產生感應電流，cd受到向右的安培力開始向右加速運動、ab受到向左的安培力而減速運動，穿過閉合回路的磁通量增加，根據楞次定律阻礙磁通量增加可知，最終回路磁通量不變，兩棒都做勻速運動，設此過程中通過回路橫截面的電荷量為q，設ab、cd的速度分別為V■、V■，根據最終穿過回路的磁通量不變，有

L■V■=L■V■ ①

對ab，從V■開始到V■，應用動量定理有：

-BL■q=m■V■-m■V■ ②

對cd，從0到V■，應用動量定理有：

BL■q=m■V■ ③

②/③再除以①可得V■=■，V■=■。

因此，ab、cd最終分別以V■=■，V■=■勻速運動。

總之，對于電磁感應問題還是要從基本的方法分析起，從動力學知識、電路等方面把握，問題就會迎刃而解。